Diferenciar un producto vectorial

Question

Diferenciar un producto vectorial

Física
vectores
momento angular
cinemática-rotacional

Daga negra

{metro}_{i} r_{i} \times \frac{d^{2} r_{i}}{d t^{2}} = \frac{d}{d t} ({metro}_{i} r_{i} \times \frac{d r_{i}}{d t})

$m_i\mathbf{r}_i\times\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}_i}{\mathrm{d}t^2} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\biggl(m_i\mathbf{r}_i\times\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_i}{\mathrm{d}t}\biggr)$

No entiendo esto. Como $\mathrm{d}/\mathrm{d}t$ ¿salir?

Selene Routley

Use la regla del producto de Leibnitz y luego tenga cuidado de que el producto cruz de algo consigo mismo sea cero.

Respuestas (2)

Diferenciar un producto vectorial

Use la regla del producto de Leibnitz y luego tenga cuidado de que el producto cruz de algo consigo mismo sea cero.

joshfísica · Answer 1

Existe una identidad para la derivada del producto cruzado de dos funciones vectoriales $\mathbf A(t)$ y $\mathbf B(t)$ ;

\begin{aligned} \frac{d}{d t} (A \times B) = \frac{d A}{d t} \times B + A \times \frac{d B}{d t} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{d}{dt} (\mathbf A \times \mathbf B) = \frac{d\mathbf A}{dt}\times \mathbf B + \mathbf A\times \frac{d\mathbf B}{dt} \end{align}$ Usando esta regla con el cálculo que está considerando, obtenemos

\begin{aligned} \frac{d}{d t} ({metro}_{i} r_{i} \times \frac{d r_{i}}{d t}) = {metro}_{i} \frac{d r_{i}}{d t} \times \frac{d r_{i}}{d t} + {metro}_{i} r_{i} \times \frac{d^{2} r_{i}}{d t^{2}} = {metro}_{i} r_{i} \times \frac{d^{2} r_{i}}{d t^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{d}{dt}\left(m_i\mathbf r_i\times \frac{d\mathbf r_i}{dt}\right) = m_i \frac{d\mathbf r_i}{dt}\times \frac{d\mathbf r_i}{dt} + m_i\mathbf r_i\times \frac{d^2\mathbf r_i}{dt^2} = m_i\mathbf r_i\times \frac{d^2\mathbf r_i}{dt^2} \end{align}$ donde en el último paso, hemos usado el hecho de que el producto cruzado de cualquier vector consigo mismo es cero.

@vardhanamdaga ¿Está familiarizado con el símbolo de levi-civita y escribe el producto cruzado en términos de él?
@vardhanamdaga Los hay, pero son más algebraicamente intensivos. Vea, por ejemplo, la respuesta de George Jones aquí physicsforums.com/showthread.php?t=106405 . Encontrarás muchas otras pruebas buscando en Google esto por cierto.
La prueba se sigue de la bilinealidad del producto vectorial. Bosquejo de la prueba: $A(t+\Delta t) \times B(t+\Delta t) = (A(t) +\dot{A} \Delta t) \times (B(t) +\dot{B} \Delta t) = A(t) \times B(t) + A(t) \times \dot{B}(t) \Delta t + \dot{A}(t) \times B(t) \Delta t + \dot{A}(t) \times \dot{B}(t) (\Delta t)^2$ . Vemos que la pieza de primer orden es $A(t) \times \dot{B}(t) \Delta t + \dot{A}(t) \times B(t) \Delta t$ , entonces la derivada es $A(t) \times \dot{B}(t) + \dot{A}(t) \times B(t)$ . Se podrían usar demostraciones similares para cualquier función multilineal.

alumno · Answer 2

El producto vectorial de un vector $\vec{a}$ consigo mismo siempre es cero: $\vec{a} \times \vec{a} = 0$
Para dos funciones vectoriales suaves $\vec{a},\vec{b} \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3$ la regla del producto se cumple:

\frac{d}{d t} (\vec{a} \times \vec{b}) = \frac{d}{d t} \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \frac{d}{d t} \vec{b}

$\frac{d}{dt} (\vec{a} \times \vec{b}) = \frac{d}{dt} \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \frac{d}{dt} \vec{b}$

Puede ver esto, por ejemplo, si escribe los componentes (entonces es solo la regla del producto ordinario).

Tomemos por ejemplo el primer componente:

\begin{aligned} {(\frac{d}{d t} (\vec{a} \times \vec{b}))}_{1} & = \frac{d}{d t} (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}) \\ = \frac{d}{d t} (a_{2} b_{3}) - \frac{d}{d t} (a_{3} b_{2}) \\ = (\frac{d}{d t} a_{2}) b_{3} + a_{2} \frac{d}{d t} b_{3} - (\frac{d}{d t} a_{3}) b_{2} - a_{3} \frac{d}{d t} b_{2} \\ = (\frac{d}{d t} a_{2}) b_{3} - (\frac{d}{d t} a_{3}) b_{2} + a_{2} \frac{d}{d t} b_{3} - a_{3} \frac{d}{d t} b_{2} \\ = {(\frac{d}{d t} \vec{a} \times \vec{b})}_{1} + {(\vec{a} \times \frac{d}{d t} \vec{b})}_{1} \end{aligned}

$\begin{align} \left (\frac{d}{dt} (\vec{a} \times \vec{b}) \right)_1 &= \frac{d}{dt} (a_2b_3 - a_3 b_2)\\ &= \frac{d}{dt}(a_2b_3) - \frac{d}{dt}(a_3 b_2)\\ &= \left(\frac{d}{dt}a_2\right) b_3 + a_2 \frac{d}{dt} b_3 - \left(\frac{d}{dt}a_3\right) b_2 - a_3 \frac{d}{dt} b_2\\ &= \left(\frac{d}{dt}a_2\right) b_3 - \left(\frac{d}{dt}a_3\right) b_2 + a_2 \frac{d}{dt} b_3 - a_3 \frac{d}{dt} b_2 \\ &= \left(\frac{d}{dt} \vec{a} \times \vec{b}\right)_1 + \left(\vec{a} \times \frac{d}{dt} \vec{b}\right)_1 \end{align}$

Poniendo esto junto obtienes tu resultado:

\frac{d}{d t} ({metro}_{i} {\vec{r}}_{i} \times \frac{d {\vec{r}}_{i}}{d t}) = {metro}_{i} \frac{d {\vec{r}}_{i}}{d t} \times \frac{d {\vec{r}}_{i}}{d t} + {metro}_{i} {\vec{r}}_{i} \times \frac{d^{2} {\vec{r}}_{i}}{d t^{2}} = {metro}_{i} {\vec{r}}_{i} \times \frac{d^{2} {\vec{r}}_{i}}{d t^{2}}

$\frac{d}{dt}\left(m_i \vec{r}_i\times \frac{d \vec{r}_i}{dt}\right) = m_i \frac{d \vec{r}_i}{dt}\times \frac{d \vec{r}_i}{dt} + m_i \vec{r}_i\times \frac{d^2\vec{r}_i}{dt^2} = m_i\vec{r}_i\times \frac{d^2\vec{r}_i}{dt^2}$

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