¿Es posible tener órbitas estables alrededor del punto de Lagrange L1L1L_1?

Como escribió Sean, lo más cercano que puedes encontrar son las llamadas órbitas de halo. Luego leí en profundidad el artículo más reciente citado en la página de Wikipedia citada por Sean, que es Howell (1984), y encontré algo interesante: ¡hay una pequeña banda de órbitas de halo estables! Pero no pueden llamarse órbitas alrededor del$L_1$punto por cualquier tramo de la redacción. Me explico, con imágenes tomadas de Howell (1984).

Notaciones primero:$m_1$es la masa del Sol,$m_2$es la masa del planeta y$\mu=\frac{m_2}{m_1+m_2}$es el truco habitual. Todas las cifras a continuación son para$\mu=0.04$, es decir, la masa del planeta es aproximadamente el 4% de la masa del Sol.

Ejes: Howell utiliza el marco de referencia tradicional centrado en el centro de gravedad del sistema Sol-planeta, con el eje X apuntando desde el Sol hacia el planeta, el eje Y en el plano de la eclíptica (recordatorio: el plano en el que la órbita del planeta sobre el Sol se encuentra). El eje Z es entonces, obviamente, perpendicular al plano de la eclíptica.

Condiciones iniciales: Howell considera una ubicación inicial en el plano XZ y una velocidad inicial en la dirección Y.

¡Ahora es el momento de las fotos! Howell da la proyección de las trayectorias en el plano XZ, el plano XY y el plano YZ. Aquí están, con la posición del$L_1$punto y del planeta marcado (este último con su masa$m_2$). Si se pregunta acerca de las unidades, son algunas elegantes, pero no es relevante ya que las posiciones relevantes están marcadas.

He dibujado dos flechas rojas que apuntan a las órbitas en la proyección XZ...

… que corresponde a las dos órbitas en las que he dibujado rectángulos rojos (¡si entendí bien!).

Entonces$L_1$no aparece en el siguiente diagrama YZ porque está oculto detrás$m_2$.

El dato interesante aquí son las órbitas discontinuas: son las únicas estables. Las órbitas que destaqué calificarían claramente como "órbitas sobre el$L_1$punto", ya que se mantienen en la vecindad de ese punto. Las órbitas estables, por el contrario, no pasan ese criterio intuitivo. En la proyección XZ, vemos que el cuerpo en estas trayectorias se acerca al planeta y luego se aleja. desde el plano de la eclíptica, antes de volver por supuesto, ya que esas son soluciones periódicas. En las proyecciones XY, podemos ver el poco tiempo que ese cuerpo pasa por encima de la línea planeta-$L_1$. Y cuando está allí, en realidad está en el punto más alejado del plano de la eclíptica, como se muestra en la$XZ$proyección. Por el contrario, cuando el cuerpo entra en el plano de la eclíptica, está en su punto más alejado de$L_1$!

Para reiterar lo que escribió Sean, ¿qué significa que la órbita que destaqué no es estable? Significa que la más mínima perturbación empujando el cuerpo en esas órbitas hacia el Sol o hacia el planeta, daría como resultado que el cuerpo se alejara del$L_1$apuntar y ponerse en órbita alrededor del Sol o del planeta, respectivamente. Entonces, dado que la velocidad en el plano YZ no se puede eliminar instantáneamente, esto significa, creo, que, inicialmente, el cuerpo primero seguiría algún tipo de tornillo hacia la dirección X creciente o X decreciente.

La única forma de usar esas órbitas inestables, como escribió Sean, es contrarrestar activamente cualquier perturbación que empuje a lo largo del eje X, usando el empuje de los motores de cohetes, por ejemplo, o más elegante con velas solares aprovechando la presión de radiación de luz de sol. No he investigado qué tan grave es pero una publicación de Roger Angel considera usar ese principio para mantener un enjambre de naves espaciales sobre el$L_1$punto para compensar el calentamiento global (?!).

Cabe señalar que Howell (1984) presenta análisis para la$L_2$y$L_3$puntos también con conclusiones similares.

Conclusión para el proyecto que presentó en su pregunta anterior, Maxwell: realmente no hay forma de usar el$L_1$señalar para colocar una luna grande para proteger al planeta del Sol!

Howell (1984) Kathleen Connor Howell, Órbitas tridimensionales, periódicas, 'halo', Mecánica celeste 32 (1984), 53–71

No. Los puntos de Lagrange L1 a 3 son estables a los desplazamientos perpendiculares a, digamos, la línea Tierra-Sol. Es por eso que tienen cosas descritas como órbitas de "halo" . Sin embargo, si te alejas del punto a lo largo de la línea, caerás en una órbita alrededor del cuerpo al que te acercaste. Esta limitación es lo que limita la vida útil de la misión JWST : la necesidad de combustible para mantenerse cerca del punto de Lagrange.

Los puntos de Lagrange estables son L4 y 5. Observe cómo el Júpiter/Sol L4 y L5 son donde se acumulan los asteroides de Júpiter troyano y griego. La estabilidad de L4 y 5 es un poco extraña, ya que los objetos que se alejan de ellos entran en una órbita de Lissajous a su alrededor.

• En un sistema con dos cuerpos pesados ​​hay 5 puntos lagrangianos. Puede calcular fácilmente las posiciones de L1, L2 y L3 utilizando la ley de la gravedad de Newton; L4 y L5 pueden ser más difíciles. Cuando agregas cuerpos extra (planetas extra, lunas,...) el problema solo será solucionable en casos muy específicos y fáciles.
• Al calcular estos puntos, por lo general desea ignorar la masa del cuerpo en órbita, por lo que realmente no desea que esta masa sea mayor que aproximadamente$1\%$de las masas mayores.