Método para calcular las corrientes de Foucault de un conductor, ¿es correcto?

Question

Método para calcular las corrientes de Foucault de un conductor, ¿es correcto?

Física
electromagnetismo
mecanica clasica
electrodinámica-clásica

Alumno

tengo un conductor con volumen $V$ , pasando un campo magnético ( $B$ ) con velocidad( $v$ ): ingrese la descripción de la imagen aquí

Estoy tratando de calcular las corrientes de Foucault para averiguar la magnitud de la fuerza de arrastre ( $F_d$ ) generó los Eddy's, ¿cómo se puede hacer eso?

ingrese la descripción de la imagen aquí

No pude encontrar una fórmula directa, noté de muchas fuentes que parece ser una tarea difícil.

El conductor está en un circuito abierto (no creo que haga ninguna diferencia si estuviera en un circuito cerrado). Por favor, hágame saber cualquier información adicional que me falta (no estoy seguro de todas las variables requeridas). Los agregaré como una edición.

Gaurav

El campo magnético no cambia, ¿verdad?

Alumno

Sí, el campo magnético es constante. Las corrientes de Foucault se inducen debido al cambio en (A) con el tiempo (t).

Gaurav

No puede tener un límite definido para la región donde existe el campo magnético porque la franja siempre está ahí. Debe proporcionarnos una configuración experimental físicamente significativa mediante la cual se pueda lograr el campo magnético para que podamos continuar.

Respuestas (5)

Método para calcular las corrientes de Foucault de un conductor, ¿es correcto?

Sí, el campo magnético es constante. Las corrientes de Foucault se inducen debido al cambio en (A) con el tiempo (t).
No puede tener un límite definido para la región donde existe el campo magnético porque la franja siempre está ahí. Debe proporcionarnos una configuración experimental físicamente significativa mediante la cual se pueda lograr el campo magnético para que podamos continuar.

floris · Answer 1

Es un tema complicado, pero muy bien estudiado en el contexto de los frenos de corrientes de Foucault, donde la fuerza de retardo se utiliza para crear una fuerza de frenado sin fricción/desgaste mecánico. Para mí, el punto de partida para obtener más información fue esta publicación ; en particular, la publicación de Jim Hardy contenía muchos enlaces buenos.

Parece que algunos de los análisis más significativos fueron realizados por Smythe (1942), Schiber (1974) y Wouterse (1992) - ver este capítulo de tesis para muchos detalles.

Solo resumiendo, parece que hay cuatro factores significativos (sorpresa). Estos son

El campo magnético en sí: espera que la fuerza se escale con el cuadrado del campo, ya que la corriente inducida se escala con el campo, y la fuerza se escala con el producto del campo y la corriente.
La velocidad del movimiento: cuanto más rápido te muevas, mayor será el cambio en el flujo y, por lo tanto, mayor será la fuerza. En primer orden, espera una relación lineal, aunque hay un efecto indirecto sobre la resistencia:
La resistencia efectiva de la placa (resistencia por unidad de área). Para materiales no ferromagnéticos, el efecto pelicular no es muy grande y la corriente fluirá a través del cuerpo de la placa: pero con materiales ferromagnéticos y altas velocidades, la corriente solo ocurrirá en la superficie. Esto aumenta la resistencia y reduce la corriente y, por lo tanto, la fuerza.
El tamaño del parche magnético: cuanto mayor sea el parche, mayor será el segmento de línea de corriente sobre el que puede actuar la fuerza magnética.

Esto significa que para baja velocidad, la fuerza se expresa como

F = \frac{v \cdot B^{2} \cdot A}{ρ / t}

$F = \frac{v\cdot B^2\cdot A}{\rho/t}$

dónde $v$ es la velocidad, $B$ el campo magnético, $A$ el área del parche magnético, $\rho$ la resistividad volumétrica y $t$ el espesor de la placa (resistividad de área $\sigma = \rho / t$ ). Tenga en cuenta que modifiqué ligeramente la ecuación dada en la referencia: mostraba el par de un disco giratorio, del cual deduje la fuerza ( $F = \frac{\Gamma}{R}$ )

Ahora, cuando la velocidad aumenta, las corrientes inducidas pueden generar un campo que es una fracción significativa del campo aplicado; y como mencioné, el efecto piel puede comenzar a jugar. Ambos generarán un término adicional en la relación entre la fuerza y la velocidad, pero en este punto los cálculos se vuelven difíciles de realizar analíticamente y, por lo general, se realizan ajustando datos experimentales.

Pero lo anterior debería darnos un comienzo. Nos dice que los conductores más gruesos experimentan una mayor fuerza y que a medida que las cosas se mueven más rápido, la fuerza aumentará. Hay un hermoso experimento que demuestra las corrientes de Foucault en el que se deja caer un imán fuerte por un tubo de cobre grueso y casi parece flotar: esta observación es totalmente consistente con la ecuación anterior (se necesita cobre grueso para obtener suficiente inducción; y dado que la fuerza aumenta con la velocidad, habrá una velocidad a la cual la fuerza de retardo cancela la gravedad).

Aquí se muestra un video que muestra este fenómeno ; dicho sea de paso, muestra que el efecto es más fuerte para el tubo de cobre que para el tubo de aluminio, lo que es consistente con el hecho de que la conductividad volumétrica del cobre es mayor que la del aluminio (alrededor de 1,5 veces). ).

Gracias por esa publicación informativa, pero tengo algunas preguntas: 1) Con respecto a las velocidades más altas, ¿qué quiere decir con el campo magnético inducido que tiene una fracción significativa del campo aplicado (es decir, oponiéndose/reduciéndolo?)? 2) El conductor con el que estoy trabajando es principalmente de cobre, por lo que podría ignorar el efecto de piel ya que la corriente estará alrededor del conductor, ¿correcto? 3) Estoy considerando altas velocidades (a 20 m / s +), ¿es una suposición segura que las corrientes de Foucault son bastante grandes, por lo tanto, la fuerza es ...?
¡Es sorprendente cómo agregar una limitación/un pequeño espacio de aire reduciría significativamente la fuerza! Debido al aumento de la resistencia. He usado la fórmula anterior en un $(5x5x0.2cm)$ pieza de cobre, moviéndose a $1 m/s$ en un $0.5T$ campo (suponiendo uniforme y constante), obtengo $2.9kN$ de fuerza, eso es un poco masivo, ¿no es así...?
¿Alguna vez ha intentado mover una pieza de metal no magnético cerca de un imán fuerte? Tengo: en el campo marginal de una máquina de resonancia magnética, un bloque de aluminio simplemente no quiere ser movido. Vea por ejemplo este video La velocidad es mucho más baja que 1 m/s y el bloque simplemente no quiere caer... Y recuerde, los frenos de corrientes de Foucault realmente funcionan.
@Key ¡Inadvertidamente descubrió cómo funcionan los descansos magnéticos!
@Floris ¿La mejor manera de reducir esa fuerza (casi nula) en un conductor de cobre es el diseño de la ranura (con pequeños espacios de aire)? O laminaciones? Finalmente, ¿qué pasa si el conductor fuera parte de un circuito de bucle cerrado, la fórmula aún se aplicaría? ¿O la corriente inducida es ahora la fuente de la fuerza de arrastre?
No estoy seguro de lo que quiere decir con "bucle cerrado": el cobre ya es localmente un bucle cerrado. Cualquier cosa que afecte los factores en la ecuación ayudará. En particular, las ranuras/laminaciones reducen el área aparente sobre la que se puede desarrollar una corriente. La terminología habitual es "ranurado" cuando el cobre todavía está en una pieza con ranuras, y "laminado" cuando hay varias piezas unidas (pegadas), con aislamiento en el medio (por ejemplo, barniz, etc.)
@Floris Pregunta final, a velocidades más altas, ¿cuál es el resultado/complicaciones allí?
@Key, las ecuaciones se vuelven significativamente más complicadas: vea la ecuación 3.5 en el capítulo de tesis que vinculé en la respuesta y la explicación de su derivación.
@Key Buena respuesta y referencias. Solo quiero señalar que obtuve la misma respuesta para la ley de fuerza en mi respuesta a continuación ( $\sigma$ es $\rho^{-1}$ , $V$ es $At$ ).
@Floris Parece que a velocidades más altas la inducción magnética disminuye y la fuerza disminuye debido al cambio más rápido en el tiempo ... mi intuición está fuera de los capítulos.
La fuerza disminuye cuando las corrientes inducen tanto campo "contra" que no queda mucho campo para actuar sobre estas corrientes. Entonces, sí, la relación se aplana a medida que aumenta la velocidad. Y no es intuitivamente obvio.
@Floris Acerca de mi estado de "bucle cerrado", no se explicó correctamente. Aquí hay una pregunta que publiqué que explica una confusión y se relaciona con esta. Aquí: physics.stackexchange.com/questions/196781/… ¡ Espero que se una para obtener una respuesta informativa!

octonión · Answer 2

Puedo dar una derivación al dorso del sobre de una fuerza de arrastre que ignora los efectos marginales y otras complicaciones. Digamos que el conductor es una placa de espesor $\Delta z$ viajando con velocidad $v$ en la dirección x. Tome el campo magnético como constante en un área rectangular, con el $\Delta y$ lado perpendicular a la velocidad mucho más largo que $\Delta x$ lado.

El campo eléctrico inducido circulará alrededor de los bordes anterior y posterior del rectángulo en direcciones opuestas. Vea la imagen de Wikipedia y observe cómo la corriente (proporcional al campo) es más fuerte en el medio y apunta perpendicular a la velocidad.

como el $\Delta y$ la longitud del rectángulo se vuelve más larga, solo el campo dirigido y en el medio es significativo (al igual que un solenoide largo).

Luego tomando un camino de integración rectangular de longitud L en la dirección y y usando

\oint mi \cdot d yo = mi L

$\oint E\cdot dl = E L$

= - d Φ / d t = - B d A / d t = - B v L,

$= -d\Phi / dt = -B dA/dt = -B v L,$ entonces la magnitud de E

mi = B v,

$E = B v,$ y es aproximadamente cero fuera del volumen

V = Δ x Δ y Δ z

$V = \Delta x \Delta y \Delta z$ .

Entonces, por la ley de Ohm, la potencia perdida es

PAG = \int mi \cdot j d V = \int σ | mi |^{2} d V = σ B^{2} v^{2} V,

$P = \int E \cdot J dV = \int \sigma \lvert E\rvert^2 dV = \sigma B^2 v^2 V,$ dónde

σ

$\sigma$ es la conductividad del material. Si ejerces una fuerza

F_{d}

$F_d$ para mantener la velocidad

v

$v$ estás haciendo trabajo por tiempo

F_{d} v

$F_d v$ , entonces la fuerza debe ser

F_{d} = σ B^{2} v V .

$F_d = \sigma B^2 v V.$

En general, me imagino que habría un coeficiente al frente que depende de una geometría más detallada. A modo de comparación, aquí hay una fórmula de disipación de potencia con algunos factores numéricos diferentes en el frente y usando frecuencia en lugar de velocidad, pero la misma forma.

Ahora, si está buscando calcular un conjunto más realista de corrientes de Foucault, tome $B(x-vt,y,z)$ ser el campo magnético. Entonces

\nabla \times mi = - \partial_{t} B = v \partial_{X} B

$\nabla \times E = -\partial_t B = v\,\partial_x B$ y asi desde

\nabla \cdot E = 0,

$\nabla\cdot E =0,$ de la fórmula habitual para invertir el rizo,

mi (r) = \nabla \times \int \frac{v \partial_{X} B (r^{'})}{4 π | r - r^{'} |} d V^{'} .

$E(\mathbf{r}) = \nabla\times \int \frac {v\,\partial_x B(\mathbf{r^\prime})}{4\pi \lvert\mathbf{r}-\mathbf{r^\prime}\rvert}dV^\prime.$

Entonces puedes integrar $\sigma \lvert E\rvert^2$ encuentre la potencia disipada y luego la fuerza como se indicó anteriormente.

chris thaliyath · Answer 3

Las corrientes de Foucault se producen cuando la placa de metal que está sujeta a un campo magnético se saca rápidamente. Esto hace que la corriente fluya dentro de la placa de metal y, por lo tanto, se oponga al campo magnético ya existente (ley de Lenz).

Para calcular la corriente, creo que el enfoque sería el siguiente.

Tenemos

$F_d$ , Fuerza externa
$B$ , campo magnético (externo)
$R_d$ , radio del área bajo el campo magnético
$V$ , diferencia de potencial entre los dos extremos del campo magnético
$R$ , resistencia del bucle externo del disco de metal (no voy a entrar en los cálculos)

Y ahora

\int_{\partial Σ} \vec{mi} \cdot d \vec{yo} = - \frac{d}{d t} \int_{Σ} \vec{B} \cdot d \vec{A} .

$\int_{\partial \Sigma} \vec{E} \cdot d \vec{l} = - \frac{d}{dt}\int_\Sigma \vec{B} \cdot d \vec{A} \, .$ Entonces

V = B \cdot cambio de área con el tiempo .

$V = B \cdot \text{change in area with time} \, .$ El cambio de are con el tiempo es

(π R_{d} / 2) (F_{d} / M)

$(\pi R_d / 2) (F_d/M)$ dónde

M

$M$ es la masa de todo el cuerpo.

Para simplificar las cosas, digamos que el cuerpo se mueve a una velocidad constante, es decir $F_d$ es solo para que venza la fuerza de resistencia manteniendo el cuerpo moviéndose a velocidad $u$ .

Entonces $V = B (\pi R_d / 2) * u$ . Ahora la corriente a través del bloque sería $I = V / R$ dónde $R$ es resistencia.

Bienvenido a Physics Stack Exchange. Tenga en cuenta que este sitio es compatible con las matemáticas de estilo TeX. Arreglé las matemáticas en la respuesta para usarla. Haga clic en el botón editar para que pueda ver cómo lo hice. Además, no publique imágenes de ecuaciones; escríbalos. Esto evita que el enlace se rompa y facilita que las personas editen la publicación si hay errores, etc. Finalmente, hubo muchos errores de gramática y puntuación en la respuesta, así que los arreglé. Si el inglés no es su primer idioma, no se preocupe demasiado por la gramática, pero por lo menos escriba "I" en mayúscula y use la puntuación adecuada.

knzhou · Answer 4

No tengo la experiencia que estás buscando, pero aquí hay una grieta:

Este es un problema realmente difícil cuya respuesta depende de las propiedades del material. En particular, la respuesta depende de qué tan grandes sean los 'remolinos': si la corriente se mueve aproximadamente en un círculo grande, entonces el efecto es grande, pero si hay muchos remolinos pequeños, el efecto es pequeño.

Sin embargo, hay un experimento de física estándar de la escuela secundaria en el que enviar una placa de metal a través de un campo magnético lo ralentiza significativamente (debido a las grandes corrientes de Foucault), pero enviar la misma placa de metal con muchas muescas cortas reduce el efecto. .

El hecho de que cortar muescas en la placa pueda tener algún efecto significa que típicamente los remolinos son grandes, del orden del tamaño de la placa. Eso significa que la respuesta de DanielSank debería ser más o menos correcta en el orden de magnitud.

Eso es cierto, y la base de todo esto. Sin embargo, una de mis principales preocupaciones es la importancia de la resistencia del material. Creo que, según lo que dijiste sobre el diseño del surco, no importa tanto como la magnitud del de Eddy.

Jorge Mizzell · Answer 5

Creo que algunas de las respuestas anteriores han cubierto gran parte de las matemáticas, pero para asegurarse de que ve lo complejo que es calcularlo, recuerde que a medida que aumenta la distancia desde el conductor, la densidad de flujo disminuye, de forma no lineal. Con frecuencia se aproxima por la regla del inverso del cuadrado, pero eso es solo para una geometría específica. Definitivamente no está cerca de una ley del cuadrado inverso para muchas geometrías de imanes, como imanes delgados. Por ejemplo, acabamos de hacer las mediciones en un imán de neodimio N50 de 1 pulgada cuadrada x 0,5 pulgadas de espesor y en la superficie mide 4800 gauss, pero a 0,25 pulgadas son 2500 gauss y a 0,5 pulgadas son 1200. Para la ley del cuadrado inverso debería haber sido 1/4 no 1/2. Además, en un imán permanente, el flujo varía dramáticamente sobre la superficie y el ángulo del flujo varía dramáticamente. Para un imán neo N40 de 1 pulgada cuadrada x 2 mm de grosor, puede medir 1000 gauss en el centro y 2300 gauss en las esquinas. Cuando observa el ángulo del flujo en los bordes donde es más fuerte, son casi paralelos a la superficie, mientras que los vectores en el centro serán perpendiculares. A medida que aumenta el grosor del imán, este efecto disminuye y un cubo de 1 pulgada tendrá un perfil más uniforme en toda la superficie.

Es fácil escribir la ecuación que dice integrar el flujo total en el espacio volumétrico sobre el imán y su interacción con el volumen total del material conductor, pero es bastante difícil hacer esto y tener en cuenta las variaciones.

Para complicar aún más el asunto, a medida que aumenta su velocidad, aumentan las corrientes de Foucault inducidas y, a medida que aumenta el flujo magnético en el material conductor, se requerirá un mayor trabajo para inducir la siguiente cantidad de flujo porque la resistencia aumenta en el material.

Aunque esto todavía no cubrirá todo a medida que el flujo se aleja de la superficie del imán, cambia en densidad de flujo y ángulo, de modo que a medida que avanza hacia materiales más gruesos como el aluminio o el cobre, cada incremento de espesor produce menos corrientes de Foucault. Por ejemplo, pasar de cobre de 0,25 pulgadas de espesor a cobre de 0,5 pulgadas de espesor definitivamente aumentará la resistencia, pero no duplicará la fuerza. Dependerá del imán. Para un imán de cubo N52 de 2 pulgadas que aumenta de 0,25 pulgadas de grosor a 0,5 pulgadas de grosor, probablemente aumentará la resistencia alrededor del 80%, pero si se toma un imán N50 de 1 pulgada cuadrada x 0,25 pulgadas de grosor, es posible que solo obtenga un aumento del 40-50% en el efecto de resistencia.

Ahora, aunque calcularlo puede ser extremadamente tedioso, incluso si tiene algunos de los mejores paquetes de software de modelado magnético, encontrará que construir un modelo y medir la fuerza será mucho más fácil. De esa manera, puede usar exactamente lo que desea en su propia aplicación y ver qué resultados obtiene. En SuperMagnetMan, eso es lo que recomendamos para la mayoría de las personas porque pueden comprender fácilmente los resultados que obtienen de una prueba, pero no sabrán los límites del software y si lo contabilizó todo. Obtenemos diseños de imanes modelados todo el tiempo para nuestros clientes y, por lo general, son casi correctos, pero nunca han sido perfectos. Siempre trato de construir un modelo a escala de lo que necesitamos y enviar datos reales al modelador para que puedan ver qué tan cerca está el modelo de la realidad.

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