Expansión binomial de operadores no conmutativos

Me gustaría determinar la expansión general de

$(A+B)^n$,

donde [A,B]≠0

La expansión de$(A+B)^n$para no conmutar A y B es la suma de$2^n$términos diferentes. Cada término tiene la forma

$$X_1X_2...X_n\;,$$ dónde$X_i=A$o$X_i=B$, para todos los diferentes casos posibles (hay 2^n casos posibles). Por ejemplo: $$(A+B)^3=AAA+AAB+ABA+ABB+BAA+BAB+BBA+BBB$$

Puede comprender cómo estos términos siempre se generan como se describe anteriormente al considerar números binarios. Deje que "A" represente "0" y "B" represente "1". Entonces cada término corresponde a un número en binario de 0 a 2^n-1. Por ejemplo, en el caso n=3, 000,001,010,011,100,101,110,111.

Puede probar por inducción que las afirmaciones anteriores son verdaderas para n arbitrario al considerar cuál es la aplicación de otro factor de$(A+B)$hace a$(A+B)^{n-1}$. Los nuevos términos de distribuir la "A" en (A+B) simplemente hacen copias de los "números binarios" anteriores (de 0 a$2^{n-1}-1$) pero con una "longitud en bits" diferente. Los nuevos términos "B" generan el resto de los "números binarios de$2^{(n-1)}$a$2^{n}-1$porque corresponden a$2^{n-1}$más los términos generados anteriormente.

Una fórmula binomial no conmutativa no es una noción única. Aquí consideramos la fórmula$^1$

$$\begin{align} (\hat{A}+\hat{B})^n ~=~&\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix}n \\k \end{pmatrix}(\hat{C}^k\hat{\bf 1})\hat{B}^{n-k}, \cr \hat{C}~\equiv~&\hat{A}+ [\hat{B}, \cdot]~\equiv~\hat{A}+ L_\hat{B}- R_\hat{B}, \end{align}\tag{1}$$ de Ref. 1, que a su vez es equivalente a $$e^{\hat{A}+\hat{B}}~=~(e^{\hat{C}}1)e^{\hat{B}}, \tag{2}$$ $$(e^{\hat{C}}\hat{\bf 1})~=~e^{\hat{A}+\hat{B}}e^{-\hat{B}}, \tag{3}$$ o $$(e^{t\hat{C}}\hat{\bf 1})~=~e^{t\hat{A}+t\hat{B}}e^{-t\hat{B}}. \tag{4}$$ dónde$t\in\mathbb{R}$es un parámetro.

Prueba de la ec. (4): Primero observe que es trivialmente cierto para$t=0$. A continuación, diferencie sus lados izquierdo y derecho wrt.$t$para mostrar que los lados izquierdo y derecho (colectivamente llamados$\hat{S}$) satisfacen la misma ODE:

$$\hat{S}^{\prime}(t)~=~\hat{C}\hat{S}(t)~\equiv~\hat{A}\hat{S}(t)+ [\hat{B}, \hat{S}(t)].\tag{5}$$ Por lo tanto, los lados izquierdo y derecho de la ec. (4) debe ser igual.$\Box$

Referencias:

1. W. Wyss, arXiv:1707.03861 (Sugerencia: Dan y BMRodriguez-Lara ).

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$^1$ Notación: Nótese que el operador$\hat{C}$lleva operadores a operadores, por ejemplo

$$\begin{align} (\hat{C}\hat{\bf 1})~=~&\hat{A}, \cr (\hat{C}^2\hat{\bf 1})~=~&\hat{A}^2 + [\hat{B},\hat{A}],\cr (\hat{C}^3\hat{\bf 1})~=~&\hat{A}^3 + [\hat{B},\hat{A}^2] + [\hat{B},[\hat{B},\hat{A}]],\end{align}\tag{6}$$ Etcétera.

si$[A,B]=0$entonces, como sabes, obtienes lo habitual

$$(A+B)^n = \sum_{p=0}^n C^n_p A^{n-p}B^p$$ Ahora si $[A,B]\neq 0$cada término en la suma (para cada $p$) se divide en una suma de $C^n_p$términos de todas las posibles permutaciones de $(n-p)$ $A$arena $p$ $B$s, sin tener en cuenta el orden de $A$arena $B$s. Equivalente a la suma de todas las posibles permutaciones de $(n-p)$ $A$arena $p$ $B$se divide por $p!(n-p)!$ $$\begin{align*} (A+B)^n &= \sum_{p=0}^n \left(\frac{1}{p!(n-p)!}\sum_{\text{perm}} \left\{A^{n-p}B^p\right\}\right)\\ &= \sum_{p=0}^n \left(\sum_{\text{perm no order}} \left\{A^{n-p}B^p\right\}\right) \end{align*}$$

No sé si hay una buena fórmula que se parece a

$$(A+B)^n = \sum_{p=0}^n C^n_p A^{n-p}B^p + \text{commutators}$$ Por supuesto, siempre puede reorganizar los términos en cada una de las permutaciones, pero dudo que proporcione algo agradable y conciso solo en términos de conmutadores.

Hay una buena fórmula que proporciona el resultado en términos de la expansión binomial más términos relacionados con el álgebra no conmutativa.

https://arxiv.org/abs/1707.03861