El álgebra lineal de la representación del espacio de estados no será lineal (teorema de superposición)...

Question

El álgebra lineal de la representación del espacio de estados no será lineal (teorema de superposición)...

Matemáticas
teoría del control
álgebra lineal
modelo matematico

Señor Mystère

Después de responder una pregunta sobre el cálculo de la representación del espacio de estado de un circuito con 3 fuentes (el circuito está ahí), tuve una duda: mientras verificaba, quedó claro que algo andaba mal en alguna parte.

Lo que se ha hecho

Entonces resolví el circuito para cada una de las fuentes encendidas a la vez. Terminé con 3 ecuaciones diferenciales (numeradas con $i=1...3$ ):

α_{i} \ddot{V_{o}} + β_{i} \dot{V_{o}} + γ_{i} V_{o} = d_{i} {tu}_{i}

$\alpha_{i}\ddot{V_o}+\beta_{i}\dot{V_o}+\gamma_i{V_o}=\delta_iU_i$ Dónde

U_{i}

$U_i$ es el valor de la fuente alimentada.

El teorema de superposición debería permitirme sumar estas ecuaciones diferenciales, de modo que:

\ddot{V_{o}} + a_{1} \dot{V_{o}} + a_{2} V_{o} = b_{1} I_{i} + b_{2} V_{1} + b_{3} V_{2}

$\ddot{V_o}+a_{1}\dot{V_o}+a_2{V_o}=b_{1}I_i+b_2V_1+b_3V_2$ Con

a_{2} = \frac{γ_{1}}{α_{1}} + \frac{γ_{2}}{α_{2}} + \frac{γ_{3}}{α_{3}}

$a_2=\frac{\gamma_1}{\alpha_1}+\frac{\gamma_2}{\alpha_2}+\frac{\gamma_3}{\alpha_3}$

a_{1} = \frac{β_{1}}{α_{1}} + \frac{β_{2}}{α_{2}} + \frac{β_{3}}{α_{3}}

$a_1=\frac{\beta_1}{\alpha_1}+\frac{\beta_2}{\alpha_2}+\frac{\beta_3}{\alpha_3}$

b_{i} = \frac{d_{i}}{α_{i}}

$b_i=\frac{\delta_i}{\alpha_i}$ que se representa en el espacio de estados

\dot{X} = A X + B tu

$\dot{X}=AX+BU$

V_{o} = C X + D tu

$V_o=CX+DU$ Por

A = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ - a_{2} & - a_{1} \end{matrix}]

$A=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ -a_2 & -a_1 \end{bmatrix}$

B = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix}]

$B=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{bmatrix}$

C = [1, 0]

$C=[1, 0]$

D = [0, 0, 0]

$D=[0,0,0]$ Para un vector de estado

X = [\begin{matrix} V_{o} \\ \dot{V_{o}} \end{matrix}]

$X=\begin{bmatrix} V_o\\ \dot{V_o} \end{bmatrix}$ Y vector de entrada

tu = [\begin{matrix} I_{i} \\ V_{1} \\ V_{2} \end{matrix}]

$U=\begin{bmatrix} I_i\\ V_1\\ V_2 \end{bmatrix}$

He hecho un control de cordura de cada una de mis ecuaciones diferenciales elementales en estado estacionario ( $V_o=\delta_i/\gamma_i*U_i$ ) y están bien. Luego probé cada uno de ellos en su propio bloque de Simulink de espacio de estado, que se veía bien.

Pregunta

Sin embargo, el bloque de espacio de estado total, llenado de la misma manera que las ecuaciones diferenciales elementales pero basado en la suma de las ecuaciones diferenciales, es totalmente incorrecto: por ejemplo, si se supone que debo obtener 100 por 100 en estado estacionario, yo terminar con 32.

Debe haber un error en alguna parte y, a partir de esas pistas, me inclinaría por transformarme en espacio de estado. ¿Pero donde?

Esto debería ser suficiente para decirme si es algo fundamental; sin embargo, si todo parece estar bien, puedo subir fotos de mis notas.

Aquí es para ilustrar: el modelo de espacio de estado superior contiene la ecuación diferencial total, y los otros 3 son las ecuaciones diferenciales del circuito para cada fuente de energía.

ingrese la descripción de la imagen aquí

obareey

¿Qué hay dentro de esos modelos de espacio de estado?

Señor Mystère

Actualicé mi publicación con lo que hay dentro, básicamente las 3 ecuaciones diferenciales elementales por un lado y la suma de todas ellas por el otro.

Respuestas (1)

El álgebra lineal de la representación del espacio de estados no será lineal (teorema de superposición)...

Actualicé mi publicación con lo que hay dentro, básicamente las 3 ecuaciones diferenciales elementales por un lado y la suma de todas ellas por el otro.

obareey · Answer 1

Según su lógica, la ecuación diferencial total debería comenzar con $3 \ddot{V}_0$ . Pero creo que malinterpretaste el teorema de superposición. Dice que si tiene $y_i$ salida para $u_i$ entrada, entonces tendrá $\sum_i y_i$ salida para $\sum_i u_i$ entrada, para un sistema dado , es decir, para una sola ecuación diferencial. Lo que tienes son 3 ecuaciones diferenciales independientes y no puedes simplemente "sumarlas". Necesita ver que estas son ecuaciones diferentes y cada una de ellas tiene 2 estados como los siguientes:

[\begin{matrix} {\dot{V}}_{01} \\ {\ddot{V}}_{01} \\ {\dot{V}}_{02} \\ {\ddot{V}}_{02} \\ {\dot{V}}_{03} \\ {\ddot{V}}_{03} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ - γ_{1} / α_{1} & - β_{1} / α_{1} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - γ_{2} / α_{2} & - β_{2} / α_{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - γ_{3} / α_{3} & - β_{3} / α_{3} \end{matrix}] [\begin{matrix} V_{01} \\ {\dot{V}}_{01} \\ V_{02} \\ {\dot{V}}_{02} \\ V_{03} \\ {\dot{V}}_{03} \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ d_{1} / α_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & d_{2} / α_{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & d_{3} / α_{3} \end{matrix}] [\begin{matrix} I_{1} \\ V_{1} \\ V_{2} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}\dot{V}_{01} \\ \ddot{V}_{01} \\ \dot{V}_{02} \\ \ddot{V}_{02} \\ \dot{V}_{03} \\ \ddot{V}_{03} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -\gamma_1/\alpha_1 & -\beta_1/\alpha_1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\gamma_2/\alpha_2 & -\beta_2/\alpha_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -\gamma_3/\alpha_3 & -\beta_3/\alpha_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}{V}_{01} \\ \dot{V}_{01} \\ {V}_{02} \\ \dot{V}_{02} \\ {V}_{03} \\ \dot{V}_{03} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ \delta_1/\alpha_1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & \delta_2/\alpha_2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \delta_3/\alpha_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}I_1 \\ V_1 \\ V_2 \end{bmatrix}$

y = [\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} V_{01} \\ {\dot{V}}_{01} \\ V_{02} \\ {\dot{V}}_{02} \\ V_{03} \\ {\dot{V}}_{03} \end{matrix}]

$y = \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{V}_{01} \\ \dot{V}_{01} \\ {V}_{02} \\ \dot{V}_{02} \\ {V}_{03} \\ \dot{V}_{03} \end{bmatrix}$

Para ver por qué no funciona resumir las ecuaciones diferenciales, considere estas ecuaciones:

\dot{X} (t) + 2 X (t) = tu (t) \dot{X} (t) + 3 X (t) = tu (t)

$\dot{x}(t) + 2x(t) = u(t) \\ \dot{x}(t) + 3x(t) = u(t)$

dónde $u(t)$ es la función escalón y $x(0)=0$ . Estas ecuaciones tienen las soluciones $(1-e^{-2t})/2$ y $(1-e^{-3t})/3$ respectivamente. Sumando estas ecuaciones se obtiene la siguiente ecuación

2 \dot{X} (t) + 5 X (t) = 2 tu (t)

$2\dot{x}(t) + 5x(t) = 2u(t)$

que tiene la solucion $2(1-e^{-5t/2})/5$ , que no es la suma de las soluciones de las ecuaciones anteriores.

Gracias por esta respuesta tan clara. Entonces, en ese caso, la matriz C es [1 0 1 0 1 0] para y_total=y1+y2+y3, ¿verdad? Además, ¿no deberían reemplazarse los 1 en la matriz B con delta_i/alpha_i (i de 1 a 3)?
Y en el punto sobre el factor 3, ese fue un error estúpido.
Modifiqué mi respuesta citada anteriormente si desea echar un vistazo rápido; por supuesto, se le menciona.
Por cierto, me pregunto qué hacer para establecer las condiciones iniciales. Supongo que no puedo configurar un V_0 a, digamos, 230 voltios; y los demás en 0 porque las derivadas dependen de V_0 entonces eso hará que las 3 ecuaciones sean incoherentes ¿no? Pero no puedo ponerlos todos al mismo valor ya que la suma será 3 veces eso. Y si resto 2 veces eso, todos los demás valores se corromperán. Entonces, ¿qué hacer entonces?
necesitas ambos $V_{0i}(0)$ y $\dot{V}_{0i}(0)$ para $i=1,2,3$ para resolver de forma única las ecuaciones. En general, si tiene $n$ Ecuación diferencial ordinaria de º orden, necesitas $n-1$ condiciones iniciales para obtener una solución única.
Quise decir que sé lo que son V_0 y su derivada en t=0, pero dado que cada ecuación diferencial elemental es solo una herramienta matemática, no sé cuál es el desglose de las condiciones iniciales. ¿Entonces no puedo establecer condiciones iniciales?
¿Está tratando de decir que no conoce las condiciones iniciales en una aplicación del mundo real? En el mundo real, a veces puede suponer que el sistema está en reposo inicialmente, es decir, todos los valores iniciales son 0, si tiene información a priori sobre el sistema, como cuando enciende un circuito electrónico. Si no tiene información sobre los estados iniciales del sistema, puede diseñar un observador para estimar los estados a partir de las medidas de salida. Estas soluciones nos ayudan a comprender el comportamiento del sistema para cualquier posible condición inicial.
Estoy tratando de decir que sé cuál es el V_0 general en t = 0 s, llamémoslo K-, pero no el V_Oi individual en t = 0 s. Podría establecer V01, V02 y V03 en K/3 en t=0, pero no estoy seguro de que no vaya a corromper el comportamiento del modelo antes de alcanzar el estado estable. En t=0s el sistema está en reposo por lo que todas las derivadas son 0.

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