Fuerzas generalizadas y energía potencial

Considere un sistema (conservador) de norte norte partículas con r ⃗ yo r → yo siendo sus posiciones.

En este sistema, hay fuerzas atractivas y repulsivas entre estas partículas. F ⃗ yo F → yo será la fuerza neta que actúa sobre la partícula yo yo en alguna configuración del sistema.

Por ahora, consideremos que las partículas no están sujetas a ninguna restricción, es decir, podrían encontrarse en un r ⃗ yo ∈ R 2 r → yo ∈ R 2 . Mi intuición es que desplazando una partícula una distancia infinitesimal en la dirección de la fuerza neta F ⃗ yo F → yo está actuando, es decir, 'ceder' a la fuerza, reduciría la energía potencial del sistema, debido a la forma en que se define el trabajo físico:

W = ∫ F ( s ) re s W = ∫ F ( s ) re s

¿Es correcta mi intuición? ¿Cómo puedo probar esto formalmente?

Consideremos ahora que el sistema está sujeto a algunas restricciones. Podemos usar coordenadas generalizadas q ⃗ = ( q 1 , ... , q norte ) q → = ( q 1 , ... , q norte ) para describir la configuración del sistema, satisfaciendo implícitamente todas las restricciones.

Leí sobre fuerzas generalizadas que se definen como

Q j = ∑ i = 1 norte F ⃗ yo ⋅ ∂ r ⃗ yo ∂ q j , j = 1 , ... , n . Q j = ∑ yo = 1 norte F → yo ⋅ ∂ r → yo ∂ q j , j = 1 , ... , norte .

Mi intuición aquí sería que ajustar una coordenada generalizada q yo q yo por una cantidad infinitesimal en dirección Q yo Q yo nuevamente reduciría la energía potencial del sistema. ¿Esta intuición sigue siendo correcta? ¿Cómo juegan las fuerzas limitantes en esto? ¿Tengo que incluir a aquellos en F ⃗ yo F → yo ? De nuevo, ¿cómo podría probar esta intuición?

Si las partículas están libres, como se indica en "consideremos que todas las partículas están libres", entonces no existe una fuerza de fuerza neta que actúe sobre ellas y, por lo tanto, su pregunta es nula.
@ZeroTheHero La partícula no estará sujeta a ninguna restricción, y posiblemente podría encontrarse en cualquier r ⃗ yo ∈ R 2 r → yo ∈ R 2 . ¿Cómo llamarías a esa partícula?
libre ** de restricciones **

Respuestas (4)

Comentarios directos que harán que las cosas parezcan obvias

Considere un sistema (conservador) de norte norte partículas con r ⃗ yo r → yo siendo sus posiciones.

Oh Dios. Entonces, presumiblemente hay alguna función de energía potencial U ( r ⃗ 1 ,   r ⃗ 2 ,   ... , r ⃗ norte ) U ( r → 1 , r → 2 , ... , r → norte ) .

En este sistema, hay fuerzas atractivas y repulsivas entre estas partículas. F ⃗ yo F → yo será la fuerza neta que actúa sobre la partícula yo yo en alguna configuración del sistema.

De acuerdo, técnicamente necesitamos algo ∇ yo = ( ∂ ∂ X yo ,   ∂ ∂ y yo ,   ∂ ∂ z yo ) ∇ yo = ( ∂ ∂ X yo , ∂ ∂ y yo , ∂ ∂ z yo ) operadores y luego F ⃗ yo = - ∇ yo U . F → yo = - ∇ yo U . No hay problema.

Parece que no estás tan familiarizado con las derivadas parciales; la historia básica es que en re re espacio dimensional R re R re aproximamos una función de R D - 1 → R , R re - 1 → R , que esculpe algunos D - 1 re - 1 "hiperesuperficie" tridimensional, por D - 1 re - 1 "hiperplanos" dimensionales que son planos y tangentes a la superficie. En otras palabras, esta función X re = f ( x 1 , x 2 , ... x D - 1 ) X re = F ( X 1 , X 2 , ... X re - 1 ) se considera aproximadamente igual al plano X re = c 0 0 + c 1   X 1 + c 2   X 2 + ⋯ + c D - 1   X D - 1 X re = C 0 0 + C 1 X 1 + C 2 X 2 + ⋯ + C re - 1 X re - 1 en un pequeño barrio sobre algún punto. Estos términos C yo C yo son "la derivada parcial de F F con respecto a su yo th yo th argumento que mantiene constantes los otros argumentos ", que es la forma matemáticamente verdadera de ver derivadas parciales, aunque la otra forma (que probablemente se le enseñó primero a pensar en ellas) no está muy lejos de ella. 1 Por supuesto, podemos repetir este proceso en cada punto, obteniendo un nuevo plano tangente, por lo que estos son realmente C yo ( x 1 , ... , x D - 1 ) C yo ( X 1 , ... , X re - 1 ) . De manera equivalente, podemos obtener vectores normales de superficie para estas superficies yendo una dimensión más arriba y definiendo sol ( x 1 ... x re ) = f ( x 1 ... x D - 1 ) - x re sol ( X 1 ... X re ) = F ( X 1 ... X re - 1 ) - X re y tomando el re re gradiente dimensional ∇ g = [ c 1 , ... c D - 1 , - 1 ] , ∇ sol = [ C 1 , ... C re - 1 , - 1 ] , si prefieres pensarlo así. 2

Pregunta 1: el trabajo reduce la energía potencial.

Mi intuición es que desplazando una partícula una distancia infinitesimal en la dirección de la fuerza neta F ⃗ yo F → yo ... reduciría la energía potencial del sistema ... ¿Es correcta mi intuición? ¿Cómo puedo probar esto formalmente?

Sí, tu intuición es correcta. La nueva energía potencial después de mover partículas yo yo por una cantidad δ r ⃗ yo δ r → yo es

U + δ yo U = U ( r ⃗ 1 ,   ... r ⃗ i - 1 ,   r ⃗ yo + δ r ⃗ yo ,   r ⃗ i + 1 ,   ... r ⃗ norte ) U + δ yo U = U ( r → 1 , ... r → yo - 1 , r → yo + δ r → yo , r → yo + 1 , ... r → norte ) .
La aproximación con el plano tangente dice
δ yo U = U ( ...   , x yo + δ X yo , y yo + δ y yo z yo + δ z yo ,   ... ) - U ≈ ∂ U ∂ X yo   δ X yo + ∂ U ∂ y yo   δ y yo + ∂ U ∂ z yo   δ z yo , δ yo U = U ( ... , X yo + δ X yo , y yo + δ y yo , z yo + δ z yo , ... ) - U ≈ ∂ U ∂ X yo δ X yo + ∂ U ∂ y yo δ y yo + ∂ U ∂ z yo δ z yo ,
o con un poco más de concisión y generalidad, diríamos en cambio que para cualquier desplazamiento infinitesimal de las partículas del sistema δ r = { δ r ⃗ yo } δ r = { δ r → yo } cambiamos la energía potencial por
δ U = ∇ U ⋅ δ r = ∑ yo ∇ yo U ⋅ δ r ⃗ yo . δ U = ∇ U ⋅ δ r = ∑ yo ∇ yo U ⋅ δ r → yo .
Espero que sea lo suficientemente claro ∇ ∇ siendo el lleno 3 N 3 norte gradiente dimensional
∇ = ( ∂ ∂ X 1 ,   ∂ ∂ y 1 ,   ∂ ∂ z 1 ,   ∂ ∂ X 2 ,   ... ) ∇ = ( ∂ ∂ X 1 , ∂ ∂ y 1 , ∂ ∂ z 1 , ∂ ∂ X 2 , ... )
y r = ( x 1 , y 1 z 1 , x 2 , ... ) r = ( X 1 , y 1 , z 1 , X 2 , ... ) siendo el lleno 3 N 3 norte -dimensional posición. Los usaré nuevamente en un momento.

De todos modos, por la definición de la energía potencial como la función que resuelve estas ecuaciones diferenciales, F ⃗ yo = - ∇ yo U , F → yo = - ∇ yo U , está claro que δ U = ∑ yo ∇ yo U ⋅ δ r ⃗ yo = - ∑ yo F ⃗ yo ⋅ δ r ⃗ yo , δ U = ∑ yo ∇ yo U ⋅ δ r → yo = - ∑ yo F → yo ⋅ δ r → yo , que es exactamente lo que pediste probar. Si aguantas norte - 1 norte - 1 de ellos arreglados δ r ⃗ yo = 0 δ r → yo = 0 0 y solo varia uno de ellos δ r ⃗ k ≠ 0 δ r → k ≠ 0 0 cambias la energía potencial por δ U = - ∇ k U ⋅ δ r ⃗ k . δ U = - ∇ k U ⋅ δ r → k .

Pregunta 2: misma pregunta con fuerzas generalizadas

Mi intuición aquí sería que ajustar una coordenada generalizada q yo q yo por una cantidad infinitesimal en dirección Q yo Q yo nuevamente reduciría la energía potencial del sistema. ¿Esta intuición sigue siendo correcta?

Me refiero a que la forma más fácil de hacer esto (y cualquier trabajo con fuerzas de restricción) es trabajar con los lagrangianos del sistema, en cuyo caso puede tener dificultades para definir la "energía potencial" con la definición más fácil que produce una violación de su intuición. 3 Sin embargo, su definición de "fuerza generalizada" y la definición lagrangiana de "fuerza generalizada" no son equivalentes.

Con su definición, parece sencillo decir:

∑ k U k   δ q k = ∑ yo k F ⃗ yo ⋅ ∂ r ⃗ yo ∂ q k   δ q k = ∑ yo F ⃗ yo ⋅ δ r ⃗ yo = - δ U , ∑ k U k δ q k = ∑ yo k F → yo ⋅ ∂ r → yo ∂ q k δ q k = ∑ yo F → yo ⋅ δ r → yo = - δ U ,
como anteriormente. El formalismo lagrangiano parece incluir lo que podría llamarse "fuerzas inerciales" en su fuerza generalizada, mientras que su definición no lo hace. Todo lo que realmente necesitas es la declaración ∑ k ∂ r ⃗ yo ∂ q k   δ q k = δ r ⃗ yo , ∑ k ∂ r → yo ∂ q k δ q k = δ r → yo , pero solo mira su x , y z X , y , z componentes y verás exactamente la misma historia que hemos repetido un par de veces, que si tienes X yo ( q 1 q 2 , ... ) X yo ( q 1 , q 2 , ... ) luego δ X yo = ∂ X yo ∂ q 1   δ q 1 + ∂ X yo ∂ q 2   δ q 2 + ... δ X yo = ∂ X yo ∂ q 1 δ q 1 + ∂ X yo ∂ q 2 δ q 2 + ... , y la ecuación anterior se sostiene como una generalización trivial.

Entonces, de nuevo, hay una definición de "fuerza generalizada" que no obedecerá su intuición, aunque puede haber una definición de "energía potencial generalizada" que luego lo ayudará de nuevo ... pero su definición no lo es, y lo hará obedece siempre tu intuición. (Si no leyó la nota al pie, la otra definición dice "aquí están mis momentos generalizados pags yo pags yo , mis fuerzas generalizadas son re pags yo / d t . re pags yo / / re t . "Es por eso que obtienes fuerzas de inercia allí si tus coordenadas lo permiten".

Pregunta 3: fuerzas de restricción

¿Cómo juegan las fuerzas limitantes en esto? ¿Tengo que incluir a aquellos en F ⃗ yo F → yo ? De nuevo, ¿cómo podría probar esta intuición?

Bueno, ¿qué es lo más simple que funciona? Digamos que tienes alguna restricción F ( r ⃗ 1 r ⃗ 2 , ... r ⃗ norte ) = C . F ( r → 1 , r → 2 , ... r → norte ) = C . Podemos modelar esto agregando a U U algun termino α [ f ( ... ) - C ] 2 α [ F ( ... ) - C ] 2 para algunos muy grandes α , α , Esto hará que el costo de energía para dejar la restricción sea extremadamente alto.

La fuerza generalizada resultante, por lo tanto, también tiene este término muy grande, Q ′ k = Q k + 2 α   F   ∇ f ⋅ ∂ r ∂ q yo . Q k ′ = Q k + 2 α F ∇ F ⋅ ∂ r ∂ q yo . (¡Te dije que lo usaría de nuevo!) ¿O no? ¿Qué significa que una moción obedezca las restricciones? Realmente significa que δ F = ∇ f ⋅ δ r δ F = ∇ F ⋅ δ r debe ser 0 0 0 0 para preservar F ( ... ) = C . F ( ... ) = C . Entonces, si todo esto q yo q yo obedecer la restricción individualmente, luego cada ∂ r / ∂ q yo ∂ r / / ∂ q yo debe ser perpendicular a ∇ f ∇ F para forzar δ F = 0. δ F = 0. Sp en realidad Q ′ k = Q k . Q k ′ = Q k . Aunque estamos preocupados porque α α es enorme, podemos relajarnos precisamente porque nuestras coordenadas encarnan, nunca violan, las restricciones.

Pregunta 4: el principio de energía mínima

[en un comentario] "Exactamente de la misma manera que probarías por qué un resorte comprimido o extendido iría a su posición de equilibrio". - Tiene mucho sentido para mi; pero todavía no tengo idea de cómo podría probarlo formalmente.

En realidad, esto es algo difícil de probar en un sistema conservador, como debería ser, porque la energía se conserva y el resorte comprimido no debería volver fácilmente a su posición de equilibrio, sino que debería oscilar a su alrededor. La forma más fácil es notar que las fuerzas de arrastre generalmente se oponen a la velocidad y, por lo tanto, hacen un trabajo negativo, lo que lleva a una expectativa de minimización de energía total: la energía cinética se minimiza en v yo = 0 v yo = 0 0 , la energía potencial se minimiza donde sea.

Para mantener el sistema conservador, el mecanismo más importante es acoplarlo débilmente a un número infinito de otros grados de libertad, por ejemplo, osciladores, y luego derivar las ecuaciones de movimiento y tomar límites y aproximaciones que ignoren más y más de los otros grados de libertad. libertad y las energías en ellos. Usted encuentra un flujo de energía similar "fuera" de "la parte del sistema que nos importa" y hacia "la parte que no nos importa". Entonces te das cuenta de que también debería haber un flujo de regreso cuando la energía se reduce lo suficiente: et voilà, has redescubierto las fluctuaciones térmicas.

Algunas notas al pie

  1. Probablemente te enseñaron a tomar una derivada con respecto a una expresión simbólica p ( x 1 , ... x norte ) pags ( X 1 , ... X norte ) mientras lo esté agarrando D - 2 re - 2 otras expresiones simbólicas q yo ( x 1 , ... x norte ) q yo ( X 1 , ... X norte ) constante, donde a menudo las expresiones simbólicas son muy triviales como p = x 1 pags = X 1 pero a veces son complicados como r = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 - - - - - - - - - - √ . r = X 1 2 + X 2 2 + X 3 2 . Esto no es demasiado difícil de definir, en teoría. Requiere invertir esas expresiones simbólicas para resolverlas para algunas funciones X yo ( p , q 1 q 2 , ... q D - 2 ) X yo ( pags , q 1 , q 2 , ... q re - 2 ) y luego sustituirlos en, definiendo sol ( p , q ⃗ ) = f ( x 1 ( p , q ⃗ ) ,   X 2 ( p , q ⃗ ) ,   ... ) sol ( pags , q → ) = F ( X 1 ( pags , q → ) , X 2 ( pags , q → ) , ... ) . La derivada de sol sol con respecto a su primer argumento es entonces la definición de "la derivada de F F con respecto a la expresión simbólica pags pags sosteniendo las otras expresiones simbólicas para el otro q yo q yo constante."
  2. Solo quería mencionar que si ves gradientes como vectores normales para nivelar conjuntos sol ( ... ) = C sol ( ... ) = C entonces obtienes una buena interpretación de los multiplicadores de Lagrange como rescalcamientos vectoriales. "Para aumentar F F en sol ( ... ) = C sol ( ... ) = C entonces necesita dar un paso en la dirección de ∇ f ∇ F , por supuesto, no puede hacer este paso exactamente, pero puede hacerlo en la dirección de la proyección normal a ∇ g ∇ sol , ∇ f - ( ∇ f ⋅ ∇ g ) ∇ g / | ∇ g El | 2 , ∇ F - ( ∇ F ⋅ ∇ sol ) ∇ sol / / El | ∇ sol El | 2 , y aún así aumentarlo. La única forma de estar al máximo es si el paso anterior no nos lleva a ninguna parte porque es cero porque los dos vectores ∇ f ∇ F y ∇ g ∇ sol son paralelos ∇ f = λ   ∇ g ∇ F = λ ∇ sol "Boom, λ λ es tu multiplicador de Lagrange.
  3. El lagrangiano de un sistema conservador de partículas es L = ∑ yo metro yo v 2 yo / 2 - U , L = ∑ yo metro yo v yo 2 / / 2 - U , reexpresado en términos de coordenadas { q yo q ˙ yo } { q yo , q ˙ yo } que encarnan sus limitaciones directamente. Las ecuaciones de Euler-Lagrange especifican un impulso generalizado pags yo = ∂ L / ∂ q ˙ yo pags yo = ∂ L / / ∂ q ˙ yo para cada coordenada q yo q yo y una fuerza generalizada F yo ∂ L / ∂ q yo , F yo ∂ L / / ∂ q yo , luego te digo que las ecuaciones de movimiento son siempre re pags yo / d t = F yo , re pags yo / / re t = F yo , y nuevamente no hay necesidad de preocuparse por las restricciones. Dicho esto, no siempre es tan obvio cómo recuperar una noción de "energía potencial" del Lagrangiano, pero la forma más fácil es definir el Hamiltoniano H = - L + ∑ yo   pags yo   q ˙ yo , H = - L + ∑ yo pags yo q ˙ yo , que intuitivamente es H = K + U H = K + U a los lagrangianos L = K - U L = K - U , de ahí tienes U = ( H - L ) / 2 = - L + 1 2 ∑ yo   pags yo   q ˙ yo . U = ( H - L ) / / 2 = - L + 1 2 ∑ yo pags yo q ˙ yo . Ahora puede ver, "depende". Obviamente F yo   δ q yo = δ yo L F yo δ q yo = δ yo L basado en la definición de fuerza generalizada, por lo que si esto es positivo, el término principal es negativo y la energía potencial "quiere" disminuir. Sin embargo, si algunos pags k pags k depende de q yo q yo y q ˙ k q ˙ k ya es muy grande, bien podría aumentar. Un ejemplo de esto sería un sistema giratorio donde el momento angular funciona como pags θ = ∂ L / ∂ θ ˙ = m r 2 θ ˙ , pags θ = ∂ L / / ∂ θ ˙ = metro r 2 θ ˙ , un paso hacia mayor r r a valores altos de t ˙ h e t a t ˙ h mi t un podría aumentar L L pero aumentar pags θ   θ ˙ pags θ θ ˙ más, para que U U aumenta aunque L L aumenta también. Básicamente, este es un término de fuerza centrífuga que empuja la cosa contra un potencial que quiere mantenerla más cerca del centro; la fuerza generalizada incluye la fuerza centrífuga, pero la definición anterior de energía potencial no lo hace, por lo que cuando la fuerza centrífuga es más fuerte que el potencial, se ve una situación en la que la fuerza generalizada apunta en una dirección que aumenta la energía potencial total, no la disminuye .

Usamos el término potencial "energía" porque está fuertemente relacionado con el trabajo. La relación entre la energía potencial y el trabajo no es algo que pueda probar, pero sí lo hemos definido .

Si introdujo primero la energía potencial, puede definir la fuerza sobre una partícula de la siguiente manera:

F ⃗ ( r ⃗ ) : = - d U d r ⃗ ( r ⃗ ) F → ( r → ) : = - re U re r → ( r → )

Puedes calcular el trabajo a partir de la fuerza anterior.

O, si introdujo la fuerza primero, define (diferencia de) la energía potencial de la siguiente manera:

U ( r ⃗ F ) - U ( r ⃗ yo ) : = - ∫ r ⃗ F r ⃗ yo F ⃗ ( r ⃗ ) ⋅ d r ⃗ U ( r → F ) - U ( r → yo ) : = - ∫ r → yo r → F F → ( r → ) ⋅ re r →

Nota: U U debe ser conservador o la relación estaría mal definida. Y sabes la condición para la parte conservadora;)

Por cierto, puede aumentar la energía potencial del sistema moviendo la partícula a una distancia infinitesimal.

¿Podría proporcionar un ejemplo de dónde aumentaría la energía potencial del sistema al mover una partícula una distancia infinitesimal en la dirección en que la fuerza neta la empuja?
@ChristianSchnorr Lo siento, he leído mal. Tienes el punto. Si la dirección de la fuerza sobre la partícula y el desplazamiento que aplicaste es paralelo, estás aumentando la energía potencial. Si son antiparalelos, por otro lado, está disminuyendo (reduciendo) la energía potencial.
¿Mezclaste los dos? Su declaración actualmente contradice la mía. Además, ¿se aplicaría lo mismo a las coordenadas / fuerzas generalizadas? ¿Por qué?
@ChristianSchnorr La fuerza a la que me refería era la fuerza del sistema (excepto la partícula), mientras que en tu declaración querías decir (creo) la fuerza que tienes que aplicar para que la energía cinética de la partícula no cambie . Claramente, las direcciones de las fuerzas son opuestas (su suma es cero).
Realmente no me importa la energía cinética. Solo estoy interesado en la energía potencial del sistema. Obviamente, puedo calcular la fuerza neta en cada partícula. Ahora mi pregunta es si desplazar una sola partícula una distancia infinitesimal en la dirección de la fuerza neta sobre esa partícula disminuiría la energía potencial del sistema.

Porque la primera oración de la pregunta es

Considere un sistema (conservador) de norte norte partículas con r yo → r yo → sus posiciones

Supongo que en ambas partes de su pregunta está hablando de un sistema conservador.

Déjame intentar responder la primera parte.

Si el sistema está en equilibrio, entonces la energía total del sistema es mínima y la fuerza total en el sistema es cero. Si el sistema no está en equilibrio y no hay restricciones en las partículas, las partículas se moverán (se ajustarán) hasta que minimicen la energía total y disminuyan la fuerza.

Tu dices eso

F yo → F yo → será la fuerza neta que actúa sobre la partícula yo yo en alguna configuración del sistema.

lo que significa que esta no es una configuración de equilibrio y las partículas se moverán hasta que "con suerte" encuentren el mínimo de la superficie de energía potencial y se asienten allí (por supuesto, existe la posibilidad de que el sistema quede atrapado en un mínimo local). Por lo tanto, estoy de acuerdo con su declaración:

Mi intuición es que desplazar una partícula una distancia infinitesimal en la dirección de la fuerza neta reduciría la energía potencial del sistema.

Y tu preguntas

¿Cómo puedo probar esto formalmente?

Exactamente de la misma manera que probarías por qué un resorte comprimido o extendido iría a su posición de equilibrio.

En la segunda parte de su pregunta, habla sobre la fuerza generalizada (tome mi respuesta a la segunda parte con un grano de sal). Hasta donde yo sé en el formalismo lagrangiano (lo uso porque una de las etiquetas de la pregunta es el formalismo lagrangiano) la ecuación de movimiento de Lagrange se puede escribir como

∂ ∂ t ( ∂ L ∂ q yo ˙ ) - ( ∂ L ∂ q yo ) = 0 ∂ ∂ t ( ∂ L ∂ q yo ˙ ) - ( ∂ L ∂ q yo ) = 0 0

y esto solo es cierto para sistemas conservadores, de lo contrario la ecuación dice

∂ ∂ t ( ∂ L ∂ q yo ˙ ) - ( ∂ L ∂ q yo ) = Q yo ∂ ∂ t ( ∂ L ∂ q yo ˙ ) - ( ∂ L ∂ q yo ) = Q yo

Es decir, las fuerzas conservadoras de las que habla en la primera parte de su pregunta que son atractivas y repulsivas y mantienen el sistema unido no son el mismo tipo de fuerzas de las que habla en la segunda parte.

En cualquier caso, si hay fuerzas no conservativas (que no se pueden derivar de un potencial) en su sistema para calcular las trayectorias de las partículas, necesita resolver las segundas ecuaciones de movimiento de Lagrange dadas anteriormente.

"Exactamente de la misma manera que probarías por qué un resorte comprimido o extendido iría a su posición de equilibrio". - Tiene mucho sentido para mi; pero todavía no tengo idea de cómo podría probarlo formalmente.

Las coordenadas generalizadas (bueno ... deberían) ya contienen las restricciones. Por ejemplo, en el caso de un péndulo de longitud ℓ ℓ la coordenada generalizada suele ser la longitud del arco ℓ θ ℓ θ o el ángulo θ θ en sí mismo, en lugar de las coordenadas cartesianas X X y y y (vertical es y y )

La restricción X 2 + y 2 = ℓ 2 X 2 + y 2 = ℓ 2 Precisamente permite el paso de coordenadas cartesianas a generalizadas. Por lo tanto, las fuerzas de restricción se han "eliminado" yendo a coordenadas generalizadas. En los casos más simples, el F ⃗ yo F → yo deben ser los componentes cartesianos (o al menos los componentes en las coordenadas originales). Las partes de F ⃗ yo F → yo que no aportan trabajo neto (como los pares de acción-reacción) serán eliminados automáticamente por la suma de todas las partículas.

Si quieres ser más formal, hay un viejo libro de texto de Whittaker con muchos detalles. De lo contrario, Goldstein es el modo de espera habitual, pero también hay muchos textos de ingeniería relacionados con el método de trabajo virtual que serían útiles en varios niveles de formalidad.

Usted mencionó la suma de todas las partículas, que no es lo que quiero hacer. F ⃗ yo F → yo debería ser la fuerza neta sobre la partícula yo yo . Mi pregunta entonces era si desplazar la partícula en la dirección de F ⃗ yo F → yo reduce la energía potencial del sistema, y ​​si eso se aplica también a las fuerzas generalizadas.
bueno ... entonces no lo entiendo. Usted suma yo yo 's y así es como se definen las fuerzas generalizadas, a través de una sumatoria. Además, Q yo Q yo NO es una dirección: es una fuerza generalizada. (Quieres decir q yo q yo o r yo r yo ?.)
El signo de Q yo Q yo seguro me da una "dirección" en la que ajustar q yo q yo .
Fuerzas generalizadas y energía potencial
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