Gravedad en otras 3 dimensiones espaciales y órbitas estables

Específicamente a lo que se refiere es a la ' ley del cuadrado inverso ', naturaleza de la fuerza gravitatoria, es decir, la fuerza de la gravedad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia:

$F_g \propto \frac{1}{d^2}$.

Si amplía este concepto al de las fuerzas generales de la ley de potencias (por ejemplo, cuando piensa en el teorema del virial ), puede escribir:

$F \propto d^a$,

Las órbitas estables solo son posibles para unos pocos valores especiales del exponente '$a$'---en particular, y más específicamente 'cerrado ¹ ', las órbitas estables solo ocurren para$a = -2$(la ley del cuadrado inverso) y$a = 1$( Ley de Hooke ). Esto se llama ' Teorema de Bertrand '.

Ahora bien, ¿qué tiene eso que ver con las dimensiones espaciales? Bueno, resulta que en una descripción más precisa de la gravedad (en particular, la relatividad general ) el exponente de la ley de potencias termina siendo uno menos que la dimensión del espacio. Por ejemplo, si el espacio fuera bidimensional, entonces la fuerza se vería como$F \propto \frac{1}{d}$, y no habría órbitas cerradas.

Tenga en cuenta también que$a<-3$(y, por lo tanto, 4 o más dimensiones espaciales) es incondicionalmente inestable, según la respuesta de @nervxxx a continuación.

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1: Una órbita 'cerrada' es aquella en la que la partícula vuelve a su posición anterior en el espacio de fases (es decir, su órbita se repite).

Intentaré responderla considerando las desviaciones radiales de una órbita circular. Primero tenemos que asumir dos cosas acerca de nuestro universo n-dimensional: la segunda ley de Newton sigue siendo válida, es decir,

para el vector de posición de una partícula en n-dimensiones$\vec{x} = (x_1, x_2, \cdots x_n)$,

$$\begin{align} m \ddot{\vec{x}} = \vec{F}, \end{align}$$ donde $\vec{F}$es alguna fuerza n-dimensional,

y también que la ley de la gravedad viene dada por la ley de Gauss:

$$\begin{align} \nabla \cdot \vec{g} = -4\pi G\rho, \end{align}$$ donde $\vec{g}$es el campo de fuerza gravitacional. (Ver wikipedia para más información).

La solución a esa pde es

$$\begin{align} \vec{g} \sim = - r^{1-n} \hat{e_r}, \end{align}$$ por $n \geq 2$. (Para $n = 1$el movimiento está en una línea y debido a que siempre es atractivo, la 'órbita' seguirá siendo una 'órbita')

Dado que el movimiento siempre estará restringido a moverse en los 2 planos abarcados por el vector radial inicial$\vec{r}_0$y el vector de velocidad inicial$\vec{v}_0$, es más fácil analizar el movimiento en coordenadas cilíndricas. Es decir, la segunda ley de Newton se convierte en

$$\begin{align} m(\ddot{r} - \dot{\theta}^2r)&=F_r \\ m(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta}) &= F_\theta \\ m \ddot{x_3} &= F_{x_3} \\ m \ddot{x_4} &= F_{x_4} \\ &\cdots \\ m \ddot{x_n} &= F_{x_n}, \end{align}$$ donde $x_1$y $x_2$son coordenadas del plano atravesado por $\vec{v}_0$y $\vec{r}_0$. Aquí $r$realmente significa $\sqrt{x_1^2 + x_2^2}$, pero resulta que debido a que el movimiento es solo 2-D, es decir $x_3 = x_4 = \cdots x_n = 0$, podemos decir $r = \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}$.

Ahora hacemos uso del hecho de que la gravedad siempre es radial, por lo que$F_\theta = 0$y podemos combinar las dos primeras ecuaciones para obtener

$$\begin{align} \ddot{r} - \frac{L^2}{r^3} = F_r = f(r), \end{align}$$ donde $L$es una constante de movimiento (en 3D es el momento angular).

Para una órbita circular en$r = r_c$,$\ddot{r} = 0$, por lo que nos queda

$$\begin{align} -\frac{L^2}{r^3} = f(r). \end{align}$$ Considere pequeñas desviaciones de $r_c$: $x = r-r_c$. Reemplazando esto en la ley de newton y expandiendo a primer orden, se obtiene $$\begin{align} \ddot{x} + \left[-3f(r_c)/r_c-f'(r_c) \right]x = 0. \end{align}$$ Esta es una ecuación armónica simple si lo que está entre paréntesis es positivo. Entonces obtenemos una condición de estabilidad $$\begin{align} \left[-3f(r_c)/r_c-f'(r_c) \right] > 0. \end{align}$$

Vamos a comprobar esto en una fuerza radial$f(r) = -kr^d$. La condición de estabilidad da

$$\begin{align} -k r_c^d -\frac{kd}{3}r_c^d < 0, \end{align}$$ lo que implica $d > -3$. Entonces, si la ley de la fuerza es como $r^d$donde $d > -3$, entonces la órbita no es estable. Uno puede, con un poco más de trabajo, mostrar que $d = -3$también es inestable.

Entonces para las dimensiones$n \geq 4$, la órbita es inestable. Parece, sin embargo, que para$d = -1$o$-2$, la órbita es estable, por lo que esto nos da el resultado de que las órbitas en 3 dimensiones (nuestro mundo) y también las de 2 dimensiones son estables, en desacuerdo con la afirmación del video. Aunque podría estar equivocado.

salud.

Un breve punto para agregar a las respuestas publicadas anteriormente, aunque no puedo pretender entender todas las matemáticas:

Hasta donde yo sé, las órbitas en 2D son estables en el sentido de que el cuerpo en órbita no escapa ni colapsa hacia el primario. Ver por ejemplo

https://www.reddit.com/r/askscience/comments/q8fmo/what_would_orbits_look_like_in_a_2d_universe/

De hecho, a medida que la fuerza 2D decae a 1/r, su potencial es logarítmico, lo que significa que la velocidad de escape es infinita. Esto es bastante fácil de mostrar; incluso yo puedo hacerlo.

Sin embargo, si he entendido bien, parece que las órbitas no suelen ser cerradas, sino que tienen forma de pétalos de flores. Para órbitas casi circulares, eso no sería necesariamente un gran problema.

Supongo que esto está hablando de la gravedad newtoniana (es decir, no de la relatividad). Consideremos el potencial efectivo:

$$V_\text{eff}(r) = \frac{L^2}{2mr^2} + V(r)$$

donde$V$es la energía potencial ordinaria, y$L$es el momento angular. Primero, puede preguntarse por qué el potencial efectivo tiene esta forma. Recuerde que para una sola partícula,$L = mr^2 \omega$, por lo que esto es equivalente,

$$V_\text{eff}(r) = \frac{\omega^2 r^2}{2m} + V(r)$$

Este primer término surge de las ecuaciones de movimiento de una partícula libre. Expresarlo en términos de momento angular es conveniente porque bajo fuerzas centrales, el momento angular es una cantidad conservada.

¿Por qué usamos el potencial efectivo? Porque nos ayuda a hablar únicamente sobre los movimientos radiales de una partícula, agrupando los movimientos angulares con el potencial real . Un extremo local del potencial efectivo nos habla de una distancia de equilibrio.

Ahora, en 3d, el potencial$V(r)$porque la gravedad es$-GMm/r$. Lo que esto significa es que, como$r \to 0$, el potencial efectivo eventualmente explotará, gracias a la parte del momento angular, superando la parte gravitacional y forzando a la partícula hacia afuera nuevamente a menos que se encuentre en una trayectoria de caída directa.

En 2d, el potencial es diferente. ¿Por qué es esto? La gravedad newtoniana trata con ecuaciones diferenciales de la forma$\nabla^2 V \propto \rho$. La solución de fuente puntual para esta ecuación (la función de Green) es proporcional a$\ln r$--comparar, por ejemplo, el potencial eléctrico de una carga lineal infinita. Esta es exactamente la misma geometría y ecuación diferencial, al menos en estructura.

Comprobemos por un segundo que este es el caso. Dejar$V = C \ln r$en 2d para alguna constante$C$. Entonces la fuerza gravitatoria es

$$F = - \frac{\partial V}{\partial r} = -C/r$$

que es interior para todo positivo$C$. Esto es importante. En 2d, entonces, nuestro potencial efectivo parece,

$$V_\text{eff} = Kr^{-2} + C \ln r$$

para dos constantes$K, C$. la fuerza es

$$F_{\text{eff}} = 2 K r^{-3} - C r^{-1} = -r^{-1} (-2K r^{-2} + C)$$

Asi que$r_\text{eq} = \sqrt{2K/C}$. Pero, ¿es estable este equilibrio?

$$\frac{\partial F_\text{eff}}{\partial r} = -6 Kr^{-4} + C r^{-2}$$

A$r_\text{eq}$, esto se evalúa como$-6C^2/4K + C^2/2K = -C^2/K$.

Hm. Eso sugeriría que el punto de equilibrio es estable. Entonces, tal vez alguien tenga una referencia para sugerir esto. Estoy atascado.