calcular la velocidad terminal de una vela solar teórica cuando alcanza una distancia d donde la aceleración es insignificante

Question

calcular la velocidad terminal de una vela solar teórica cuando alcanza una distancia d donde la aceleración es insignificante

usuario34078

Estoy tratando de calcular la velocidad terminal de una vela solar a partir de la distancia 1AU. Sé que mi vela acelerará y su aceleración será inversamente proporcional a la distancia al cuadrado. esto significa que a medida que se aleja del sol, técnicamente hay menos fotones que golpean el área de la superficie y, por lo tanto, la aceleración de la vela disminuirá.

¿Cómo es posible calcular la velocidad terminal?

Inicialmente pensé en abordar el tema calculando el cambio en la aceleración y esperaba que fuera constante, pero extrañamente descubrí que el tirón (cambio en la aceleración o la tercera derivada del desplazamiento) también cambia con el tiempo. esto no me permite derivar una función adecuada de la velocidad con el tiempo, la aceleración inicial, la sacudida y...

Tengo una función de la fuerza ejercida sobre la vela que cambia con la distancia, así como la aceleración que cambia con la distancia, pero no sé cómo llegar a la velocidad de la vela. Sé que probablemente se necesita cálculo.

UH oh

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Respuestas (1)

calcular la velocidad terminal de una vela solar teórica cuando alcanza una distancia d donde la aceleración es insignificante

steve linton · Answer 1

Este es un cálculo bastante sencillo, al menos hasta cierto nivel de detalle. Tanto la gravedad como la presión de la luz sobre la vela caen en una relación de cuadrado inverso a la distancia del sol, por lo que la fuerza neta y la aceleración hacen lo mismo. Entonces la ecuación que tenemos que resolver es

\frac{d^{2} r}{d t^{2}} = k / r^{2}

$\frac{d^2r}{dt^2} = k/r^2$ donde podríamos tomar

r

$r$ en AU, y

k

$k$ la aceleración inicial en

A U / s^{2}

$AU/s^2$ . Las condiciones de contorno son

r = 1

$r = 1$ en

t = 0

$t=0$ y

\frac{d r}{d t} = 0

$\frac{dr}{dt} = 0$ en

t = 0

$t = 0$ , y podemos suponer

k > 0

$k > 0$ o la vela no sirve de mucho.

Podemos resolver esto bastante fácilmente si tomamos $v = \frac{dr}{dt}$ entonces $\frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dr}\frac{dr}{dt} = v\frac{dv}{dr}$ . Entonces nuestra ecuación se convierte en

v \frac{d v}{d r} = k / r^{2}

$v\frac{dv}{dr} = k/r^2$ o

v d v = \frac{k d r}{r^{2}}

$v\, dv = \frac{k\, dr}{r^2}$ integrando

v^{2} = \frac{- 2 k}{r} + C

$v^2 = \frac{-2k}{r} + c$

ahora usando $v = 0$ en $r= 1$ obtenemos $c = 2k$ y

v = \sqrt{2 k (1 - 1 / r)}

$v = \sqrt{2k\left(1-1/r\right)}$ que proporciona la respuesta a la pregunta: la velocidad límite en general

r

$r$ es

\sqrt{2 k}

$\sqrt{2k}$ .

+1¿Esa ecuación diferencial tiene una solución analítica? En esta respuesta hice trampa y simplemente pegué lo que parece ser uno, sin resolverlo yo mismo analíticamente. Si puede averiguar cómo se hace eso, puede agregarlo aquí y nuevamente allí como una nueva respuesta. Han pasado demasiadas décadas desde que tomé DiffEQs.

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usuario34078

UH oh

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steve linton

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