¿Cómo se estabilizan las órbitas?

En primer lugar, debe tener en cuenta que la órbita de dicho satélite es una órbita estable, lo que significa que si se desvía del valor exacto de$r=r_0$por una pequeña cantidad no se irá y caerá a la tierra sino que tendrá un movimiento radial armónico simple sobre$r=r_0$.Esto es porque$r=r_0$corresponde al mínimo de potencial efectivo en el que se encuentra el satélite.

Esto se puede demostrar matemáticamente de la siguiente manera. Vamos a desviarlo de$r=r_0$en pequeña cantidad de modo que la energía está dada por

si expandes$V_{eff}(r)$sobre el mínimo que es$r=r_0=\frac{L^2}{Km}$conseguirás

Dónde$k=V_{eff}''(r_0)=\frac{K^4m^3}{L^6}$.Entonces el movimiento radial será una oscilación armónica simple sobre$r=r_0$con frecuencia

Esto será más claro si solo tratas de trazar$V_{eff}(r)$contra$r$. Acerca de$r=r_0$dónde$V_{eff}$es mínimo, el potencial se puede aproximar como el de un oscilador armónico simple para$r\sim r_0$.

Además de las otras respuestas, permítanme agregar una intuitiva:

Tomemos el caso de un cuerpo que se mueve demasiado rápido para una órbita circular. Como dices, se moverá hacia afuera. Pero a medida que se mueve hacia afuera, sube contra la gravedad. Su energía cinética disminuye. Su velocidad baja. Eventualmente, la velocidad se reduce a menos de la necesaria para una órbita circular y vuelve a caer.

Esta es la diferencia entre las órbitas circulares y las elípticas. Las órbitas elípticas tienen más energía que una órbita circular en la altitud más baja, pero menos que una órbita circular en la más alta.

La razón por la que los planetas de nuestro sistema solar tienen órbitas estables es porque, durante la formación del sistema solar, un disco de escombros que consistía principalmente en gas orbitaba alrededor del sol. Durante este período, cuando los protoplanetas comenzaron a formarse, interactuaban con este disco de escombros, debido a estas interacciones (fuerzas de fricción) en los planetas del disco de escombros, los planetas lograron una órbita más o menos circular. Posteriormente, nuestro sistema solar continuó evolucionando y este disco de escombros desapareció (se formaron asteroides, cometas), desde este punto, los planetas se fijaron en una órbita que lograron.

La imagen de abajo representa un sistema estelar con un planeta orbitando también con un disco de escombros.

¿Cómo es que la órbita de un cuerpo como un satélite o un planeta tiene un equilibrio perfecto entre la atracción gravitacional y la fuerza centrífuga de revolución?

No, no tiene un equilibrio perfecto. Si ese fuera el caso, todas las órbitas habrían sido perfectamente circulares, lo cual no es el caso. a una distancia dada$r$desde la Tierra hay una velocidad orbital específica a la que un objeto tiene una órbita circular. Si un objeto en esa órbita acelerado a una velocidad mayor, la atracción gravitatoria no aumentaría solo para mantener ese objeto en una trayectoria circular, la atracción gravitatoria permanece igual Por lo tanto, ese objeto tendrá una órbita elíptica. Para explicar esto matemáticamente, para que un objeto esté en una órbita circular debe tener una fuerza centrípeta igual a la fuerza gravitacional:

De la ecuación podemos ver que si aumentamos la velocidad orbital, la igualdad anterior no se cumple entre la aceleración centrípeta y la atracción gravitacional. Por lo tanto, ya no tiene una órbita circular.

En la imagen a continuación, podemos ver en rojo que si la velocidad orbital es igual a la ecuación anterior que calculamos, entonces tiene una órbita circular. Si es menor o mayor, alcanza una órbita elíptica.

En 2 dimensiones, en cualquier marco de referencia que gira uniformemente, hay dos fuerzas ficticias, la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis. La fuerza centrífuga se aleja directamente del punto de rotación y tiene la magnitud de$mr\omega^2$dónde$m$es la masa del objeto;$r$es la distancia desde el centro; y$\omega$es la frecuencia angular. La fuerza de Coriolis va en la dirección de 90° en el sentido de las agujas del reloj de la velocidad en el marco de referencia giratorio si el marco de referencia gira en sentido antihorario y 90° en sentido antihorario si el marco de referencia gira en el sentido de las agujas del reloj y tiene una magnitud$2mv$dónde$v$es la velocidad en el marco de referencia giratorio. En realidad, vivimos en la tercera dimensión, no en la segunda y por esa razón, la fuerza de la gravedad varía como la segunda potencia negativa de la distancia. Sin embargo, podemos usar las fórmulas sobre cómo calcular la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis en la segunda dimensión para descubrir cómo hacerlo en la tercera dimensión. El sol es mucho más masivo que la Tierra que podemos despreciar el efecto gravitacional de la Tierra sobre el sol. Supongamos que la Tierra tiene una órbita circular exacta alrededor del sol y no la tiene. Entonces podemos tomar el marco de referencia de rotación uniforme donde la Tierra y el sol están estacionarios. Entonces, si la Tierra tiene una pequeña desviación de esa órbita, eso hará que una fuerza de Coriolis actúe sobre la Tierra en ese marco de referencia. Él'