¡Confusión de vocabulario orbital! ¿Cómo es posible que la velocidad tangencial de una órbita elíptica de Kepler no sea tangente a la órbita?

Este es un desacuerdo sobre cómo se usan las palabras, como en ¿ Cómo calcular el ángulo de trayectoria de vuelo, γ, a partir de un vector de estado? , ¿ Son lo mismo los sistemas de coordenadas LVLH y RSW? y ¿ Qué es diferente entre el marco Hill y el marco LVLH en el satélite? . Las relaciones matemáticas son claras y consistentes, pero los nombres que asignamos a los elementos del diagrama están abiertos a la interpretación creativa y, por lo tanto, a la inconsistencia.

El "Estándar recomendado para mensajes de datos de conjunción" (CCSDS 508.0-B-1 ) del Comité Consultivo para Sistemas de Datos Espaciales , discutido con más detalle en ¿Cuál es la probabilidad de impacto? , define dos marcos diferentes que podrían significar las palabras "a lo largo de la pista" o "en la pista". CCSDS los llama "RTN" y "TVN", mientras que otras fuentes dan nombres diferentes para las mismas dos cosas. Por ejemplo, Vallado los llama RSW y NTW (página 157 de la 4ª edición), y la documentación de SGP4 usa UVW y PTW.

"RTN" significa "Radial, Transversal, Normal". Normal significa vector unitario paralelo al momento angular, que apunta hacia la posición$\times$velocidad. Radial significa paralelo al vector que apunta desde el cuerpo central al objeto en órbita, o de manera equivalente, desde el objeto lejos del cuerpo central. Transversal significa el vector unitario que completa el sistema de la mano derecha, que apunta en el plano de la órbita en algún lugar cercano pero que no coincide exactamente con la velocidad del objeto, excepto en el apogeo y el perigeo, o si la excentricidad es cero.

"TVN" significa "Transversal, Velocidad, Normal". La normalidad es la misma que antes. La velocidad coincide exactamente con la dirección de la velocidad instantánea real. Transversal aún significa completar el sistema de mano derecha, pero ahora eso significa que apunta en el plano de la órbita en algún lugar cercano pero que no coincide exactamente con el vector de posición radial hacia afuera del objeto, excepto en el apogeo y el perigeo, o si la excentricidad es cero.

Tenga en cuenta la frase "si la excentricidad es cero": para órbitas puramente circulares, las dos definiciones coinciden y no hay diferencia. La elipse que se muestra en la pregunta tiene una excentricidad de aproximadamente 0,7, que se encuentra en el rango generalmente llamado órbitas altamente elípticas, por lo que las diferencias son especialmente grandes y obvias.

La definición de TVN es la única que he visto utilizada en matemáticas, donde se llama marco de Frenet-Serret , o "TNB" para "Tangente, Normal, Binormal". Sin embargo, esas palabras no tienen los mismos significados que en CCSDS. En cambio, Tangente significa en la dirección de la velocidad. Normal significa perpendicular a la velocidad en la dirección de la curvatura de la trayectoria, coincidiendo con la "Transversal" de TVN. Binormal significa tangente$\times$Normal, que coincide con lo que RTN y TVN llaman "Normal".

Esta elección es perfectamente natural en la geometría diferencial clásica, donde la curvatura intrínseca y la torsión de la trayectoria, parametrizadas por la longitud, son independientes de lo que elijas como origen de tu espacio vectorial. No tiene sentido distinguir una dirección "radial", porque no hay nada especial en la posición cero.

En mecánica orbital, sin embargo, lo contrario es cierto: el objetivo es averiguar cuál debe ser la curva en función de la gravitación dominante del objeto masivo (o baricentro del sistema) cuya ubicación proporciona una definición natural y obvia de la posición cero.

Con respecto a los componentes representados en la figura, estoy de acuerdo en que lo más probable es que$\mathbf{v}_r$significa "componente radial de la velocidad" y$\mathbf{v}_n$significa "componente normal de la velocidad", pero el significado de normal ya está sobrecargado, así que creo que hace tanto daño como bien. Si estuviera escribiendo un libro de texto, probablemente usaría$\mathbf{v}_{||}$(pronunciado "v-par") para significar "componente de velocidad paralela a la dirección radial" y$\mathbf{v}_{\perp}$(pronunciado "v-perp") para significar "componente de velocidad perpendicular a la dirección radial".

Personalmente, no habría usado "tangencial" en ninguna de las citas que se muestran, porque creo que la velocidad es inherentemente tangencial. Sin embargo, eso probablemente se deba a que me enseñaron geometría diferencial mucho antes de convertirme en astrodinámica, y la exposición temprana a las matemáticas distorsionó mi vocabulario de varias maneras.

Los términos radial y tangencial son relativos al cuerpo central NO al vector instantáneo, por lo que si la velocidad radial es distinta de cero, entonces la componente tangencial es ortogonal a eso y paralela al horizonte del planeta. Es Vtangente * R que es el momento angular que se conserva en una órbita de Kepleran.

Momentáneamente en el apogeo y perigeo Vtan = V.

No es fácil encontrar las expresiones matemáticas para las componentes radial y normal de la velocidad en órbitas elípticas. Si ponemos las palabras

componente de velocidad radial de órbita elíptica

en un buscador de internet, no encontrará las expresiones matemáticas que busca en las primeras entradas. Pero el dibujo de la órbita elíptica que ilustra este hilo de StackExchange sí aparece entre las primeras imágenes del resultado de la búsqueda.

Y en este buen dibujo queda claro que las expresiones matemáticas que buscamos son las correspondientes a la$v_r$y$v_n$que aparecen en ella.

Por lo tanto proporciono las expresiones para la componente radial y perpendicular a la componente radio vector de las velocidades en órbitas elípticas, para que puedan ser utilizadas por los futuros "buscadores" de estas expresiones que lleguen a este hilo.

Con la nomenclatura habitual:

$G$= constante gravitatoria universal

$M$= masa del primario

$m$= masa de secundaria

$a$= semieje mayor de la órbita elíptica

$e$= excentricidad de la órbita elíptica

$\theta$= verdadera anomalía

$r$= vector de radio (vector de posición desde el foco)

La expresión matemática para calcular la velocidad radial es:

$$v_r=\sqrt{\frac{G (M+m)}{a(1-e^2)}} \ \ e \sin \theta$$

Y la expresión de la componente de velocidad perpendicular al radio vector es:

$$v_n=\sqrt{\frac{G (M+m)}{a(1-e^2)}} \ \ (1+e \cos \theta)$$

Naturalmente, se sigue que:

$$v=\sqrt{v_r^2+v_n^2}$$

Ese operar se puede convertir en la conocida expresión:

$$v=\sqrt{2 G (M+m)\left ( \frac 1 r - \frac 1{2a} \right )}$$

$$v=\sqrt{2 \mu \left ( \frac 1 r - \frac 1{2a} \right )}$$

Dónde$\mu=G(M+m)$es el parámetro gravitatorio.

Atentamente