¿Qué dice el principio de exclusión de Pauli sobre una superposición de estados de espín?

Supongamos que tenemos un átomo. Comúnmente se dice que debido al PEP, dos electrones no pueden estar en el estado fundamental a menos que tengan espines opuestos, porque dos electrones no pueden tener la misma función de onda.

Lo que me molesta es que girar hacia arriba y hacia abajo no son los únicos estados de giro posibles. Hay todo un continuo de combinaciones lineales de ellos y, por lo que sé, el PEP no excluiría la posibilidad de tener muchos electrones, todos compartiendo la misma función de onda espacial pero con diferentes combinaciones de ∣ ↑ ⟩ y ∣ ↓ ⟩ . ¿Por qué no sucede esto?

Respuestas (3)

El estado general de espín de una partícula para una partícula de espín 1/2 es

| ψ ⟩ = a ∣↑ ⟩ + b ∣↓ ⟩
con | a | 2 + | b | 2 = 1 . Así que tratemos de antisimetrizar dos de estos.
alternativa ⁡ ( | ψ ⟩ 1 ⊗ | ψ ⟩ 2 ) = ( a 1 ∣↑ ⟩ + b 1 ∣↓ ⟩ ) ⊗ ( a 2 ∣↑ ⟩ + b 2 ∣↓ ⟩ ) − ( a 2 ∣↑ ⟩ + b 2 ∣↓ ⟩ ) ⊗ ( a 1 ∣↑ ⟩ + b 1 ∣↓ ⟩ ) = ( a 1 a 2 − a 1 a 2 ) ∣↑ ⟩ ∣↑ ⟩ + ( b 1 b 2 − b 2 b 1 ) ∣↓ ⟩ ∣↓ ⟩ + ( a 1 b 2 − a 2 b 1 ) ∣↑ ⟩ ∣↓ ⟩ + ( b 1 a 2 − b 2 a 1 ) ∣↓ ⟩ ∣↑ ⟩ = ( a 1 b 2 − a 2 b 1 ) ( ∣↑↓ ⟩ − ∣↓↑ ⟩ )
así que cualquiera que sea el estado de una partícula con el que comiences, terminarás con algo proporcional a ∣ ↑↓ ⟩ − ∣↓↑ ⟩ .

Más abstractamente, si v 1 , v 2 , … , v norte son una base para un espacio vectorial V , una base de los tensores antisimétricos de rango 2 en V es dado por

v i ⊗ v j − v j ⊗ v i 1 ≤ i < j ≤ norte .
en el caso de que norte = 2 , esto se reduce al resultado anterior.

debería ser eso alternativa ⁡ ( | ψ ⟩ 1 ⊗ | ψ ⟩ 2 ) en vez de alternativa ⁡ ( | ψ ⟩ 1 ⊗ | ψ ⟩ 1 ) en la primera linea?
Además, creo que el último término en la misma línea debería ser b 1 ? Editar: No importa que se vea bien.
Estás en lo correcto. Hice una edición.
Sigo las matemáticas, pero no estoy seguro de cuáles son las consecuencias de esto. ¿Podría ampliar un poco?
@JavierBadia La consecuencia es que no tiene que haber preparado un conjunto particular de valores propios (digamos "arriba" y "abajo") para que se aplique el límite de ocupación (2 electrones). Este es el PEP que se aplica sin importar los juegos que intentes jugar con los giros de electrones, ya que la función de onda combinada "sabe" cuántos están permitidos (en un lenguaje menos antropomórfico, te quedas sin grados de libertad para usar en anti-simetrización) .
Creo que lo veo, pero tendré que pensarlo por un tiempo. Gracias por la respuesta, sin embargo!

El principio de exclusión de Pauli establece que no se pueden tener dos electrones en el mismo estado cuántico. Lo que hay que tener en cuenta es que | ↑ ⟩ y | ↓ ⟩ ya son una base de la parte de espín del espacio de hilbert. Esto no es comparable a, por ejemplo, la dirección z de un espacio tridimensional donde los componentes x e y son independientes. Si tienes un estado cuántico ψ ( r → ) su componente espacial ϕ ( r → ) depende de la base del espacio de espín que elija, es decir, con la base del estado de espín, está determinando una dirección en el espacio que se refleja en el componente espacial de su estado cuántico.

Como dijiste, los estados de giro consisten en combinaciones lineales de giro hacia arriba y hacia abajo. Un electrón puede estar arriba o abajo. No puede tener un electrón que tenga un giro de un cuarto hacia arriba o un cuarto hacia abajo, por ejemplo. Un electrón en cualquier momento está arriba o abajo. Es por eso que no puedes tener más de 2 electrones compartiendo el mismo estado de espín. Piénselo de esta manera, si dos electrones comparten el mismo estado espacial, entonces uno de ellos gira hacia arriba y el otro gira hacia abajo. La superposición de giro con la que está confundido simplemente le dice que los electrones no siempre giran hacia arriba y hacia abajo, sino que tienen probabilidades asociadas con sus estados de giro.

Por ejemplo, un estado de giro 1 2 ∣↑ ⟩ + 1 2 ∣↓ ⟩ te dice que el electrón gira hacia arriba el 50% de las veces y gira hacia abajo el 50% de las veces. Entonces el otro electrón solo puede estar en el otro estado para satisfacer el principio de exclusión de Pauli.

"No puedes tener un electrón que tenga un giro de un cuarto hacia arriba o un cuarto hacia abajo, por ejemplo. Un electrón en cualquier momento está hacia arriba o hacia abajo". Esto es descaradamente falso en QM. Un electrón que gira hacia arriba con respecto al z -El eje está en una superposición de espín hacia arriba y hacia abajo con respecto a cualquier otro eje.
La superposición solo implica probabilidades de estar arriba y abajo, no puedes simplemente dividir el espín en componentes como lo haces en Mecánica Clásica. Siento que estamos diciendo lo mismo aquí.
@PhotonicBoom Estar en una superposición es no estar en ninguno de los estados propios. Las probabilidades implícitas solo se materializan cuando mides el componente del giro en el eje z. Mientras tanto, no está en ningún estado a lo largo del eje z. La declaración a la que se opone Robin no es correcta por sí sola, y la respuesta completa requiere que hagas una antisimetría de la función de onda para mostrar que el límite de ocupación no depende del eje de giro que elijas.
Ahora entiendo lo que quieres decir. Me refería a los resultados de la medición, pero según entiendo ahora, esta no es la imagen completa todavía.
¿Qué dice el principio de exclusión de Pauli sobre una superposición de estados de espín?
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