Mecánica estadística y universalidad constante de Planck

En las preguntas que se refieren a la entrada constante de Planck en la mecánica estadística, una respuesta común y aceptada es que la constante de Planck es una normalización arbitraria que falla al calcular cantidades medibles experimentalmente.

Específicamente, se dice en las preguntas anteriores que h entra a desdimensionalizar el producto d pag d q o para normalizar d pag d q para contar estados, y la elección de tal constante con unidades de acción es casi arbitraria.

Por el contrario, considere cómo se calculan las cantidades en el gran conjunto canónico con un número variable de partículas, mencionado en esta pregunta .

En el gran conjunto canónico, el potencial clave es el gran potencial, que es

Φ = tu − T S − m norte .
El enlace a la mecánica estadística proviene de
Φ = − k T en ⁡ ( Z ) ,

dónde

Z = ∑ norte mi β m norte Z ( V , norte , T ) .

Para simplificar, considere una función de partición clásica Z para N partículas que no interactúan. Tenemos entonces que

Z = 1 h 3 norte norte ! ( ∫ d 3 pag d 3 q mi − β mi ( pag , q ) ) norte

Esto produce a su vez que

Z = mi 1 h 3 ( ∫ d 3 pag d 3 q mi − β mi ( pag , q ) ) mi β m

y a su vez que Φ es proporcional a 1 h 3 :

Φ = − k T 1 h 3 ( ∫ d 3 pag d 3 q mi − mi ( pag , q ) k T ) mi m k T .

Por ejemplo, para partículas sin masa que no interactúan con mi = C pag en una caja con dos grados de libertad internos con m = 0 (es decir, una imagen ingenua de la luz, sin ninguna h poner en la energía o lo que sea), tenemos

Φ = − dieciséis π k 4 h 3 C 3 T 4 V .
Esto conduce a una presión

PAG = dieciséis π k 4 h 3 C 3 T 4
de la relación termodinámica anterior.

Como se puede ver, h entra en una cantidad medible experimentalmente! Por lo tanto, se podría medir experimentalmente la constante de Planck a través de la presión de dicho gas. te dejo a ti que lo compruebes h también entra en la presión de un gas no relativista en un fijo m .

Tomaré de los argumentos anteriores que h no es simplemente una constante arbitraria para desdimensionalizar el producto d pag d q . Dado este punto de vista de que la desdimensionalización de d pag d q tiene ramificaciones experimentales, ¿podemos demostrar que para todo sistema en equilibrio termodinámico la constante de desdimensionalización h debe ser una constante universal? Es decir, dado que la desdimensionalización no es arbitraria, ¿podemos mostrar que la constante de desdimensionalización debe ser la misma para todos los sistemas de equilibrio en la mecánica estadística clásica?

Respuestas (2)

No creo que el valor de la constante de normalización que desdimensionaliza la integral del espacio de fase en la función de partición sea arbitrario. Ya en 1912, Sackur y Tetrode utilizaron datos de presión de vapor de mercurio para determinar su valor numérico y descubrieron que era el mismo que la constante descubierta por Planck al estudiar la radiación del cuerpo negro.

No sé si en ese momento había una razón fundamental para suponer que esta constante es universal, es decir, independiente del material utilizado. El principio de incertidumbre de Heisenberg, descubierto 15 años después, proporcionó esa razón.

Recomiendo encarecidamente este documento para una discusión perspicaz y una perspectiva histórica del trabajo de Sackur y Tetrode.

(h / t a Semiclassical que me ayudó a resolver esto) La ecuación de Sackur y Tetrode solo produce un medible experimentalmente h de la presión de vapor si tiene un buen modelo para la capacidad calorífica del sólido en función de la temperatura. Ambos usan variantes del modelo de Einstein para esto [consulte la parte inferior de la página 10 en el documento que vincula], que es un modelo cuántico, por lo que esto no establece la afirmación de que h es mensurable puramente en la física estadística clásica.
@ACuriousMind Gracias por investigar esto. Dos comentarios: (1) Como usted señala, el documento citado usó un modelo tipo Einstein para calcular la capacidad calorífica del mercurio sólido. Pero, ¿es eso estrictamente necesario o se debe a la falta de datos experimentales? Asumiría que, al menos en principio, se podría medir la capacidad de calor, lo que haría que el enfoque de Sackur-Tetrode fuera una forma viable de determinar h sin un modelo mecánico-cuántico subyacente.
@ACuriousMind (2) Quizás lo más importante, creo que es incorrecto decir que el valor de la cantidad h que aparece en la función de partición clásica es "arbitrario", lo que me suena a "no importa qué valor uses, los resultados siempre serán los mismos". Me parece que solo hay un valor correcto (6.626E-34 m ^ 2 kg / s), pero este valor no está predicho por la teoría clásica y, en cambio, debe obtenerse del experimento.
@user8153 Tal vez la siguiente es una mejor manera de decir qué h es: En mecánica estadística clásica pura , el valor de h es irrelevante : puede expresar todas las cantidades medibles físicamente en términos que no lo involucran. No solo no existe una predicción clásica, tampoco existe una prescripción de medición puramente clásica. La mecánica estadística clásica es agnóstica en cuanto a si h es una característica fundamental del universo o un truco del teórico. Nuestro conocimiento de la mecánica cuántica hoy en día fija firmemente su papel para ser el primero.
Tenga en cuenta también que una medición de la capacidad calorífica en puntos discretos no es suficiente: la ecuación ST contiene una integral sobre la capacidad calorífica a presión constante desde el cero absoluto . Por muy buenos que seamos en resolver experimentos, dudo que haya un experimento que le permita recopilar los datos necesarios para una buena aproximación de esta integral.
Gracias por la discusión. La medición de la capacidad calorífica en puntos discretos puede aproximarse a una integral con gran precisión. Creo que el uso de criostatos debería permitir muestrear cientos de temperaturas y encontrar el valor de h con alta precisión. Incluso en la década de 1970 (pubs.acs.org/doi/pdf/10.1021/je60047a035) pudimos encontrar datos de capacidad de calor decentes desde el cero absoluto
@ACuriousMind Gracias por la aclaración. No estoy seguro de cómo combinar sus comentarios con el trabajo de Sackur-Tetrode. ¿No es la ecuación (41) en la retrospectiva citada una prescripción de medida, basada puramente en la mecánica estadística clásica, que permite determinar el valor numérico de h a partir de observaciones experimentales (al menos en principio, como usted dice, podría ser difícil obtener datos precisos de capacidad calorífica)? Me parece que diferentes valores de h produciría diferentes presiones de vapor, por lo que sólo un valor específico de h hace que la teoría clásica sea consistente con el experimento.
Me di cuenta de que el problema con la capacidad calorífica no es experimental en absoluto: una teoría puramente clásica tendría que usar la teoría clásica de los sólidos, es decir, tener una capacidad calorífica constante como requiere Dulong-Petit. La idea misma de una capacidad calorífica de un sólido dependiente de la temperatura no es clásica. Es decir, hasta concebir la prescripción experimental en la que hay que medir C ( T ) ya necesitas haber desechado parte de la termodinámica clásica.
@ACuriousMind Estoy de acuerdo en que normalmente no se puede hacer una predicción teórica correcta para la capacidad de calor sin la mecánica cuántica. Por ejemplo, la desaparición de la capacidad calorífica en el cero absoluto suele ser un signo de niveles de energía cuantificados. Sin embargo, la capacidad calorífica de uno ciertamente puede variar con la temperatura en la mecánica estadística clásica. Simplemente se necesita un dicho hamiltoniano con una dependencia ligeramente complicada del momento o la posición, de modo que no se pueda sustituir la dependencia de la temperatura en las integrales requeridas por, por ejemplo, la función de partición.
(continuación) Por ejemplo, incluir interacciones entre partículas en un gas conduce a una capacidad calorífica no constante con la temperatura y otros efectos como coeficientes viriales distintos de cero. El deseo de medir experimentalmente una capacidad calorífica surge de la dependencia de la temperatura causada por las interacciones entre partículas, no solo de la cuantización de los niveles de energía (el efecto típicamente mayor cerca del cero absoluto).
Aunque esta respuesta no aborda por completo el aspecto de universalidad de la pregunta, el artículo me pareció excelente y me siento satisfecho de que un modelo clásico combinado con datos experimentales pueda permitir medir la constante de Planck. Por lo tanto, he seleccionado esto como la respuesta. Seguiré pensando en el aspecto de la universalidad y agregaré cualquier actualización como una respuesta propia.

La derivación en la pregunta es engañosa porque prematuramente establece el potencial químico en cero. Incluso en sistemas donde es cero , debes llevarlo contigo hasta la evaluación final de las expresiones, ya que es un parámetro libre de un macroestado en el gran conjunto canónico.

En particular, el potencial químico contiene un en ⁡ ( h 3 / cosa ) factor (por ejemplo, el gas ideal clásico no relativista tiene m ∝ en ⁡ ( λ 3 norte V ) , con λ la longitud de onda térmica de De Broglie proporcional a h ), que, siendo la fugacidad la que entra en las magnitudes físicas, se cancela frente a la h 3 en el denominador.

Por lo tanto, su enfoque no necesita un valor clásico universal para h , ya que los resultados pueden reexpresarse en términos de cantidades que no implican h . Tenga en cuenta, en particular, que no puede medir experimentalmente directamente el potencial químico m - necesita calcularlo a partir de medidas indirectas, con fórmulas que en este caso también implicarán h .

Gracias por la respuesta. En el gran conjunto canónico, los parámetros fijos son T, V y m . La presión y el número de partículas fluctúan porque no son fijos. no creo eso m es un parámetro libre.
Además, hay casos en que la naturaleza "arregla" m y no número de partículas, siendo el ejemplo clásico un gas fotónico. Sin embargo, incluso podemos arreglar m y no el número de partículas colocando nuestro sistema en un baño de "número de partículas". Así es como lo pienso, déjame escuchar tus pensamientos: un baño de calor puede dar calor sin cambiar notablemente su temperatura hasta que un sistema más pequeño adjunto esté a la misma temperatura. Un baño de número de partículas puede dar partículas sin cambiar notablemente su potencial químico hasta que un sistema más pequeño adjunto tenga el mismo potencial químico.
@usuario196574 m se fija para un macroestado específico en el gran ejemplo canónico. Es un parámetro libre en el sentido de que las derivaciones que se supone que son válidas para un sistema deben ser válidas para todos los valores posibles de este parámetro, al igual que deben ser válidas para todos los valores de T y V (que obedecen a la ecuación de estado). No puedes simplemente decir "pero T = 1 k en mi sistema". Eso no es una propiedad del sistema, sino de un estado del sistema. En cualquier prueba experimental, tendrías que establecer que efectivamente m = 0 para el estado que está midiendo, perdiendo así la capacidad de medir h .
Creo que tendré que refrescar mis conocimientos sobre el potencial químico antes de volver al papel de h en el gran conjunto canónico. Específicamente, si es necesario tener alguna expresión teórica para m (eso depende de h ) para poder configurar m , o si pueden ser formas de determinar experimentalmente un potencial químico sin conocimiento de h , así como hay formas de determinar experimentalmente un volumen sin conocimiento de h .
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