Momento angular y producto cruzado

Sí, ambas fórmulas son iguales en mecánica clásica y para una sola partícula o equivalente, que es el caso. Eso es porque

$\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}=\vec{r}\times(m\vec{v})=m(\vec{r}\times \vec{v})$

ya que el producto vectorial es lineal en ambas componentes (puedes sacar escalares fuera e introducirlos dentro de uno de los factores).

En cuanto a su ejemplo, ¡está mal porque ha olvidado los vectores! Deje que el sombrero ^ denote el vector unitario en esa dirección, es decir$\hat{r}$es el vector unitario en la dirección radial y$\hat{v}$es el vector unitario en la dirección de la velocidad.

Entonces puedes escribir

$\vec{L}=5 kg \cdot (2m\cdot \hat{r})\times (4 m/s \ \ \hat{v})$

y luego extraer escalares fuera:

$\vec{L}=5 kg\cdot 2m \cdot 4 m/s \cdot (\hat{r}\times \hat{v})$

Entonces sí, puedes hacer la multiplicación por igual, pero sin olvidar el vector. Por supuesto, ese producto vectorial también es un vector unitario perpendicular a ambos$r$y$v$al mismo tiempo, siempre que$\vec{r}\perp\vec{v}$(de lo contrario el resultado es$\sin \theta$veces el vector. llamémoslo$\hat{n}$. Tienes

$\vec{L}=(5 kg\cdot 2m \cdot 4 \frac{m}{s}) \cdot \sin \theta \ \hat{n}\\$

y

$\\ |\vec{L}|=5 kg\cdot 2m \cdot 4 \frac{m}{s}\cdot \sin \theta \ $

Ambas fórmulas son correctas .

Siempre que enfrente una dificultad en las fórmulas, su primer recurso debe ser el análisis dimensional. La dimensión de$L$es$[M L^2 T^{-1}]$.

La dimensión de RHS de la segunda fórmula es:$[L]×[M]×[L T^{-1}] = [M L^2 T^{-1}]$, que son las dimensiones de LHS Entonces, la segunda fórmula es correcta.

Por notación vectorial, la segunda fórmula es en realidad$\vec{L} = m(\vec{r} × \vec{v})$. Esto se deriva de la primera fórmula simplemente quitando la masa del producto cruzado, ya que la masa es una cantidad escalar.

Tal como dijo @WrichikBasu en su respuesta, la fórmula correcta para el momento angular es

$$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m \vec{v}) = m ( \vec{r} \times \vec{v} )$$

Lo anterior es válido para un sistema de partículas cada una ubicada$\vec{r}_i$desde el origen, con el momento angular total sobre el origen

$$\vec{L}_{\rm origin} = \sum_i m_i (\vec{r}_i \times \vec{v}_i )$$

Después de hacer muchas matemáticas, lo anterior se evalúa como

$$\vec{L}_{\rm origin} = {\rm I}_C \omega + \vec{r}_C \times \vec{p} = {\rm I}_C \omega + \vec{r}_C \times m\vec{v}_C$$ dónde $\vec{r}_C$es la posición del centro de masa, $\vec{v}_C$la velocidad del centro de masa y ${\rm I}_C$el momento de inercia de la masa con respecto al centro de masa.