¿A qué tamaño una vela solar más grande deja de aumentar tu aceleración?

Mientras otras variables se mantengan constantes (como la orientación con respecto a la dirección del sol, la reflectividad de la superficie de la vela, etc.), la fuerza producida por una vela solar siempre es proporcional a su área, al menos, hasta que el el tamaño de la vela se vuelve ridículamente grande, ¡una fracción significativa de la distancia al sol!, por lo que más grande siempre produce más empuje. El área referenciada es el área de la vela proyectada sobre un plano perpendicular a la dirección del sol; si gira una vela solar de canto hacia el sol, ¡no obtendrá mucho empuje!

Pero, como dice @Hobbes, aunque más área produce más fuerza, no siempre produce más aceleración , que es lo importante.

Las velas solares tienen una figura de mérito, una especificación de rendimiento, de la cantidad de masa que se necesita para hacer una unidad de área de la vela: la densidad de área . Dada la densidad de área$\rho$, la masa de una vela es$\rho \times A$, donde A es el área total de la vela.

El empuje máximo que puede producir una vela (orientada de cara al sol) está en función de su área, su reflectividad y la intensidad de la luz solar que incide sobre ella:

$$F = \frac {Io A} {r^{2}}\frac{1+R}{2}$$ donde F es el empuje; Io es la fuerza que se produce sobre una superficie perfectamente reflectante de unidad de área orientada de cara al sol, a una distancia de 1 UA; A es la superficie vélica total (sin ningún efecto de proyección); r es la distancia heliocéntrica (más fácil si usa AU); y R es la reflectividad de la vela, 0 para absorción perfecta y 1 para reflexión especular perfecta ; para superficies reflectantes difusas, R es menor que 1.

Manteniendo todo constante excepto el área, esto se reduce a

$$F = k A$$ donde k es una constante determinada por todos los demás factores: $$k = \frac {Io} {r^{2}}\frac{1+R}{2}$$

La aceleración producida por una vela solar es solo la fuerza producida dividida por la masa total de la nave espacial, que es la masa de la vela más la masa de todo lo demás, llámese Msc :

$$Acc = \frac {k A} {\rho A + Msc}$$ Cuando la masa de la vela ( $\rho$A) es aproximadamente igual o menor que Msc , al aumentar el área de la vela aumenta la aceleración. Pero si hace que la vela sea enorme, muchas veces Msc , entonces los aumentos en el área de la vela apenas afectan la aceleración resultante. A medida que la masa de la vela se vuelve mucho, mucho mayor que Msc , Msc se vuelve insignificante y la ecuación de aceleración se acerca a $$Acc = \frac {k A} {\rho A} = \frac{k}{\rho}$$ o la fuerza por unidad de área dividida por la masa por unidad de área. Esto se denomina aceleración característica de la vela y es la cantidad que establece los límites del rendimiento de una vela solar.

Este es el resultado neto: a medida que se hace más grande una vela unida a una nave espacial fija, el potencial de aceleración de la nave se acerca asintóticamente a la aceleración característica, pero nunca puede alcanzarla o superarla.

Nota: las velas solares orientadas de esta manera generalmente no ganan mucha energía, o ninguna, en el caso de una órbita circular. Las velas solares son más efectivas para agregar energía neta cuando el vector de fuerza se alinea con el vector de velocidad de la nave espacial, que casi nunca se aleja radialmente del sol.

Como mostró Tom Spilker, llega un punto en el que más vela no añade casi nada. Sin embargo, hay otro factor: no solo tienes una vela solar y una nave espacial. En realidad, necesitas algo para conectarlos entre sí. Sí, las fuerzas son bajas pero las longitudes son largas.

Si bien el peso de la vela se escala linealmente con su área (y, por lo tanto, con el empuje), cuanto más grande es la vela, más pesados ​​​​se vuelven los cables en comparación con la vela . Llegará un punto en el que hacer que tu vela sea más grande reduce tu aceleración.

Estoy de acuerdo con @Loren Pechtel.

Las matemáticas en la respuesta de @Tom Spilker no informan sobre la rigidez del material de construcción para la vela solar. Pero cuando escalamos el tamaño de la estructura de la vela nos encontramos con la ley del cubo cuadrado . (Escala la torre Eiffel 10 veces con todas las proporciones - se caerá)

No soy un especialista en ingeniería y resistencia de materiales, pero supongo que como el tamaño de la vela alcanza varios cientos de metros (o, optimistamente, varios kilómetros), tendremos el problema de que las construcciones de soporte se vuelven demasiado pesadas.