¿El túnel cuántico está relacionado con el tiempo imaginario?

Sí, los dos están íntimamente relacionados. Una forma, como en la respuesta de QMechanic , es a través de las rotaciones de Wick, pero en general hay mucha más libertad una vez que permite que los contornos de integración pasen al plano complejo. En mi área, la física de campo fuerte, el uso del tiempo complejo para comprender los problemas de túneles es el pan de cada día para muchas personas, y es la única forma de usar modelos semiclásicos para situaciones de túneles.

La ionización de túnel es lo que sucede cuando golpeas un átomo con un campo láser muy fuerte de muy baja frecuencia. La frecuencia$\omega$del campo debe ser mucho menor que el potencial de ionización$I_p=\tfrac12\kappa^2$del átomo, lo que significa que se necesitan muchos fotones para ionizarlo, pero para estos campos que varían lentamente, la imagen física es algo diferente. Si el (llamado) parámetro de Keldysh

$$\gamma=\frac{\kappa \omega}{E_0}$$ (dónde $E_0$es el campo eléctrico pico del láser, y se suponen unidades atómicas) es menor que uno, entonces es más útil pensar en términos de una imagen cuasiestática. Eso significa que considera el potencial dipolar del láser, $V_L=-\mathbf E·\mathbf r$, como un potencial fijo que se suma al potencial atómico y que varía lentamente en el tiempo.

En el pico del campo, este potencial lineal adicional dobla la superficie potencial total lo suficientemente profundo como para formar una barrera a través de la cual los electrones atómicos (en particular, los que se encuentran en el orbital atómico ocupado más alto) pueden atravesar.

Las tasas de tunelización dependen muy sensiblemente de la altura y el ancho de la barrera, lo que esencialmente significa que el campo debe ser muy fuerte (es decir, del orden de$0.01\:\text{a.u.} \approx 5\times 10^9 \text V/\text m$) Para que esto suceda.

Los primeros en darse cuenta de esto fueron Keldysh,

LV Keldysh, Ionización en el campo de una fuerte onda electromagnética. Sov. física JETP 20 no. 5, 1307-1314 (1965) ( pdf ) [ Zh. Eksp. teor Fiz. 47 , 1945 (1964)].

y los chicos ahora conocidos como PPT,

AM Perelomov, VS Popov, MV Terent'ev, Ionización de átomos en un campo eléctrico alterno. Sov. física JETP 20 no. 5, 924-934 (1966) ( pdf ) [ Zh. Eksp. teor Fiz. 50 , 1393 (1966)].

su trabajo no es particularmente fácil de leer, pero está bastante en las líneas semiclásicas de WKB que señala en su pregunta.

---

Sin embargo, más recientemente, esta comprensión se ha cristalizado en la imagen conocida como la visión de la órbita cuántica de los fenómenos de campo fuerte. Una buena reseña es

P. Salières et al. , Enfoque integral de trayectoria de Feynman para interacciones de átomo-láser intenso. Ciencia 292 núm. 5518, 902-905 (2001) .

e intentaré dar una muestra de la sensación general del campo.

Consideremos, entonces, un átomo que inicialmente se encuentra en su estado fundamental$|g⟩$con energia$E_g=-I_p=-\tfrac12\kappa^2$, que está sujeto a un potencial oscilante$V_L=-E_0z\cos(\omega t)$, que es lento (entonces$\hbar\omega\ll I_p$) y lo suficientemente fuerte para estar en el régimen de túneles (por lo que$\gamma=\kappa\omega/E_0<1$). En esta situación, generalmente se pueden ignorar los efectos multielectrónicos y trabajar en la aproximación de un solo electrón activo, al menos como primer tratamiento.

El problema, entonces, es resolver la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

$$i\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)⟩=\left[\frac{\mathbf p^2}{2m}+V_a(\mathbf r) +V_L\right]|\psi(t)⟩$$ bajo la condición inicial de que $|\psi⟩=|g⟩$antes de que comience el pulso. Desafortunadamente, esto es imposible de hacer analíticamente en su forma completa, pero uno puede separar las dos partes del hamiltoniano para obtener una solución bastante viable. Esto se conoce como aproximación de campo fuerte, y esencialmente significa despreciar el efecto de la atracción del ion una vez que el electrón ha sido ionizado, y se desprecia la influencia de los orbitales más profundos. Significa que tiene dos soluciones aproximadas bastante buenas dependiendo de si su electrón todavía está en el estado fundamental, $$|\psi(t)⟩=e^{-iE_g t}|g⟩,\quad\text{with}\quad i\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)⟩=\left[\frac{\mathbf p^2}{2m}+V_a(\mathbf r)\right]|\psi(t)⟩,$$ o ha sido ionizado en un estado de Volkov, $$|\psi(t)⟩=e^{\frac i2 \int_t^\infty (\mathbf p+\mathbf A(\tau))^2\text d\tau}|\mathbf p+\mathbf A(t)⟩,\quad\text{with}\quad i\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)⟩=\left[\frac{\mathbf p^2}{2m}+V_L\right]|\psi(t)⟩,$$ dónde $\mathbf A$es el vector potencial del campo y $|\mathbf p +\mathbf A(t)⟩$es una onda plana con momento cinético $\mathbf k=\mathbf p+\mathbf A(t)$. Calcularé la amplitud de ionización a un impulso de deriva asintótico $\mathbf p$, entonces la cantidad de interés es $⟨\mathbf p |\psi(\infty)⟩$.

En general, el estado del electrón será una especie de superposición de estas dos soluciones, por lo que puedes escribir

$$|\psi(t)⟩=a(t)e^{-iE_g t}|g⟩+\int\text d\mathbf p \,b(\mathbf p,t) e^{\frac i2 \int_t^\infty (\mathbf p+\mathbf A(\tau))^2\text d\tau}|\mathbf p+\mathbf A(t)⟩.$$ Luego sustituye esto en el TDSE y cancela los términos obvios, lo que lo deja con la forma equivalente $$\left\{ \begin{align} i\frac{d}{dt}a(t)&=a⟨g|V_L|g⟩+\int\text d\mathbf p \,b(\mathbf p,t) e^{+iE_g t}e^{\frac i2 \int_t^\infty (\mathbf p+\mathbf A(\tau))^2\text d\tau}⟨g|V_a|\mathbf p+\mathbf A(t)⟩ \\ i\frac{\partial}{\partial t}b(\mathbf p,t) & = a(t)e^{-iE_g t}e^{-\frac i2 \int_t^\infty (\mathbf p+\mathbf A(\tau))^2\text d\tau}⟨\mathbf p+\mathbf A(t)|V_L|g⟩ \\&\qquad +\int\text d\mathbf p'\,b(\mathbf p',t) e^{-\frac i2 \int_t^\infty (\mathbf p+\mathbf A(\tau))^2\text d\tau}e^{\frac i2 \int_t^\infty (\mathbf p'+\mathbf A(\tau))^2\text d\tau}⟨\mathbf p+\mathbf A(t)|V_a|\mathbf p'+\mathbf A(t)⟩. \end{align} \right.$$ Esto se puede simplificar aún más al ignorar las transiciones continuo-continuo (es decir, la integral en la segunda ecuación) y el agotamiento del estado fundamental (es decir, establecer $a(t)=1$en la segunda ecuación). (Ambos se pueden levantar, pero solo hace que todo sea más feo). Si hace eso, el TDSE finalmente se convierte en algo factible, $$i\frac{\partial}{\partial t}b(\mathbf p,t) = e^{-iE_g t}e^{-\frac i2 \int_t^\infty (\mathbf p+\mathbf A(\tau))^2\text d\tau}⟨\mathbf p+\mathbf A(t)|V_L|g⟩$$ y puedes integrarlo para obtener $$b(\mathbf p,\infty)=⟨\mathbf p|\psi(\infty)⟩ =-i\int_{-\infty}^\infty\text dt e^{iI_p t}e^{+\frac i2 \int^t_\infty (\mathbf p+\mathbf A(\tau))^2\text d\tau}⟨\mathbf p+\mathbf A(t)|V_L(t)|g⟩$$ Ahora, esta integral está perfectamente bien y se puede hacer numéricamente si es necesario, pero hacerlo es bastante doloroso porque es altamente oscilatorio. Un ejemplo típico se ve así:

^{(Los parámetros razonables son$E_0=0.05$,$\omega=0.055$y$I_p=0.5$en unidades atómicas. Esto es para$p_{||}=1$más de 3/2 de un ciclo de láser).}

Esto es malo porque necesita una precisión muy alta en cada uno de los lóbulos positivo y negativo del integrando para obtener solo una precisión mediocre en su diferencia, por lo que incluso en esta versión simplificada el problema es numéricamente difícil. Este comportamiento oscilatorio es impulsado por el hecho de que el$e^{iI_p t}$El término oscila mucho más rápido que las escalas de tiempo del ciclo láser (~$2\pi/\omega$) en el que tiene lugar la integración.

La forma de salir de esto es usar el método del punto de silla, que es donde entran los tiempos complejos. La idea es deformar el contorno de integración en el plano complejo para buscar algo que sea numéricamente mejor, convirtiendo el exponencial imaginario oscilante en bonitas exponenciales reales decrecientes. Si esto se hace lo suficientemente bien, uno puede incluso omitir la integración por completo y simplemente usar las contribuciones de la parte superior de los baches de tipo gaussiano resultantes.

La manera de hacer esto es buscar tiempos$t_s$donde la derivada del exponente se anula:

$$0=\frac d{dt}\left[I_p t+\frac 12 \int^t_\infty (\mathbf p+\mathbf A(\tau))^2\text d\tau\right]_{t_s}=I_p+\frac12(\mathbf p+\mathbf A(t_s))^2.$$ Evidentemente, esto no puede suceder en tiempos reales, por lo que necesita un punto de silla de montar complejo para que funcione.

La expresión final para la amplitud de ionización, entonces, es de la forma

$$b(\mathbf p,\infty)=-i\sum_j\sqrt{\frac{2\pi}{i\mathbf(\mathbf p+\mathbf A(t_s^{(j)}))·\mathbf E(t_s^{(j)})}} e^{-\frac i2 \int_{t_s^{(j)}}^\infty (\mathbf p+\mathbf A(\tau))^2\text d\tau}⟨\mathbf p+\mathbf A(t_s^{(j)})|V_L(t_s^{(j)})|g⟩e^{iI_p t_s^{(j)}},$$ donde suma todos los puntos de silla relevantes, generalmente uno para cada máximo de campo.

El resultado de todo esto es que la amplitud de ionización ahora se puede entender intuitivamente en una imagen semiclásica:

• El electrón se sienta felizmente en el estado fundamental, fase de acumulación, hasta el momento del punto de silla.$t_s$, y acumula una fase$e^{iI_p t_s}$hasta entonces.

• El tiempo del punto de silla se interpreta fácilmente como el tiempo de ionización, en el cual el electrón hace una transición dipolar al estado continuo.$|\mathbf p+\mathbf A(t_s)⟩$, con una amplitud de transición

  $$\sqrt{\frac{2\pi}{i\mathbf(\mathbf p+\mathbf A(t_s))·\mathbf E(t_s)}} ⟨\mathbf p+\mathbf A(t_s)|V_L(t_s)|g⟩.$$

• Después de eso, el electrón queda libre en el campo láser y continúa acumulando la fase.$e^{-\frac i2 \int_{t_s}^\infty (\mathbf p+\mathbf A(\tau))^2\text d\tau}$.

Aún mejor, una vez que se libera, el electrón simplemente se aleja del origen a lo largo de la trayectoria semiclásica.

$$\mathbf r_\text{cl}(t)=\int_{t_s}^t (\mathbf p+\mathbf A(\tau))\,\text d\tau.$$

Así que todo está bonito y brillante, y funciona perfectamente, excepto que... la barrera ha desaparecido misteriosamente. Aunque se trata de un problema de tunelización, el electrón parece simplemente pasar por alto la región donde debería estar la barrera.

La solución es exactamente lo que describe en la pregunta: en el momento del túnel$t_s$, y durante algún tiempo después, la energía cinética$\tfrac12(\mathbf p+\mathbf A(t))^2$es negativo (e igual a$-I_p$a$t_s$sí mismo), lo que significa que la velocidad es imaginaria, pero el tiempo también es imaginario y los dos se combinan para hacer un desplazamiento (en su mayoría) real. Una vez que el tiempo llega al eje real, esencialmente estás fuera de la barrera.

Una cosa a tener en cuenta es que cuando digo "fase" en los puntos anteriores, en su mayoría estoy mintiendo entre dientes. Porque el tiempo del punto de silla$t_s$es complejo, las 'fases'$e^{iI_p t_s}$y$e^{-\frac i2 \int_{t_s}^\infty (\mathbf p+\mathbf A(\tau))^2\text d\tau}$no son exponenciales puramente complejos, por lo que sus exponentes tienen partes reales considerables y negativas, lo que los hace muy pequeños en valor absoluto. Aquí es donde la improbabilidad de la formación de túneles se expresa en este formalismo y el principal factor de control de la tasa de ionización.

Ahora, como se ha señalado en los comentarios, este uso del tiempo complejo definitivamente puede verse simplemente como un truco matemático, sin ningún significado físico. Este es ciertamente el punto de vista de partes de la comunidad de campo fuerte, y existe un debate saludable sobre el asunto; al menos se puede decir que no entendemos esto tan bien como nos gustaría.

Sin embargo, hay una cierta amabilidad al respecto, y parece encajar. ¿Qué significa el tiempo complejo? Si lo divides en sus partes real e imaginaria como$t_s=t_0+i\tau_T$, entonces cada uno tiene un rol separado y distinto. Si integras desde$t_s$hasta su parte real$t_0$, resulta que la posición semiclásica$\mathbf r_\text{cl}(t_0)$es en gran parte real y se encuentra justo fuera de la barrera del túnel, por lo que puede verse como el momento en que aparece en el continuo. (De hecho, uno puede hacer modelos clásicos muy exitosos simplemente tomando esto como el tiempo de ionización, ignorando la parte imaginaria de la posición semiclásica y propagando clásicamente desde allí).

la parte imaginaria$\tau_T$, por otro lado, aparece directamente en las amplitudes de ionización, y está bien identificado como el 'tiempo pasado bajo la barrera' si tal cosa tiene sentido. Por ejemplo, la distribución del momento transversal después de la ionización es de la forma$e^{-\tfrac12\tau_T p_\perp^2}$, que se relaciona muy bien con el hecho de que tomar prestada una energía extra$\tfrac12p_\perp^2$por un tiempo$\tau_T$hará que el proceso sea menos probable por el producto de los dos. Las dos patas del contorno de integración, desde$t_s$a$t_0$y de allí a través del eje real, tienen interpretaciones muy intuitivas como 'debajo de la barrera' y 'fuera de la barrera'

Sin embargo, es importante tener en cuenta que una vez que entras en el plano complejo, el tiempo se convierte en un concepto mucho más complicado. La misma libertad de elección de contorno que le permite elegir un punto de silla complejo también hace que cualquier contorno entre$t_s$y el tiempo de detección final en$t=\infty$válido. Esto se mantiene esencialmente cada vez que entras en tiempos complejos, y hace que las órbitas cuánticas sean un poco difíciles de entender.

Me detendré aquí, pero espero que esto sea suficiente para mostrar que, dejando de lado las preguntas sobre su realidad física, el tiempo complejo es de hecho una herramienta importante y útil para tratar los problemas de túneles.

Sí, la tunelización cuántica en el potencial de doble pozo se puede resolver en una formulación euclidiana rotada por mecha

$$S_E[x]~=~\int \! dt_E \left[ \frac{1}{2}\left(\frac{dx}{dt_E}\right)^2 - (-V) \right],$$

ver, por ejemplo, Ref 1. Aquí$t_E=it_M$denota el tiempo euclidiano. La acción euclidiana se interpreta a su vez como el término cinético menos potencial habitual con un potencial$-V$. ¡Así, el pozo doble se convierte en una colina doble sin una región clásicamente prohibida en el medio! Las soluciones no triviales se llaman instantones .

Otro enfoque utiliza métodos WKB semiclásicos en el TISE . Por supuesto, no hay un tiempo imaginario en el TISE, pero hay números de onda imaginarios en la región clásicamente prohibida, cf. por ejemplo, ref. 2 y 3.

Referencias:

1. S. Coleman, Aspectos de simetría, Sección 7.2.

2. D. Griffiths, Introducción a QM, Capítulo 8.

3. A. Galindo & P. ​​Pascual, QM2, Capítulo 9.

En mecánica cuántica, la velocidad no es un concepto fácil. Aquí el movimiento de partículas es reemplazado por una onda. Momentum, es más fácil de definir en la mecánica cuántica. Una onda compleja$\exp(ikx)$describe una partícula con momento$p=\hbar k$dónde$\hbar$es la constante de Planck dividida por$2\pi$. Es fundamental en la mecánica cuántica que el momento no pueda definirse estrictamente localmente, es decir, en un punto y su vecindad. Sin embargo, puede dar una visión aproximada de la física para hacerlo.

En la región CE, cerca de C, la onda típicamente se puede describir por$f(x)\exp(-\kappa (x)x)$, dónde$f(x)$es una amplitud que varía lentamente. Entonces, la exponencial corresponde a poner$k = -i\kappa$por lo tanto, el impulso local aproximado$p=\hbar k$se vuelve imaginario. Así que no estás muy lejos de esta descripción cuando afirmaste que la velocidad$v=p/m$se vuelve imaginario.

Hay muchas maneras de describir el mismo proceso. Como habrás leído. también hay descripciones aproximadas de túneles mecánicos cuánticos que utilizan el tiempo imaginario para su descripción. Por lo que sé, tales descripciones comienzan con la descripción de la integral de trayectoria de la mecánica cuántica, que se aproxima mediante la aproximación de fase estacionaria. Esto da una descripción bastante cercana a la mecánica clásica. En este contexto, uno podría describir el túnel dejando que el tiempo se vuelva imaginario.