¿Cuál es la definición de una singularidad temporal y espacial?

¿Cuál es la definición de una singularidad temporal y espacial ?

Tratando de encontrar, pero aún no lo he hecho, cuáles son las definiciones.

Respuestas (2)

Una singularidad es una condición en la que las geodésicas están incompletas. Por ejemplo, si te caes en un agujero negro, tu línea de mundo termina en la singularidad. No es solo que estés destruido. Usted (y las partículas subatómicas de las que está hecho) no tienen líneas de mundo futuras. Una definición cuidadosa de incompletitud geodésica es un poco complicada, porque queremos hablar de geodésicas que no se pueden extender más allá de una cierta longitud, pero la longitud se mide por la métrica, y la métrica se vuelve loca en una singularidad, por lo que la longitud se vuelve indefinida. . La forma de evitar esto es usar un parámetro afín, que se puede definir sin una métrica. La incompletud geodésica significa que existe una geodésica que no se puede extender más allá de un determinado parámetro afín. (Esto también cubre las geodésicas similares a la luz, que tienen una longitud métrica cero).

Hay dos tipos de singularidades, singularidades de curvatura y singularidades cónicas.

La singularidad de un agujero negro es un ejemplo de singularidad de curvatura; a medida que te acercas a la singularidad, la curvatura del espacio-tiempo diverge hasta el infinito, medida por un invariante de curvatura como el escalar de Ricci. Otro ejemplo de una singularidad de curvatura es la singularidad del Big Bang.

Una singularidad cónica es como la que está en la punta de un cono. Las geodésicas están incompletas básicamente porque no hay forma de decir en qué dirección debe ir la geodésica una vez que toca la punta. En GR de 2+1 dimensiones, la curvatura se desvanece de manera idéntica, y el único tipo de gravedad que existe son las singularidades cónicas. No creo que se espere que las singularidades cónicas sean importantes en nuestro universo, por ejemplo, no creo que puedan formarse por colapso gravitatorio.

Las singularidades reales que involucran incompletitud geodésica deben distinguirse de las singularidades coordinadas, que en realidad no son singularidades en absoluto. En el espacio-tiempo de Schwarzschild, como se describe en las coordenadas originales de Schwarzschild, algunos componentes de la métrica explotan en el horizonte de eventos, pero esto no es una singularidad real. Este sistema de coordenadas se puede sustituir por otro diferente en el que la métrica se comporte bien.

La razón por la que los escalares de curvatura son útiles como pruebas para una singularidad de curvatura real es que, dado que son escalares, no pueden divergir en un sistema de coordenadas sino permanecer finitos en otro. Sin embargo, no son pruebas definitivas, por varias razones: (1) un escalar de curvatura puede divergir en un punto que está a una distancia afín infinita, por lo que no causa incompletitud geodésica; (2) los escalares de curvatura no detectarán singularidades cónicas; (3) hay infinitos escalares de curvatura que se pueden construir, y algunos podrían explotar mientras que otros no. Un buen tratamiento de las singularidades se da en el libro en línea de Winitzki, sección 4.1.1.

La definición de una singularidad está cubierta en WP y en todos los libros de texto GR estándar. Supongo que el verdadero problema con el que estabas luchando era la definición de temporal versus espacial.

En GR, una singularidad no es un punto en un espacio-tiempo; es como un agujero en la topología de la variedad. Por ejemplo, el Big Bang no ocurrió en un punto. Debido a que una singularidad no es un punto o un conjunto de puntos, no puede definir su carácter temporal o espacial de la misma manera que lo haría, por ejemplo, con una curva. Una singularidad temporal es aquella que está en el futuro cono de luz de algún punto A pero en el pasado cono de luz de algún otro punto B, de modo que una línea de mundo temporal puede conectar A con B. Las singularidades de agujeros negros y big bang no son temporales. , son como el espacio, y así es como se muestran en un diagrama de Penrose. (Tenga en cuenta que en la métrica de Schwarzschild, las coordenadas r y t de Schwarzschild intercambian sus caracteres temporales y espaciales dentro del horizonte de eventos).

Hay cierta variedad en las definiciones, pero una singularidad temporal es esencialmente lo que la gente quiere decir con una singularidad desnuda. Es una singularidad que puedes tener sentada en tu escritorio, donde puedes mirarla y pincharla con un palo. Para obtener más detalles, consulte Penrose 1973. Además de la definición local que di, también existe una noción global, Rudnicki, 2006, que es esencialmente que no está oculto detrás de un horizonte de eventos (de ahí el término "desnudo"). Lo que se está formalizando es la noción de una singularidad que puede formarse por colapso gravitacional a partir de condiciones iniciales no singulares (a diferencia de una singularidad del Big Bang), y desde la cual las señales pueden escapar al infinito (a diferencia de una singularidad de agujero negro).

Penrose, Radiación gravitacional y colapso gravitacional; Actas del Simposio, Varsovia, 1973. Dordrecht, D. Reidel Publishing Co. pp. 82-91, gratis en línea en http://adsabs.harvard.edu/full/1974IAUS...64...82P

Rudnicki, Singularidades generalizadas de fuerte curvatura y censura cósmica débil en el espacio-tiempo cosmológico, http://arxiv.org/abs/gr-qc/0606007

Winitzki, Temas de relatividad general, https://sites.google.com/site/winitzki/index/topics-in-general-relativity

Eso es excelente. Sí, mi pregunta principal fue lo que explicaste en los dos últimos párrafos, no qué era el espacio-tiempo singular, pero también está muy bien escrito.
Las afirmaciones como "hay dos tipos de singularidades, curvatura y cónicas", están realmente desactualizadas y, si bien su intención fue admirable, tales comentarios enseñan muchas más cosas incorrectas que correctas. Muchas singularidades, por ejemplo, en conifolds, mezclan de manera importante la curvatura singular y la estructura cónica, la curvatura singular es casi omnipresente, mientras que el carácter cónico puede ser tan inusual que la singularidad no es cónica en un sentido útil.
Pero la razón principal por la que rechacé esto es que usted pretendió que la definición de curva de semejanza espacial o semejanza temporal de singularidades como variedades (en el espacio de coordenadas) no era lo suficientemente rigurosa y precisa, pero en realidad reemplazó esta definición evidente por sí misma. puro movimiento de manos sobre objetos sobre la mesa y referencias circulares a otras frases como singularidades desnudas. Esto no explica ni responde nada. El OP y cualquier otra persona no pueden entender por qué no colocaría una singularidad de big bang o una singularidad de Schwarzschild "sobre la mesa" o la desnudaría.
@LubošMotl: Gracias por sus comentarios, pero no estoy de acuerdo con ellos. Con respecto a su primer comentario, la definición de singularidad que dio en su respuesta era incorrecta, ya que no definía una singularidad cónica como singularidad. El que le di soluciona ese problema.
[...] Re su segundo comentario, usted dio una definición incorrecta. Di la correcta provista en el documento de Penrose. La oración donde expliqué la definición de Penrose fue esta: "Una singularidad temporal es aquella que está en el pasado cono de luz de algunos puntos en el espacio-tiempo pero en el futuro cono de luz de otros". El material posterior sobre ponerlo sobre una mesa, etc., se presentó como interpretación, no como definición. El material sobre las singularidades desnudas también era interpretación, y su propósito era explicar por qué nos importaría la noción de una singularidad temporal.
Cuando dice "En GR de 2 + 1 dimensiones, la curvatura se desvanece de manera idéntica", ¿no quiere decir que se desvanece de manera idéntica en el vacío? Ciertamente, puede tener un tensor de Ricci distinto de cero y, por lo tanto, una curvatura en 2 + 1D en presencia de campos de materia.
Cualquier transformación que "reemplace" las coordenadas de Schwarzschild con aquellas "bien comportadas" es necesariamente singular en el horizonte y, por lo tanto, matemáticamente prohibida. Un punto en el horizonte en cualquier coordenada de "buen comportamiento" no corresponde a ningún evento en el espacio-tiempo físico y, por lo tanto, falta en la variedad. Por lo tanto, las geodésicas están interrumpidas e incompletas en el horizonte, lo que las convierte en una singularidad física por definición. Al usar una transformación singular, puede crear o eliminar singularidades en cualquier lugar a voluntad. No es un procedimiento matemático válido y sus resultados no son físicos como se explica.
Además, si bien una singularidad no es parte de la misma variedad métrica, @LubošMotl tiene razón en que una singularidad puede verse como una variedad en un sentido más general, como un conjunto de puntos en algún espacio de coordenadas, aunque de hecho no es un conjunto de puntos de eventos en el espacio-tiempo. Por ejemplo, la singularidad de Schwarzschild es un conjunto de puntos de coordenadas de ( r = 0 , − ∞ < t < + ∞ ) , que es una línea recta similar al espacio en las coordenadas de Schwarzschild eliminadas del espacio-tiempo de Schwarzschild. Definir el Big Bang como un conjunto de puntos o un punto en algunas coordenadas (por ejemplo, incrustaciones afines) depende del modelo cosmológico.
Finalmente, una singularidad puede no ser revelada por un parámetro afín para algunas geodésicas. Como ilustración, considere ρ = 1 / φ norte en coordenadas polares. Aquí ρ = 0 es una singularidad, incluso si el parámetro afín no está vinculado.
Esta respuesta define qué es una singularidad de línea de tiempo, pero no una singularidad espacial.

Las singularidades temporales y espaciales son conjuntos de puntos en el espacio-tiempo donde diverge alguna invariante de curvatura, como un polinomio escalar construido a partir del tensor de Riemann (pero todas las invariantes son finitas en todos los puntos en la vecindad de la singularidad que no pertenecen a la singularidad) de modo que los puntos cercanos en el conjunto estén separados en el tiempo o en el espacio entre sí, respectivamente.

Entonces, uno puede entender qué es una singularidad similar al tiempo o al espacio al entender las palabras "similar al tiempo", "similar al espacio" y "singularidad" por separado. No hay nada realmente nuevo en las frases; el todo es más o menos la suma de sus partes. Una singularidad es una variedad, subvariedad del espacio-tiempo, y la semejanza del espacio y la semejanza del tiempo se determina al igual que para cualquier curva o superficie, etc. en el espacio-tiempo, a partir del signo de d s 2 .

Cuando la dimensión del conjunto singular es mayor que uno, la similitud temporal o espacial real es más complicada y se debe hablar de la firma completa: número de direcciones positivas, negativas y nulas en el espacio. Todavía es cierto que cuando al menos algunas direcciones a lo largo del conjunto son temporales, la gente probablemente lo llamará una singularidad temporal aunque sea mixta.

Gracias, eso ayuda. Mi problema fue que el nombre singularidad temporal me indujo a pensar que se refería a una singularidad debido a la incompletitud de las geodésicas temporales, por ejemplo, el centro de un agujero negro de Schwarzschild, mientras que todos se refieren a ellas como espaciales. Gracias de nuevo.
Una pregunta más, ¿qué pasa si es solo un punto, entonces no puedes decir que los puntos cercanos en el conjunto son de tipo espacial/temporal?
Una singularidad no es una variedad. Por ejemplo, la singularidad de un agujero negro no es un conjunto de puntos. Topológicamente, la singularidad es algo que falta en la variedad. Esta es la razón por la que no se puede decir que una singularidad es una subvariedad del espacio-tiempo y describir su carácter temporal o espacial como lo haría con un conjunto de puntos. Como expliqué en mi respuesta, es por eso que la definición es un poco más delicada y debe hacerse en términos de conos de luz de puntos cercanos.
@ user23071: las singularidades no son conjuntos de puntos, por lo que no tiene sentido hablar de una singularidad como un punto. Sin embargo, puede ser posible definir formalmente la dimensión de una singularidad: physicsforums.com/showthread.php?t=511813 De manera informal, una singularidad de agujero negro es claramente unidimensional en un diagrama de Penrose (no de dimensión cero), y un Big La singularidad de Bang es tridimensional.
Sí, sé que no son un subconjunto de la variedad de espacio-tiempo. Supuse que Lubos estaba siendo impreciso a propósito, para dar una intuición no rigurosa sobre lo que es que una singularidad sea temporal.
Solo quiero decir que estoy de acuerdo en que, de acuerdo con las definiciones matemáticas estándar, las singularidades como las singularidades de los agujeros negros no son múltiples, al menos no de acuerdo con la topología inducida por la métrica del espacio-tiempo real (que a menudo es singular en los lugares de singularidad, de todos modos). Siguen siendo regiones del espacio de coordenadas que serían múltiples si el espacio de coordenadas estuviera equipado con una métrica no singular.
Me alegra que estemos de acuerdo en cuáles son las definiciones estándar. Soy escéptico de que sea factible o una buena idea desarrollar una definición alternativa en la línea que usted propone. Un problema particular con su enfoque propuesto es cuando dice, "la semejanza del espacio y la semejanza del tiempo se determina al igual que para cualquier curva o superficie, etc. en el espacio-tiempo, a partir del signo de d s 2 " Esto no funciona, porque la métrica no está bien definida en las coordenadas donde ocurre la singularidad. Incluso aparte de ese problema con su propuesta, dudo que la inspección de las coordenadas sea suficiente [...]
[...] definir una subvariedad sin métrica para la singularidad. Por ejemplo, tome un espacio riemanniano bidimensional que sea plano en todas partes y tenga una singularidad cónica en r = 0 en las coordenadas polares habituales, de modo que topológicamente es un plano al que se le ha quitado un punto. En estas coordenadas, la singularidad parece una variedad de 0 o 1 dimensión. Pero si cambio las coordenadas a r ′ = r + C , dónde C > 0 es const., la singularidad se convierte en una 2-variedad en ( r ′ , θ ) espacio de coordenadas. Tal vez esto no sea lo que tenía en mente, pero dado que su definición no es estándar, la responsabilidad de desarrollarla recae sobre usted.
Un par de meses después del diálogo anterior, me encontré con una definición de una forma de definir una singularidad como un conjunto de puntos, adjuntando puntos ideales a la variedad. Fue en el mismo artículo de Penrose al que hice referencia en mi respuesta, en la p. 85. La definición es independiente de las coordenadas e involucra una noción llamada conjuntos terminales pasados ​​y futuros indescomponibles, definida por Geroch.
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