¿Existen efectos medibles al escalar la acción mediante una constante?

Bueno, básicamente te has respondido a ti mismo. Cambiar la escala de la acción es lo mismo que cambiar la escala de la constante de Planck. Obviamente, esto no puede tener ningún efecto clásicamente. Pero en el nivel cuántico$\hbar$mide la no conmutatividad de observables y en el límite extremo$\hbar \to 0$recuperas la mecánica clásica.

En cuanto al signo, esto no importa ni en la mecánica clásica ni en la mecánica cuántica. No nos interesa solo minimizar la acción sino en todos los extremos. Revertir el signo solo significa que intercambiamos el significado de máximo y mínimo, pero las soluciones no cambiarán en absoluto.

Para la mecánica clásica, la magnitud de un factor de escala no importa, pero el signo puede depender de cómo formulas tu principio de acción. Algunos pueden tomar el principio de acción mínima demasiado literal, pero como usted nota, si el camino es estacionario es la definición más rigurosa. Para diferencias de tiempo lo suficientemente cortas, en la mecánica clásica de partículas, la acción es siempre mínima (bueno, o máxima dependiendo de la elección del signo). Véase "Cuando la acción no es lo menos importante" de Taylor y Gray. Sin embargo, incluso para tiempos cortos, el "camino" de los campos en la mecánica clásica son puntos de inflexión en la acción. Entonces, en algún momento, uno debe dejar de tomar literalmente lo "mínimo" en la acción mínima.

Para la mecánica cuántica, la escala provocará un efecto. Esta es una de las razones fundamentales por las que las acciones clásicas que conducen a las mismas ecuaciones de movimiento, en realidad pueden conducir a diferentes teorías cuánticas. Así que este efecto es de hecho medible en principio. Sin embargo, el signo todavía no se puede medir, ya que la elección del signo es solo una convención.

Su argumento es absolutamente correcto; un cambio de signo/factor de escala no cambiará las soluciones a la ecuación 'clásica'$\delta S = 0.$Sin embargo, los observables sí cambian. Si ha visto algo de teoría de campos, sabe que una F observable se calcula como

$$\langle F \rangle = \frac{\int\mathrm{d}\phi F[\phi] e^{iS[\phi]/\hbar}}{\int\mathrm{d}\phi e^{iS[\phi]/\hbar}};$$ cambiar la escala de S cambia lo que mides. De hecho, es equivalente a un cambio de escala en $\hbar,$¡así que prácticamente cualquier observable cambiará de alguna manera su valor!

Además, cuando los autores dicen que el signo sí importa, ayuda pensar en el vínculo entre las teorías cuántica y clásica de campos. Por ejemplo, si 'giras Wick' el QFT libre, obtienes

$$S[\phi] = \int\mathrm{d}^Dx \frac{1}{2}(\nabla\phi(x))^2 + \frac{1}{2}m^2\phi(x)^2,$$ que es por construcción positiva en todas partes: $S[\phi] \geq 0.$En ese caso, expresiones como $$\langle F \rangle = \frac{\int\mathrm{d}\phi F[\phi] e^{-\beta S[\phi]}}{\int\mathrm{d}\phi e^{-\beta S[\phi]}}$$ tiene sentido, ya que las integrales convergen. Si cambias el signo de $S$, las integrales de repente divergen horrendamente - de repente ya no tienes una buena teoría de campos. Esta es una propiedad muy general: los valores de campo grandes y las desviaciones grandes deben 'castigarse' suprimiéndolos exponencialmente; si cambia el signo, los valores grandes y las desviaciones se ven favorecidos exponencialmente.