¿Existe alguna teoría de conjuntos sin algo como el Axioma de Esquema de Separación?

Agradezco cualquier información sobre esta pregunta, incluidas las sugerencias de otros términos para aprender primero. Soy autodidacta con respecto a la teoría de conjuntos y no soy matemático, por lo que mi pregunta puede no estar bien formulada. ¡Gracias por su paciencia!

Para llegar a esta pregunta, he leído numerosos artículos de Wikipedia (teoría de conjuntos, ZFC, números ordinales, ordinales límite, etc.), hablado con algunos amigos graduados que estudian matemáticas y leído un artículo y parte de un libro de Thomas Jech.

Quería saber si existen teorías de conjuntos en uso que no usan un Axioma de Esquema de Separación. Mi entendimiento es que en respuesta a la Paradoja de Russell (en sí misma una crítica de Frege) en ZF tenemos el Axioma Esquema de Separación en lugar del Axioma Esquema de Comprensión (como enseña Jech en Teoría de Conjuntos ) .

He tenido curiosidad acerca de las teorías de conjuntos alternativas y he encontrado las páginas de Wikipedia para NBG (Neumann Bernays Godel) y MK (Morse-Kelley). ¿Estoy en lo correcto al pensar que ambos tienen algo equivalente al Axioma Esquema de Separación?

Estoy específicamente interesado en la siguiente noción: ¿hay una teoría de conjuntos en uso hoy en día que no se base en el Axioma de Esquema de Separación para construir sus existentes*? Parece que el poder del Axioma Esquema de Separación es salir de la Paradoja de Russell asumiendo que existe algún otro conjunto, digamos Y , ese luego 'corta' para construir el conjunto que realmente querías crear (por ejemplo, conjunto de todos X con alguna propiedad).

Tengo curiosidad por saber si se usan teorías de conjuntos hoy en día que no hacen este movimiento, y si es así, ¿cómo tratan con la paradoja de Russell? En resumen, me encantaría una lista de estrategias alternativas que usan las teorías de conjuntos para crear nuevos conjuntos. (Editado después de leer la amable respuesta de Asaf Karagila).

Gracias.

*Existente es una palabra prestada de la filosofía. Simplemente significa "cosa que existe". Según entiendo, ZFC, todo lo que contiene es un conjunto, por lo que si solo estuviéramos hablando de ZFC en lugar de "existente", podría haber dicho "conjunto". Pero, en Morse-Kelley, parece que tanto los conjuntos como las clases existen, así que en su lugar uso el término "existente".

Siento que es posible que no haya entendido completamente su pregunta, así que hágame saber si mi respuesta fue de alguna ayuda.
(Además, los "elementos ur" en el contexto de la teoría de conjuntos generalmente se refieren a objetos en el universo que no tienen elementos y no son el conjunto vacío; por lo que su uso de "elementos ur" aquí está un poco fuera de lugar).
Hola @AsafKaragila, gracias por tu respuesta, fue muy interesante. Esta parte es la parte que más me interesa: "La solución fue simplemente limitar qué instancias definirán conjuntos. Una forma es insistir en que solo las colecciones que están limitadas en un conjunto preexistente definirán conjuntos, y esta es la esquema de separación". ¿Qué otras formas existen? ¿Y dónde puedo leer sobre ellos? ¿Hay una lista de ellos en alguna parte para que pueda leer sobre todos ellos? ¡Gracias!
Déjame editar mi respuesta.
@bobo ¿Por qué la aversión a los subconjuntos? Simplemente no se puede hacer mucho en matemáticas sin poder construir subconjuntos, conjuntos de potencia y productos cartesianos a partir de otros conjuntos. Las reglas de la lógica por sí solas no lo llevarán muy lejos, por ejemplo, en teoría o análisis de números.
@DanChristensen: creo que mi pregunta es más detallada de lo que sugiere su comentario. No hay aversión a los subconjuntos per se, solo una curiosidad con respecto al estado de ese conjunto Yde mi ejemplo anterior. Preguntarse si es posible definir un conjunto sin asumir primero la existencia de algún otro conjunto del cual cortar. Por ejemplo, los números naturales se acumulan maravillosamente a partir de la inducción en el nullset. Pero si todos los conjuntos requieren este extra Y(a través de la separación), entonces no es un sistema tan cerrado para mí.
@bobo No veo la necesidad, por ejemplo, de construir números naturales a partir de la inducción en el conjunto nulo. Los axiomas de Peano son realmente bastante intuitivos si se miran de la manera correcta. (Vea mi publicación, "¿Qué es un número de nuevo?" en mi blog de matemáticas dcproof.wordpress.com ) Si incluso esos axiomas simples son demasiado grandes para usted, de cada conjunto de Dedekind-infinte, puede extraer un subconjunto que cumple los axiomas de Peano. ¡ Cosecha de números naturales que crecen en la naturaleza! (Ver "Papá, ¿de dónde vienen los números?" en mi blog).
@DanChristensen gracias por las publicaciones del blog, bien escritas y claras. Con respecto a mi pregunta aquí, realmente no me importa mucho la construcción de números, realmente solo me importa mi pregunta: (de una manera útil, por supuesto) ¿puedes hacer conjuntos sin tener que asumir primero que tu conjunto es un subconjunto de algún otro conjunto? Notarás que no es un problema de que "los axiomas simples sean un gran salto" para mí, ya que estaba bastante contento con que Asaf Karagila me indicara el NF de Quine. Por cierto, también he leído una parte del trabajo de Peano. Cosas bastante interesantes, ¡su carácter "implica" es raro!
@bobo En mi propia teoría de conjuntos (la base de mi software educativo) no hay conjuntos u otros objetos que se suponga que existen a priori , ni siquiera el conjunto vacío. De esta manera puedo garantizar que nunca podré probar, como en la Paradoja de Russell, que ∃ X : [ PAG ( X ) ∧ ¬ PAG ( X ) ] porque no puedo probar la existencia de ningún objeto. ¿Cómo haces matemáticas sin al menos un conjunto vacío para comenzar? Cuando me propuse desarrollar la teoría de números, por ejemplo, empiezo a establecer mi versión de los axiomas de Peano como premisa inicial en una demostración y procedo desde allí. Parece funcionar.
@DanChristensen: me encantaría ver eso elaborado como respuesta aquí. Sé que ZFC, por ejemplo, requiere un Axioma del Infinito y que el conjunto vacío solo se puede derivar del Axioma del Esquema de Separación si uno asume primero la existencia de algún otro conjunto (en otras palabras, todavía nos encontramos con el problema del 'subconjunto'). ¡Tengo mucha curiosidad por ver cómo podemos hacer teoría de conjuntos sin esa suposición!
@bob Vea los enlaces a las pruebas formales en las publicaciones que menciono anteriormente. También puede echar un vistazo a mi prueba formal de que el conjunto de potencia de los números naturales no es contable en dcproof.com/Countable.htm

Respuestas (1)

La teoría de conjuntos solo es útil si realmente puede definir nuevos conjuntos, si puede especificar que ciertas propiedades definen conjuntos. Porque la idea detrás de los conjuntos es tener colecciones de objetos matemáticos que sean "ciudadanos de primera clase" del universo matemático. En otras palabras, los conjuntos son objetos matemáticos que a su vez son colecciones de objetos matemáticos.

Ingenuamente se sugirió que cada propiedad, cada colección que podamos "describir" de una manera razonablemente consistente, será un conjunto. Pero las muchas paradojas de la teoría ingenua de conjuntos nos muestran que esto es imposible, la más famosa, como usted señala, es la paradoja de Russell.

Para evitar la paradoja de Russell, necesitamos limitar la comprensión, pero sin alguna forma limitada de ella, somos bastante impotentes para definir conjuntos, por lo que no podemos hacer mucho.

  1. Z F C y su pariente cercano tienen un esquema de axioma más fuerte (y nos permite probar estrictamente más, en un sentido técnico). A saber, el esquema del axioma de reemplazo, que dice que si hay una función, definible con una fórmula de primer orden, entonces la imagen de un conjunto es otro conjunto.

    Esto por supuesto implica separación. En sus parientes de segundo orden, norte B GRAMO y k METRO , necesitamos decidir qué tipo de axiomas de reemplazo permitimos con respecto a las variables de clase. Esta es la diferencia clave entre estos dos primos.

    Entonces, aunque permitimos más poder que solo la separación, todavía no alcanzamos las paradojas obvias de la teoría ingenua de conjuntos. Simplemente porque para que ocurra una contradicción aquí, necesitamos encontrar un conjunto (que ya existe) y una función definible, cuyo rango no sea un conjunto.

  2. k PAG (Kripke-Platek) y sus parientes cercanos, de hecho, debilitan el esquema del axioma de separación solo a ciertas fórmulas. Estas teorías son mucho más débiles, pero todavía tienen usos interesantes en la teoría de la recursión.

  3. norte F , New Foundation de Quine, una misteriosa teoría de conjuntos cuya mano guía proviene de la teoría de tipos. Aquí no requerimos que se definan subconjuntos a partir de conjuntos preexistentes. En cambio, requerimos que las fórmulas tengan una cierta "jerarquía tipificada" en las variables que aparecen allí (fórmulas estratificadas), y esto ayuda a poner una correa a las muchas paradojas.

    Un ejemplo peculiar es que norte F tiene un conjunto universal. El conjunto de todos los conjuntos existe. Aquí eliminamos el problema de la paradoja de Russell al señalar que la fórmula X ∉ X no está estratificado. Por lo tanto, no necesita definir un conjunto.

Sin embargo, es importante señalar que todas las teorías de conjuntos modernas que tenemos, al menos aquellas que valen algo, no pueden demostrar su propia consistencia y, por lo general, debemos asumir explícitamente (oa veces implícitamente) que son de hecho consistentes; o asumir que teorías aún más fuertes son consistentes. Esto significa que no evitamos del todo la paradoja de Russell, por mucho que "todavía no hemos encontrado una contradicción". Esto viene a mostrar que las muchas paradojas de la teoría ingenua de conjuntos simplemente nos dicen que estas colecciones no son necesariamente conjuntos.

Mi opinión sobre la paradoja de Russell es que no es en absoluto una paradoja. Es un teorema que establece lo siguiente:

Teorema. Si A es un conjunto y B = { X ∈ A ∣ X ∉ X } es un conjunto, entonces B ∉ A .

Prueba. Si B ∈ A , entonces podemos preguntar, es B ∈ B ? Y luego nota que B ∈ B ↔ B ∉ B , por supuesto que esto es una contradicción. Por lo tanto B ∉ A .

De esto podemos sacar algunas conclusiones, si el conjunto de todos los conjuntos existe, entonces B no es un conjunto en absoluto; o si A es un conjunto y X ∉ X se puede utilizar para definir un subconjunto de A , entonces hay un subconjunto de A que no es un elemento de A .

La conclusión, si es así, es que no evitamos del todo la paradoja de Russell, sino que asumimos tácitamente que todo está bien, y la paradoja de hecho prueba que ciertas fórmulas no definen un conjunto, sino una clase propia.

Hola @AsafKaragila, algunas preguntas: 1) ¿No son los únicos existentes en los sets de ZFC? Entonces, ¿los elementos de los conjuntos no son también siempre conjuntos? ¿Qué quiso decir con "Porque la idea detrás de los conjuntos es tener colecciones de objetos matemáticos que sean "ciudadanos de primera clase" del universo matemático. En otras palabras, los conjuntos son objetos matemáticos que son en sí mismos colecciones de objetos matemáticos". 2) ¿La NF de Quine proviene de la Teoría de Tipos de Russell?
3) Me gusta tu explicación de la paradoja de Russell: si existe el conjunto de todos los conjuntos, entonces B no es un conjunto, muy bueno. Y recuerdo que Jech habló de "clases adecuadas", por lo que su argumento tiene sentido. 4) ¿Dónde puedo leer más sobre NF? Estoy muy interesado en cómo se ve una teoría de conjuntos que no necesita el Axioma de Esquema de Separación para hacer conjuntos. 5) ¿Dónde puedo obtener una introducción accesible a la diferencia entre el esquema de separación del axioma y el esquema de reemplazo del axioma? 6) ¿Es NF la única teoría de conjuntos que conoce que no usa Separación/Reemplazo? ¡Gracias!
(1) Sí, pero la filosofía de los conjuntos es que antes teníamos "todos los números naturales" y ahora podemos decir "todos los elementos del conjunto de todos los números naturales". La colección en sí es ahora un objeto matemático por derecho propio. Pero algunas colecciones no pueden ser conjuntos, ese es el problema aquí. Así que necesitas permitir alguna separación, o alguna comprensión, pero no todo; y si lo quitas por completo pierdes demasiada potencia. (2) No sé mucho al respecto. Supuestamente NF y TST son equivalentes, o algo similar. (3) Esto no es una pregunta. :-)
(4) Permítanme aclarar, NF tiene un esquema de separación. Pero en lugar de decir "los subconjuntos definibles de conjuntos preexistentes son conjuntos", dice "las colecciones definibles son conjuntos, asumiendo que la fórmula fue estratificada". Es un esquema de separación. Simplemente funciona de una manera completamente diferente y te obliga a entrometerte con la lógica de una manera mucho más sucia que Z F C . Pero hay separación. Una vez más, no se puede hacer demasiado sin ningún tipo de axiomas de separación. Terminas con algo equivalente a un diagrama de Venn en estadística para un curso de especialización en psicología.
Grandioso, muchas gracias! Si conoce otras teorías de conjuntos (que no sean NF) con enfoques alternativos para la creación de conjuntos que no dependan de "los subconjuntos definibles de conjuntos preexistentes son conjuntos", como usted dice, hágamelo saber sus nombres. Tengo mucha curiosidad sobre este punto. ¡Muchas gracias por su ayuda!
Bueno, hay teorías de conjuntos algebraicos como ETCS y parientes, pero tienen cosas similares a los axiomas de separación que encajan mejor en el marco de la teoría de conjuntos basada en categorías (¿inspirada?).
ETCS = Teoría elemental de la categoría de conjuntos (como información para cualquiera que venga después...). ¡Gracias, Asaf, de hecho voy a comenzar ese libro de Lawvere sobre teoría de categorías pronto!
¿Existe alguna teoría de conjuntos sin algo como el Axioma de Esquema de Separación?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v