Interpretación física de las coordenadas Kruskal-Szekeres

Yo (personalmente) no creo que debamos hablar sobre el significado de las coordenadas. La métrica de Kruksal es una re-coordinación útil del espacio-tiempo de Schwarzschild.

Si aprendió sobre la métrica de Schwarzschild, entonces probablemente vio que los conos de luz se deforman a medida que se acerca al horizonte de eventos (y se voltea una vez dentro), esto se debe a que incluso a la luz le resulta difícil salir de la vecindad del agujero negro debido a la deformación. del espacio-tiempo allí (no del todo atracción gravitacional, ya que la gravedad como fuerza no existe en GR). Además, tenga en cuenta que los conos de luz se acercan a los de la métrica de Minkowski para$r>>2M$.

Una de las principales diferencias entre la métrica de Schwarzschild y la de Kruksal es que en esta última se conservan los conos de luz como si se tratara del espacio-tiempo de Minkowski. El$X$las líneas de coordenadas son hipérbolas en lugar de líneas verticales; mientras que el$T$las líneas de coordenadas son líneas rectas que pasan por el origen ($T=0$es una línea horizontal y como$T \rightarrow \infty$la línea se acerca al horizonte de sucesos). La ventaja de las coordenadas de Kruksal es que puedes ver muchas cosas bonitas allí:

-Una región de la que nada puede escapar (agujero negro)

-Una región donde no puede quedar nada (agujero blanco, aunque estos son probablemente solo un extra [como la solución de una trayectoria parabólica da dos soluciones pero solo la del futuro es relevante])

-Otra sección del espacio-tiempo que está completamente aislada de la otra (universo paralelo)

-Un "puente" entre los dos universos (en$T=0$podrías cruzar al otro lado... si pudieras ir más rápido que la luz... así que... nop) (agujero de gusano)

Hay otra transformación conforme utilizada para los diagramas de Penrose que presenta las mismas cosas pero es más agradable en algunos aspectos. (Simplemente busque en Google "Diagrama de Penrose Schwarzschild").

Espero haber ayudado.

El significado físico de las coordenadas de Kruskal-Szekeres es que tanto las geodésicas nulas entrantes como las salientes corresponden a líneas inclinadas de 45° en el diagrama de espacio-tiempo.

Más precisamente, las geodésicas nulas radiales corresponden a

$$\begin{array}{l} T+X=\mathrm{const},\qquad \text{infalling,}\\ T-X=\mathrm{const},\qquad \text{outgoing.} \end{array}$$

En cuanto a la otra parte de la pregunta:

parece que$T$,$X$tienen el significado de "el tiempo adecuado" y "la distancia adecuada" medidos por un observador en caída libre. ¿Es eso correcto?

Dado que el elemento de línea en términos de$T$,$X$tiene un factor delante de$dT^2$que es divergente como singularidad ($r=0$) se aborda, la respuesta a esa pregunta parece ser 'no'.

No estoy seguro si su comprensión sobre el significado físico de las coordenadas de Schwarzscild es correcta. En GR, a menudo escuché que las cantidades locales no tienen sentido debido a las diferencias. invariancia

La geometría de Schwarzscild se puede entender usando la siguiente imagen: supongamos que hay un observador en cada posición del espacio con un valor fijo$(r,\theta,\phi)$(llamado observador de Schwarzschild), cada observador lleva dos relojes. Uno es el reloj estándar que registra su tiempo adecuado. Un reloj Schwarzscild registra el tiempo de coordenadas t que se ejecutará a una velocidad adecuada diferente en una posición diferente. En el infinito, los dos relojes funcionan a la misma velocidad. En cada posición tenemos

$$\mathrm{d}\tau~=~\sqrt{1-\frac{2GM}{r}} \, \mathrm{d}t~=~\left.\mathrm{d}t\right|_{t \to \infty}\,.$$ La distancia adecuada del observador de Schwarzschild es $$\mathrm{d}l~=~\frac{\mathrm{d}r}{\sqrt{1-\frac{2GM}{r}}}\,.$$

Para las coordenadas de Kruskal, lo cual es bueno para el observador en caída libre, ya que cubre toda la geometría.

$$\mathrm{d}s^2~=~-\frac{32G^3M^3}{r} \, \exp{\left(-\frac{r}{2GM}\right)} \left(\mathrm{d}T^2-{\mathrm{d}Z}^2 \right)+r^2 \,\mathrm{d}\Omega^2$$ Para el observador de caída libre radial, en cada posición, el tiempo adecuado es $\mathrm{d}\tau \propto \mathrm{d}T$, y la distancia adecuada es $\mathrm{d}l \propto \mathrm{d}Z$.