Diferencias entre los principios de QM y QFT

Hay varias formas más o menos formales de expresar los principios fundamentales de la mecánica cuántica no relativista, incluidas declaraciones no matemáticas y axiomatizaciones más rigurosas. Recientemente ha habido varias personas que han tratado esto desde el punto de vista de la computación cuántica. Otros han explorado si QM se puede doblar sin romperlo. He dado algunas referencias en la parte inferior de esta pregunta a algunos de este tipo de trabajo.

Pero más concretamente, creo que la mayoría de los físicos considerarían lo siguiente como una especie de consenso sobre una lista informal de principios. (En realidad, también me encantaría escuchar críticas a esta lista).

  1. Fundamentalismo de funciones de onda . Toda la información conocible sobre un sistema está codificada en su función de onda (ignorando la fase y la normalización).
  2. Evolución unitaria de la función de onda . La función de onda evoluciona con el tiempo de manera determinista y unitaria.
  3. Observables . Cualquier observable está representado por un operador hermitiano.
  4. Producto interior . Hay un producto interno definido positivo bilineal en las funciones de onda.
  5. Completitud _ Para cualquier sistema de interés, existe un conjunto de observables compatibles tales que cualquier estado del sistema puede expresarse como una suma de estados propios.

Pregunta: ¿Debe modificarse este resumen de principios para QFT? ¿Si es así, cómo? Si no, ¿cuál es la diferencia central entre estas dos teorías?

Referencias

Kapustin, https://arxiv.org/abs/1303.6917

Mackey, Los fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica, 1963, p. 56ff

Aaronson, "¿Es la mecánica cuántica una isla en el espacio teórico?", http://arxiv.org/abs/quant-ph/0401062

Masanes y Mueller, "Una derivación de la teoría cuántica a partir de requisitos físicos", https://arxiv.org/abs/1004.1483

Hardy, "Teoría cuántica a partir de cinco axiomas razonables", https://arxiv.org/abs/quant-ph/0101012

Dakic y Brukner, "Teoría cuántica y más allá: ¿es especial el entrelazamiento?", https://arxiv.org/abs/0911.0695

Banks, Susskind y Peskin, "Dificultades para la evolución de estados puros en estados mixtos", Física nuclear B, volumen 244, número 1, 24 de septiembre de 1984, páginas 125-134

Nikolic, "La violación de la unitaridad por la radiación de Hawking no viola la conservación del impulso de energía", https://arxiv.org/abs/1502.04324

Unruh y Wald, https://arxiv.org/abs/hep-th/9503024

Ellis et al., "Búsqueda de violación de la mecánica cuántica", Nucl Phys B241 (1984) 381

Gisin, "Mecánica cuántica no lineal de Weinberg y comunicaciones supraluminales", http://dx.doi.org/10.1016/0375-9601(90)90786-N , Physics Letters A 143(1-2):1-2

Sebens y Carroll, "Incertidumbre de autoubicación y el origen de la probabilidad en la mecánica cuántica de Everett", https://arxiv.org/abs/1405.7577

¿Qué pasaría si te dijera que todos estos principios son exactamente los mismos para QFT, con la excepción de que tienes que sustituir "función de onda" por el más abstracto "estado en el espacio de Hilbert" (o "funcional de onda", si realmente eres un fanático de ondas)? Es decir, ¿de dónde proviene exactamente la creencia de que QFT de alguna manera difiere en sus principios fundamentales de QM? Para mí, la única diferencia parece ser que "QM" normalmente se trata de un número finito de grados de libertad y QFT no.
@ACuriousMind: ¡Ese comentario parece que podría expandirse a una respuesta maravillosa...! Para mí, la única diferencia parece ser que "QM" normalmente se trata de un número finito de grados de libertad y QFT no. Pero tengo que admitir que estoy desconcertado por esta declaración. La partícula no relativista en una caja tiene infinitos grados de libertad.
Relacionado: physics.stackexchange.com/q/227056/50583 (al menos mi respuesta es lo que también escribiría aquí)
Se supone que la teoría cuántica de campos relativista contemporánea sigue todos los principios básicos de la teoría cuántica y puede considerarse como un subconjunto de la teoría cuántica. Por otro lado, no se conocen definiciones matemáticamente rigurosas de un espacio de Hilbert de estados y observables como operadores para la teoría cuántica de campo relativista interactuante en 3+1 dimensiones. Por lo tanto, el formalismo termina teniendo un aspecto muy diferente, siendo las expansiones de perturbaciones la base de la teoría, en lugar de un método para obtener resultados aproximados a partir de un modelo matemático fijo, como suele ser el caso en la mecánica cuántica.
Prefiero "función de estado" o incluso "vector de estado" a "función de onda" cuando hablo de mecánica cuántica en general, porque "función de onda" siempre me recuerda la imagen de Schrödinger en particular.
@AdomasBaliuka; Eso parece que podría expandirse a una buena respuesta. Como no conozco QFT, me sería útil tener una idea más concreta de lo que está hablando.
@BenCrowell La partícula no relativista en una caja tiene tres grados de libertad. Para contar los grados de libertad, debemos contar cuántos pares de X i , pags i operadores que tenemos que satisfacen las relaciones canónicas de conmutación, [ X i , pags j ] = i ℏ d i j . Para una partícula en una caja i = 1 , 2 , 3 por lo que hay tres d.of. Para un campo, tenemos en cambio [ ϕ , pags ϕ ] = i ℏ d ( X − X ′ ) -- el índice ahora toma infinitos valores, por lo que hay infinitos grados de libertad Hay infinitos estados propios de energía, pero eso no es lo mismo que el número de grados de libertad Cualquier espacio de fase clásico
también contiene infinitos puntos. Tenga en cuenta que los casos cuántico y clásico son completamente análogos si intercambia conmutadores con corchetes de Poisson: para contar los grados de libertad de forma clásica, debe contar cuántas funciones en el espacio de fase pueden verificar { q i , pags i } = d i j . Considere también el teorema de equipartición: si una partícula en una caja tuviera infinitos grados de libertad, ¿cuál sería la capacidad calorífica de un gas ideal?
@ACuriousMind Hay una representación de "espacio Q" de QFT (bosónico escalar) en la que el estado es una función de onda en un espacio dimensional infinito.

Respuestas (4)

  1. Toda la información conocible sobre un sistema está codificada en un rayo en un espacio de Hilbert. En QFT, y a diferencia de QM no relativista, no hay | X ⟩ base, por lo que no se puede construir una función de onda φ ( t , X ) = ⟨ X | φ ( t ) ⟩ para codificar esta información. Lo que puedes hacer es codificar esta información en las llamadas funciones de correlación (cf. Teorema de Reconstrucción de Wightman ). Necesitas una infinidad de funciones para codificar toda la información del sistema. De manera equivalente, se puede codificar esta misma información en un solo funcional, ya sea a través de una integral funcional o como un funcional de onda (cf. 214552 ).

  2. Esto no cambia, excepto quizás por el hecho de que suele ser mucho más conveniente desarrollar operadores en lugar de estados, porque la covarianza se vuelve manifiesta. La ecuación abstracta de Schrödinger, d d t | ψ ⟩ = − i H | ψ ⟩ es tan válido en QM no relativista como lo es en QFT (y también lo es la ecuación de Heisenberg, A ˙ = i [ H , A ] ). En este sentido, la evolución sigue siendo unitaria, pero se expresa en términos de operadores en lugar de estados.

  3. Esto no ha cambiado.

  4. Esto no cambia, excepto quizás por el hecho de que a veces es conveniente agrandar artificialmente el espacio de Hilbert para incluir "estados normativos negativos", es decir, el producto interno se relaja en una forma sesquilineal (que concuerda con el definido positivo). producto interno "verdadero" en el "verdadero" espacio físico de Hilbert).

  5. Esto no ha cambiado.

Entonces, si reemplazo "función de onda" con "vector de estado", ¿puedo mantener todo sin cambios (ignorando problemas de conveniencia)?
Sí. Para ser más precisos, deberías hablar de rayos en lugar de vectores de estado (porque, como ya sabes, la fase del vector es irrelevante).
Cuestión menor de terminología. Un estado físico corresponde a un elemento de un espacio de Hilbert proyectivo : una clase de equivalencia de vectores en un espacio de Hilbert que difieren en un múltiplo constante, en otras palabras, un subespacio unidimensional del espacio de Hilbert. ¿No sería más natural referirse a estos como "líneas" en el espacio de Hilbert en lugar de "rayos"? Después de todo, medir el global tu ( 1 ) la simetría da como resultado el haz de líneas complejo (no "haz de rayos") de QED, y un espacio proyectivo a menudo se denomina vagamente "el conjunto de líneas [no rayos] a través del origen".
@tparker buena pregunta. Realmente no sé la respuesta. La razón podría ser que "excluye la 0 , y por lo tanto es un "rayo" que emana del origen". O quizás el concepto lo introdujo alguien de un país no angloparlante y "rayo" era una traducción literal. Podríamos terminar preguntándonos por el origen histórico del nombre en Historia de la ciencia y las matemáticas. Te lo haré saber.
De hecho, esa puede ser la razón, pero si es así, no es una muy buena razón. Por analogía, ¿por qué R ∖ { 0 } ser más como un rayo que como una línea?

La teoría cuántica de campos es la mecánica cuántica aplicada a los sistemas causales covariantes de Lorentz. Es decir, la teoría cuántica de campos es simplemente mecánica cuántica más relatividad especial. Exigir covarianza y causalidad de Lorentz restringe los sistemas de los que se puede hablar. Por ejemplo, una red cristalina rompe por completo la simetría de Lorentz, así que eso queda descartado.

Los sistemas de los que se puede hablar resultan ser aquellos hechos a partir de campos cuánticos locales covariantes de Lorentz. Este es básicamente el mensaje de las primeras 250 páginas de The Quantum Theory of Fields de Weinberg . Aquí está el comienzo de Ch.2:

El punto de vista de este libro es que la teoría cuántica de campos es como es porque (con ciertas salvedades) es la única manera de reconciliar la mecánica cuántica con la relatividad especial. [...] Primero, algunas buenas noticias: la teoría cuántica de campos se basa en la misma mecánica cuántica que fue inventada por Schrödinger, Heisenberg, Pauli, Born y otros en 1925-26, y se ha utilizado desde entonces en estudios atómicos, moleculares. , Física nuclear y de la materia condensada. [...] [E]sta sección proporciona sólo el más breve de los resúmenes de la mecánica cuántica [...]

(i) Los estados físicos están representados por rayos en el espacio de Hilbert. [...]

(ii) Los observables están representados por operadores hermitianos. [...]

Estos, en su forma completa en el libro, cubren más o menos los puntos del 1 al 5.

También recomiendo la charla de Weinberg, ¿Qué es la teoría cuántica de campos y qué pensábamos que era?

Creo que, a nivel pedagógico, pensar en la teoría cuántica de campos como algo diferente y no solo como un subconjunto de la mecánica cuántica puede tener algo que ver con que los estudiantes se vean expuestos por primera vez a la ecuación de Schrödinger en la forma incorrecta. La ecuación de Shrödinger no es, fundamentalmente, una PDE en el espacio real. Es una ODE en el espacio de Hilbert. En consecuencia, uno no debe comenzar con funciones de onda, sino con vectores de estado, como han señalado otras respuestas y comentarios.

Por ejemplo, una red cristalina rompe por completo la simetría de Lorentz, así que eso queda descartado. Esto me parece mal. La invariancia de Lorentz es una invariancia de las leyes de la física. No se viola solo porque un estado físico de un sistema carece de esa simetría.
@BenCrowell sí, un cristal es un estado de ruptura de simetría de una teoría invariante de Lorentz. Lo que quiero decir es que el hamiltoniano que describe las perturbaciones en torno a este estado, en la jerga, la teoría del campo efectivo de baja energía, no es la covariante de Lorentz, por lo que no es un sistema que nos interese como una teoría explícitamente relativista. Lo uso como un ejemplo de la invariancia de Lorentz que restringe los hamiltonianos que podemos usar. La pregunta es entonces cómo construir unos que podamos usar. No podemos usar los operadores regulares x,p porque son 3 vectores. Clásicamente, usamos campos tensoriales de Lorentz, cada uno
cuyo componente es un número. En QM, debemos averiguar cómo actúa el grupo de Lorentz en el espacio de Hilbert y partir de ahí. Saltándonos 200 páginas de Weinberg, resulta que la forma de garantizar una teoría invariante de Lorentz es construirla a partir de productos locales de campos cuánticos causales, cada componente de los cuales es un operador.
"La ecuación de Shrödinger no es, fundamentalmente, una PDE en el espacio real. Es una ODE en el espacio de Hilbert". esto es realmente genial, gracias :)

Todos estos postulados continúan siendo válidos en QFT relativista, excepto que el operador de evolución temporal ya no está definido por la ecuación de Schrödinger con un hamiltoniano no relativista.

El único que requiere una nueva elaboración significativa en el contexto relativista es la existencia de un producto interno. En la teoría de calibre no abeliana, a menudo es un truco de cálculo útil expandir formalmente su espacio de Hilbert a un espacio de estado más grande que incluye "fantasmas" de norma negativa. Tal espacio de estado ya no es un espacio de Hilbert porque su forma bilineal sesquisimétrica ya no es definida positiva y, por lo tanto, ya no es un producto interno. Pero el punto clave es que nunca tienes que introducir fantasmas; son simplemente un truco de cálculo útil, pero no existen físicamente. Siempre puedes hacer cualquier cálculo sin invocar fantasmas; Ver aquí _

QFT es solo QM...

Para ampliar el comentario de Adomas Baliuka: todos los QFT que sabemos construir de forma matemáticamente rigurosa cumplen tus 5 axiomas. Como se resume muy bien en la respuesta de AccidentalFourierTransform, las diferencias con la formulación mecánica cuántica estándar de una sola partícula están más en la interpretación física del vector de estado y en el tipo de observables que puede definir en su espacio de Hilbert (por ejemplo, estará midiendo el número de partículas en una región dada del espacio, en lugar de medir la posición de una partícula dada).

Además, es posible que desee restringir el término QFT a las teorías cuánticas que cumplen axiomas adicionales más allá de los básicos QM, como la localidad, la causalidad, la invariancia (local) de Lorentz...

... o alguna generalización adecuada de la misma?

Pero en cualquier caso, es importante tener en cuenta que no hay muchos QFT que sepamos construir: campos libres en cualquier dimensión, campos que interactúan polinómicamente en dimensiones 1+1 y 2+1, un par de otros teorías que interactúan en dimensiones bajas, algunas teorías topológicas (es decir, teorías que parecen teorías de campo a primera vista pero resultan tener solo un número finito de grados de libertad físicos verdaderos),... Hay muchas QFT que nos gustaría construir pero no sé cómo, por lo que sigue siendo una pregunta abierta en la física matemática cuál debería ser el marco axiomático "correcto" para hacer QFT.

Específicamente, es probable que los axiomas que solicita se rompan al menos para QFT en un espacio-tiempo curvo y no estático : allí, es posible que ya no sea posible encontrar un espacio de Hilbert en el que la evolución del tiempo pueda representarse como una unidad transformación. Lo que pasa es que cuando intentas anotar la evolución te encuentras con que te saca de tu espacio de Hilbert )-; Por lo tanto, es posible que deba relajar un poco su definición de lo que es un "estado" de su teoría cuántica, para garantizar que todos los estados sigan siendo estados válidos a medida que evolucionan en el tiempo.

Una propuesta para una noción más general de los estados cuánticos son los llamados estados algebraicos (ver, por ejemplo, esta respuesta mía para una introducción elemental). Se pueden pensar como la generalización matemática natural de estados mixtos (también conocidas como matrices de densidad). Tenga en cuenta que incluso en el contexto de un número finito de grados de libertad, existen axiomatizaciones de la mecánica cuántica en las que los estados mixtos son el objeto fundamental, en lugar de una ocurrencia tardía como en el formalismo estándar. Por ejemplo, este es el caso del llamado enfoque de "teorías de probabilidad generalizadas" , cuyo objetivo es volver a derivar la mecánica cuántica a partir de suposiciones muy básicas sobre los procesos de medición.

Diferencias entre los principios de QM y QFT
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v