Conservación de energía en relatividad general

Hay algunas maneras diferentes de responder a esta. Para ser breve, voy a ser un poco ondulado. En realidad, todavía hay algunas investigaciones en curso con esto.

Ciertos espaciotiempos siempre tendrán una energía conservada. Estos son los espacio-tiempos que tienen lo que se llama un vector de matanza similar al tiempo global (o, si quiere ser muy cuidadoso y pedante, quizás nulo). Los tipos matemáticos definirán esto como un vector cuya forma reducida satisface la ecuación de Killing:$\nabla_{a}\xi_{b} + \nabla_{b} \xi_{a} = 0$. Los físicos solo dirán que$\xi^{a}$es un vector que genera traslaciones de tiempo (o nulas) del espacio-tiempo, y la ecuación de Killing simplemente nos dice que estas traslaciones son simetríasde la geometría del espacio-tiempo. Si esto es cierto, es bastante fácil demostrar que todas las geodésicas tendrán una cantidad conservada asociada con el componente temporal de su traslación, que podemos interpretar como la energía potencial gravitacional del observador (aunque hay algunos efectos relativistas nuevos: por ejemplo, en el caso de objetos que orbitan alrededor de una estrella, se ve un acoplamiento entre la masa de la estrella y el momento angular de los objetos que orbitan que no se muestra clásicamente). El hecho de que pueda definir una energía conservada aquí está fuertemente asociado con el hecho de que puede asignar una energía conservada en cualquier sistema hamiltoniano en el que el tiempo no aparezca explícitamente en el hamiltoniano --> la traducción del tiempo es una simetría de los medios hamiltonianos que hay una energía conservada asociada con esa simetría.

En segundo lugar, puede tener una superficie en el espacio-tiempo (pero no necesariamente en todo el espacio-tiempo) que tenga un vector tangente de muerte conservado. Entonces, sigue el argumento de arriba, pero esa energía es una carga que vive en esa superficie. Dado que las integrales sobre una superficie se pueden convertir en integrales sobre una masa mediante el teorema de Gauss, podemos, en analogía con la ley de Gauss, interpretar estas energías como la energía de la masa y la energía interior .la superficie. Si la superficie es un espacio conforme infinito de un espacio-tiempo asintóticamente plano, esta es la Energía ADM. Si es un infinito conforme nulo de un espacio-tiempo asintóticamente plano, es la energía de Bondi. También puede asociar cargas similares con Horizontes aislados, ya que tienen vectores de muerte nulos asociados con ellos, y esta es la base de las energías cuasi-locales elaboradas por York y Brown, entre otros.

Lo que no puede tener es una cantidad de tensor definida globalmente que uno pueda asociar fácilmente con la 'densidad de energía' del campo gravitatorio, o definir una de estas energías para un espacio-tiempo general. La razón de esto es que se necesita un tiempo con el cual asociar una cantidad conservada conjugada con el tiempo. Pero si no hay una forma única de especificar el tiempo, y especialmente ninguna forma de especificar el tiempo de tal manera que genere algún tipo de simetría, entonces no hay forma de avanzar con este procedimiento. Por esta razón, muchos espaciotiempos generales tienen características bastante patológicas. Se cree que solo una proporción muy pequeña de las soluciones exactas conocidas de la ecuación de Einstein tiene mucho que ver con la física.

La conservación de la energía funciona perfectamente en la relatividad general. El lagrangiano general es invariable en las traducciones de tiempo y el teorema de Noether se puede utilizar para derivar una corriente conservada exacta y no trivial para la energía. Lo único que hace que la relatividad general sea un poco diferente del electromagnetismo es que la simetría de traslación del tiempo es parte de una simetría de calibre más grande, por lo que el tiempo no es absoluto y se puede elegir de muchas maneras. Sin embargo, no hay problema con la derivación de la energía conservada con respecto a cualquier elección de traducción de tiempo.

Este problema tiene una larga e interesante historia. Einstein dio una fórmula válida para la energía en el campo gravitatorio poco después de publicar la relatividad general. A los matemáticos Hilbert y Klein no les gustó la dependencia de las coordenadas en la formulación de Einstein y afirmaron que se reducía a una identidad trivial. Reclutaron a Noether para que elaborara un formalismo general para las leyes de conservación y afirmaron que su trabajo apoyaba su punto de vista.

El debate continuó durante muchos años, especialmente en el contexto de las ondas gravitacionales que algunas personas afirmaron que no existían. Pensaron que las soluciones linealizadas para las ondas gravitacionales eran equivalentes al espacio plano a través de transformaciones de coordenadas y que no tenían energía. En un momento, incluso Einstein dudó de su propio formalismo, pero luego volvió a su punto de vista original de que la conservación de la energía se mantiene. El problema finalmente se resolvió cuando se encontraron soluciones exactas de ondas gravitacionales no lineales y se demostró que transportan energía. Desde entonces, esto incluso se ha verificado empíricamente con una precisión muy alta con la observación de la desaceleración de los púlsares binarios en concordancia exacta con la radiación prevista de energía gravitacional del sistema.

La fórmula de la energía en la relatividad general se suele dar en términos de pseudotensores como los propuestos por Laundau & Lifshitz, Dirac, Weinberg o el mismo Einstein. Wikipedia tiene un buen artículo sobre estos y cómo confirman la conservación de energía. Aunque los pseudotensores son objetos matemáticamente rigurosos que pueden entenderse como secciones de haces de chorro, a algunas personas no les gusta su aparente dependencia de coordenadas. Hay otros enfoques covariantes, como el superpotencial de Komar o una fórmula mía más general que da la corriente de energía en términos del vector de traducción del tiempo.$k^{\mu}$como

$J^{\mu}_G = \frac{1}{16\pi G} (k^{\mu}R - 2k^{\mu}\Lambda - 2{{k^{\alpha}}_{;\alpha}}^{\mu} + {{k^{\alpha}}_{;}}^{\mu}_{\alpha}+ {{k^{\mu}}_{;}}^{\alpha}_{\alpha})$

A pesar de estas formulaciones generales de conservación de energía en la relatividad general, hay algunos cosmólogos que aún opinan que la conservación de energía es solo aproximada o que solo funciona en casos especiales o que se reduce a una identidad trivial. En cada caso, estas afirmaciones se pueden refutar estudiando las formulaciones a las que me he referido o comparando los argumentos dados por estos cosmólogos con situaciones análogas en otras teorías de calibre donde las leyes de conservación se aceptan y siguen reglas análogas.

Un área de especial controversia es la conservación de la energía en una cosmología homogénea con radiación cósmica y una constante cosmológica. A pesar de todas las afirmaciones en contrario, una fórmula válida para la conservación de la energía en este caso se puede derivar de los métodos generales y está dada por esta ecuación.

$E = Mc^2 + \frac{\Gamma}{a} + \frac{\Lambda c^2}{\kappa}a^3 - \frac{3}{\kappa}\dot{a}^2a - Ka = 0$

$a(t)$es el factor de expansión universal en función del tiempo normalizado a 1 en la época actual.

$E$es la energía total en una región de volumen en expansión$a(t)^3$. Esto siempre llega a cero en una cosmología perfectamente homogénea.

$M$es la masa total de materia en la región

$c$es la velocidad de la luz

$\Gamma$es la densidad de la radiación cósmica normalizada a la época actual

$\Lambda$es la constante cosmológica, considerada positiva.

$\kappa$es la constante de acoplamiento gravitatorio

$K$es una constante que es positiva para el espacio esférico cerrado, negativa para el espacio hiperbólico y cero para el espacio plano.

Los primeros dos términos describen la energía en la materia y la radiación, sin cambiar la energía de la materia y disminuyendo la radiación a medida que el universo se expande. Ambos son positivos. El tercer término es "energía oscura", que actualmente se cree que es positiva y contribuye con aproximadamente el 75% de la energía no gravitatoria, pero esto aumenta con el tiempo. Los dos términos finales representan la energía gravitacional que es negativa para equilibrar los otros términos.

Esta ecuación se cumple como consecuencia de las conocidas ecuaciones cosmológicas de Friedmann , que provienen de las ecuaciones de campo de Einstein, por lo que no es tan trivial como algunas personas han afirmado que debe ser.

Para continuar con Jerry Schirmer, el vector Killing define isometrías en una variedad. Si existe un vector Killing$K_t~=~\partial/\partial t$esto significa el impulso$K_t\cdot P~=~$constante. Esta es entonces una afirmación que puede interpretarse como la constancia de una energía etiquetada observable. Como regla general, si un componente métrico involucra el tiempo de manera explícita y, por ejemplo,$K_t~\propto~\sqrt{g_{tt}(t)}$no es propio o la acción de este vector no es una isometría.

Esto sucede con la ecuación FLRW de la cosmología. En una forma de De Sitter tenemos

$$ds^2~=~dt^2~-~e^{\sqrt{\Lambda/3}t}(dr^2~+~r^2d\Omega^2),$$ que tiene una dependencia del tiempo. Por lo tanto, no podemos derivar una conservación de la energía a partir de los primeros principios. La curvatura de Ricci es $R_{\mu\nu}~=~\Lambda g_{\mu\nu}$, y para $k~=~0$la curvatura espacial es cero. La constante cosmológica depende de la densidad de energía del vacío, además de los términos de presión. Con la ecuación de estado $p~=~-\rho$, que se aproxima bastante bien a los datos de observación, uno puede hacer un trabajo de equilibrio detallado para mostrar que el universo es una nada neta y sigue siéndolo.

¿Esto se conecta con algo más profundo que solo un "balance detallado"? Podría, y sospecho que el análisis de Phillip se conecta con esto. La métrica deSitter es una teoría conforme dependiente del tiempo de una métrica plana.$g'~=~\Omega^2g$el elemento de línea para$g'$

$$ds^2~=~\Omega^2(du^2~-~d\sigma_{space}^2).$$ Sin embargo, para la variable tiempo $du^2~=~\Omega^{-2}dt^2$ $\Omega$depende del tiempo y $$ds^2~=~dt^2~-~\Omega^2(t)d\sigma_{space}^2.$$ Esto recupera la métrica de De Sitter para $\Omega^2(t)~=~exp(\sqrt{\Lambda/3}t)$. El espacio-tiempo de De Sitter es entonces conformemente equivalente a un espacio-tiempo plano que trivialmente tiene un $K_t~=~\partial/\partial t$. Así que el espacio-tiempo que observamos con la ecuación de estado $p~=~-\rho$es una clase de espaciotiempos que son conformes al espaciotiempo plano y que también conservan $E~=~constant$. Creo que el trabajo de Phillip sobre este asunto proyecta este caso especial de espaciotiempos conformes.