¿Se puede derivar la energía cinética relativista de la energía cinética newtoniana?

Asumiendo que la conservación de la energía no está "obviada" porque en el nivel más fundamental, la energía se define como la cantidad que se conserva como resultado de la simetría traslacional del tiempo. Todas las fórmulas específicas para la energía, como$mv^2/2$en mecánica no relativista, son solo soluciones al problema "encontrar una cantidad conservada ligada a esa simetría".

Aún así, puedes intentar lograr lo que has definido. Primero, debes darte cuenta de que$K=mv^2/2$solo vale si$v\ll c$: simplemente no es una fórmula válida en relatividad para grandes velocidades. parece que crees eso$E=mv^2/2$es correcto en algunos marcos incluso en relatividad pero no lo es. Su fórmula es solo una aproximación, a través de expansiones de Taylor,

$$\frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = mc^2 + \frac{mv^2}{2} + \frac{3mv^4}{8c^2} + \dots$$ Si quieres usar $E=mv^2$Para pequeños $v$y deducir lo que es $E$por un arbitrario $v$comparable a la velocidad de la luz $c$, debe utilizar un número infinito de sistemas inerciales de interpolación.

En esta pregunta SE

¿Cómo derivar la suma de velocidades sin la transformación de Lorentz?

Ron Maimon explicó cómo se suman las velocidades. Entonces, si desea cambiar a un sistema inercial que se mueve por velocidad$v$, puede calcular una rapidez a partir de

$$\tanh a = \frac vc$$ Estas rapidezes se comportan como ángulos, por lo que si está impulsando algunas velocidades incrementales muchas veces, las rapidezes simplemente se suman (al igual que los ángulos para las rotaciones). Entonces la energía total es $mc^2\cdot \cosh a$que es igual a la fórmula relativista usual pero la derivación de este hecho tendrá que usar algún argumento de conservación de energía similar a uno que conoces. La fórmula relativista es la única que reduce a $mv^2/2$para infinitesimal $v$y que conserva la energía mientras se impulsa el objeto.