Cuadrado perfecto como suma de dos cuadrados perfectos

Este es el esquema de la prueba que se encuentra en el libro "Pruebas del LIBRO" (P.17-22) de Aigner, Martin, Ziegler, Günter M. Es demasiado largo para poner un comentario, así que lo pongo aquí. Por favor, no lo vote.

Lema 1. Para números primos$p=4m+1$la ecuacion$s^2\equiv -1$(modificación$p$) tiene dos soluciones$s\in\{1,2,\dots,p-1\}$, para$p=2$hay una de esas soluciones, mientras que para números primos de la forma$4m+3$no hay solución

Lema 2. Sin número$n=4m+3$es una suma de dos cuadrados.

Proposición. Todo primo de la forma$p=4m+1$es una suma de dos cuadrados, es decir, se puede escribir como$p=x^2+y^2$para algunos números naturales$x,y\in\mathbb{N}$

Teorema. un numero natural$n$se puede representar como una suma de dos cuadrados si y solo si cada factor primo de la forma$p=4m+3$aparece con un exponente par en la descomposición prima de$n$.

La demostración no es muy difícil cuando se utiliza la descomposición de números primos en el anillo gaussiano.$\mathbf Z [i]$:$2$está ramificado, los primos impares$p\equiv -1$modificación$4$permanecen primos ("inertes"), y los primos$p\equiv 1$modificación$4$se "descomponen" como$p=u\pi \bar \pi$, dónde$u=\pm 1, \pm i$y$\pi , \bar \pi$son dos primos conjugados de$\mathbf Z [i]$. Tomando normas se obtiene inmediatamente el teorema clásico de Fermat de que$2$y el$p\equiv 1$modificación$4$son sumas de dos cuadrados. Se sigue fácilmente que un número entero$m=\prod {p_i} ^{a_i}$es una suma de dos cuadrados iff$a_i$es incluso cada vez que$p_i \equiv -1$modificación$4$: simplemente descomponer$m$en$\mathbf Z [i]$(que es un dominio principal) y tome el mapa norma (que es multiplicativo).