Para la métrica de Kerr, ¿tomar la extensión analítica máxima conmuta con tomar el límite de giro cero?

Como uno puede verificar fácilmente, las funciones métricas del espacio-tiempo de Kerr escritas en cualquier sistema de coordenadas común se acercarán a la métrica de Schwarzschild como el parámetro de espín.$a=J/M$tiende a cero (masa$M$se supone constante). Por ejemplo, las coordenadas de Boyer-Lindquist se reducirían a las coordenadas ordinarias de Schwarzschild. Entonces, para los parches de espacio-tiempo cubiertos por estas coordenadas, podemos decir que el espacio-tiempo de Schwarzschild es un límite del espacio-tiempo de Kerr en cada punto fuera de las singularidades.

Para la estructura global del espacio-tiempo, se debe recordar que, si bien los diagramas de Penrose son herramientas útiles, dejan de lado mucha información. En el caso de la geometría de Kerr, no dan idea de cómo varía la geometría con la variación del parámetro de giro.$a$. Como$a$se aproxima a cero, los tamaños radiales de las características internas de la métrica de Kerr: el horizonte interno, la singularidad del anillo, la región CTC y la ergosfera interna, todos van a cero, mientras que los valores del tensor de curvatura en estas características divergen. Entonces, si atribuimos a nuestro observador de prueba algunas características realistas, como un tamaño finito y un valor máximo de curvatura del espacio-tiempo que podría soportar antes de ser destruido, entonces, independientemente de los valores que elijamos, para una masa dada de un agujero negro habría un valor mínimo de$a$para lo cual existen trayectorias que ingresan al agujero negro y salen del agujero blanco en un universo paralelo tal que el observador podría sobrevivir al viaje. Para todos los valores más pequeños del parámetro de espín, el observador sería destruido al encontrar una región de alta curvatura.

Por lo tanto, la variedad MAE de Kerr completa en el límite$a\to 0$se convierte en una secuencia contable de variedades MAE de Schwarzschild desconectadas entre sí, ya que las regiones dentro de los horizontes internos se convierten en una secuencia de singularidades de agujeros negros y blancos de Schwarzschild con características más finas de la solución de Kerr que se vuelven inaccesibles para cualquier observador físico.

Esta secuencia contable de universos podría verse como un análogo de la función real que se vuelve multivaluada/definida en una superficie de Riemann con múltiples hojas una vez elevadas a valores complejos. Esta analogía se hace precisa mediante el procedimiento de Newman-Janis que permite "derivar" la métrica de Kerr a partir de la de Schwarzschild a través de una transformación compleja de métrica/tétrada. Para leer más al respecto recomiendo un paper

• Schiffer, MM, Adler, RJ, Mark, J. y Sheffield, C. (1973). La geometría de Kerr como geometría compleja de Schwarzschild . Revista de Física Matemática, 14(1), 52-56, doi .

o una revisión reciente sin muro de pago de H. Erbin o una versión simplificada del algoritmo Newman-Janis descubierto por Rajan & Visser .