¿Por qué se requiere el Axioma de Emparejamiento?

Creo que su visión de la teoría de conjuntos no es lo suficientemente formal. Cualquiera felizmente presentará la teoría de conjuntos a un recién llegado describiendo conjuntos como "colecciones de cosas". Entonces se podría decir que la fórmula$x\in A$significa que "el objeto$x$es miembro de la colección$A$", y eso$\{a,b,c\}$es una colección que contiene exactamente los objetos$a$,$b$y$c$. Pero esto es sólo psicológico.

Hablando formalmente, la teoría de conjuntos trata con objetos completamente opacos, a los que elegimos llamar "conjuntos", y que pueden relacionarse mediante alguna relación binaria.$\in$, que elegimos llamar "membresía". Pero así como Hilbert sugirió renombrar puntos, líneas y planos en geometría como sillas, mesas y vasos de cerveza, podríamos renombrar "conjuntos" como "jirafas" y "pertenencia" como "torpeza" (por lo que una jirafa$y$podría enredar otra jirafa$x$, que denotaremos como$x\in y$).

Luego, Giraffe Theory explica cómo se comporta la relación de torpeza y relaciona a las jirafas. Podríamos preguntar: dadas dos jirafas$x$y$y$, hay una jirafa$A$tal que la lista completa de jirafas que$A$bumbles consiste exactamente en$x$y$y$? Bueno, a priori no hay ninguna razón por la que ese sea el caso. ¡Ni siquiera sé lo que significa "bumble"!

Y luego alguien viene y dice: "Bueno, por supuesto que hay uno, lo denoto por$\{x, y\}$! Existe porque puedo escribir ese símbolo". Preguntaría: "Pero, ¿qué significa$\{x,y\}$decir?" Y esa persona respondería "Es precisamente la jirafa la que$x$y$y$, y nada más. Por definición.” Y la reacción obvia sería: “El hecho de que puedas escribir este símbolo y declarar que representa una jirafa de este tipo no significa que esta jirafa realmente exista”.

El objetivo de esta pequeña farsa es que te des cuenta de que tu error es pensar que el conjunto$\{x,y\}$"obviamente" existe, porque sabes lo que se supone que es un conjunto y cómo se supone que se comportan los conjuntos. Pero el punto de la teoría de conjuntos es precisamente formalizar eso, por lo que no podemos asumir nada. La razón por la que el axioma de emparejamiento es necesario es que, de lo contrario, no podemos demostrar que existe tal conjunto de pares usando los otros axiomas. Puede ver el axioma de emparejamiento como la justificación formal por la cual se le permite escribir el símbolo$\{x,y\}$(y más generalmente$\{x_1,\dots,x_n\}$para un número finito de objetos) y declarar que este es un conjunto bien definido que contiene exactamente$x$y$y$.

Sin poder probar en ZFC que el par desordenado$\{x,y\}$existe cada vez que$x, y$son conjuntos, todo lo que tienes es una notación,$\{x,y\}$, para ese conjunto único que, si existe, contiene sólo$x$y$y$. La noción de que "un conjunto existe simplemente en virtud del hecho de que tiene una definición" está codificada por el (falso, inconsistente) principio de "comprensión ingenua", que afirma que para cualquier fórmula$\psi(x)$, la colección$\{x\,|\,\psi(x)\}$es un conjunto. Tomando$\psi(x)$ser$x\notin x$da la paradoja de Russell.

El emparejamiento es redundante en presencia de otros axiomas. Dado el Axioma del Infinito (en su formulación habitual) y la Separación, puedes demostrar que el conjunto$2 = \{\emptyset, \{\emptyset\}\} = \{0, 1\}$existe Del mismo modo, si tiene existencia de$\emptyset$y el axioma de Powerset, de nuevo$2 = \mathcal{P}(\mathcal{P}(\emptyset))$es probablemente un conjunto.

Ahora, dado cualquier conjunto$a, b$, la función de clase$F$dada por$0 \mapsto a, 1 \mapsto b$es definible, por ejemplo, por esta fórmula con parámetros$a, b$:

Porque$2$como arriba es un conjunto, por Reemplazo su imagen debajo$F$es un conjunto. esa imagen es$F[2] = \{y\,|\, (\exists x\in 2)\, \varphi(x, y)\} = \{a, b\}$.

El emparejamiento existe como un axioma separado porque queremos poder estudiar los sistemas que resultan de descartar otros axiomas ZFC como Infinity, Replacement o Powerset. El resto del núcleo de axiomas debería caracterizar aspectos básicos de "setidad" que no involucran esas nociones. El emparejamiento es un requisito básico que tenemos para los universos de conjuntos: independientemente de lo que contenga o no contenga un modelo de teoría de conjuntos, seguramente debería cerrarse bajo el emparejamiento.

Tenga en cuenta que la Separación se puede demostrar a partir de Reemplazo y los otros axiomas de ZFC, pero se retiene en la mayoría de las presentaciones como un esquema de axioma separado, por razones pedagógicas: brinda la oportunidad de discutir la Comprensión ingenua y las inconsistencias resultantes, y porque ZC, ZFC menos Reemplazo , fue primero y sigue siendo una cosa.

"¿No existe un conjunto en virtud de su definición?"
No, esencialmente estás diciendo que si tienes una propiedad$P$, entonces debe existir un conjunto$X$cuyos elementos son exactamente los que satisfacen$P$.

Ahora bien, esto puede parecer un axioma muy natural, sin embargo, es inconsistente (usándolo puedes probar afirmaciones absurdas como$0=1$!).

Uno puede ver su inconsistencia al dejar$P(x)=\neg(x\in x)$y formando el “conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos” que conduce a la famosa Paradoja de Russel.
Ver https://en.wikipedia.org/wiki/Russell%27s_paradox