Formulación del Axioma de Separación en la Teoría de Conjuntos

Tengo una pregunta con respecto a esta formulación del Axioma de Separación:

Cito del Libro "Handbook of Mathematical Logic", el capítulo del que está tomado también se puede encontrar aquí .

Ahora podemos pasar a los axiomas. El primer punto de nuestro análisis fue que un conjunto está enteramente determinado por sus miembros. Este es el contenido de nuestro primer axioma.

Axioma de extensionalidad: ∀ z ( z ∈ X ↔ z ∈ y ) → X = y .

Uno de los puntos más importantes establecidos por nuestro análisis es que ciertas colecciones de conjuntos son conjuntos. Al traducir esto a nuestro idioma, nos enfrentamos a una dificultad: no existe un método general para hablar de colecciones en este idioma antes de saber que son conjuntos. Sin embargo, hay ciertas colecciones de las que podemos hablar. Dada una fórmula ϕ ( X ) , podemos decir ciertas cosas sobre la colección de todos los conjuntos X tal que ϕ ( X ) . En particular, podemos decir que es un conjunto de la siguiente manera: ∃ y ∀ X ( X ∈ y ↔ ϕ ( X ) ) . Abreviamos esta expresión a S mi t { X : ϕ ( X ) } . Nuestro primer principio de existencia de conjuntos es: si cada miembro de una colección de conjuntos pertenece al conjunto X , entonces esa colección es un conjunto. Para ver esto, supongamos que X se forma en el estado S [...]

Axioma de separación: ∀ X ( ϕ ( X ) → X ∈ y ) → S mi t { X : ϕ ( X ) } .

¿Para qué es el término ∀ X ( ϕ ( X ) → X ∈ y ) en el Axioma de Separación, ¿no sería suficiente decir simplemente S mi t { X : ϕ ( X ) } es decir, las fórmulas ∃ y ∀ X ( X ∈ y ↔ ϕ ( X ) ) como el axioma de separación?

Creo que la confusión radica en la diferencia entre las formulaciones del axioma dadas en la pregunta y en la respuesta de Arthur. Encuentro que el dado aquí ofusca el hecho de que queremos crear subconjuntos definibles; mientras que la forma en que Arthur (y de hecho la mayoría, si no todas, las formulaciones que he visto hasta hoy) escribió el axioma es mucho más clara.

Respuestas (2)

El Axioma de Separación nos dice que ciertas colecciones "definibles" son conjuntos. En particular, esta forma nos dice que las subfamilias "definibles" de conjuntos son en sí mismas conjuntos. La subfórmula ∀ X ( ϕ ( X ) → X ∈ y ) está ahí para limitar el Axioma para producir solo subfamilias de colecciones que ya se sabe que son conjuntos. Sin esta condición sería posible usar esta forma del Axioma para concluir que

{ X : ¬ ( X ∈ X ) }
es un conjunto, que es la famosa paradoja de Bertrand Russell . Junto con la condición solo podemos concluir que dado cualquier conjunto y la colección
{ X : X ∈ y ∧ X ∉ X }
es un conjunto, del cual obviamente no derivamos una contradicción. (Por lo general, esto se usa para probar la existencia del conjunto vacío ∅ .)

A menudo, este axioma (esquema) toma una forma ligeramente diferente:

Si ϕ ( X ) es una fórmula (en la que z no ocurre libre) entonces

( ∀ y ) ( ∃ z ) ( ∀ X ) ( X ∈ z ↔ ( X ∈ y ∧ ϕ ( X ) )
es un ejemplo del Axioma de Separación.

Esta forma esencialmente nos dice que las colecciones de la forma { X ∈ y : ϕ ( X ) } = { X : X ∈ y ∧ ϕ ( X ) } son conjuntos (siempre que y mismo es un conjunto).

Su propuesta: es decir

asumir que S mi t { X : ϕ ( X ) } Quédate para ∃ y ∀ X ( X ∈ y ↔ ϕ ( X ) )

es simplemente el llamado Axioma de Comprensión "ingenuo" . Como explicó Arturo,

Russell (1901) señaló que uno podría reformular la paradoja de Cantor para obtener una contradicción realmente simple, directamente de [it]; definir R = { X : X ∉ X } . Entonces R ∈ R ↔ R ∉ R , una contradicción.

La idea detrás del Axioma de comprensión es que para cada condición que podemos "imaginar" hay un conjunto que contiene todos y solo aquellos objetos que satisfacen la condición.

Reformulado en lenguaje de primer orden, se convierte en: para cada condición que podamos expresar en el lenguaje, es decir, para cada fórmula ϕ ( X ) con X libre, existe el conjunto de aquellos objetos que...

Para evitar la Paradoja de R (y otras similares) existen diferentes soluciones; por ejemplo, restringir las posibles "condiciones" que se pueden usar en el Axioma de comprensión.

Otra solución fue formulada por Zermelo (1908) y mejorada posteriormente por Fraenkel y Skolem, basada en el Axioma de Separación .

Su formulación actual refleja la idea original de Zermelo: se puede aplicar una "condición" para "generar" un nuevo conjunto sólo a partir de un conjunto ya existente (es decir, "separándolo" del conjunto existente ).

Formulación del Axioma de Separación en la Teoría de Conjuntos
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