¿Puede la Relatividad General indicar variaciones dependientes de la fase en la aceleración orbital planetaria?

Como no tengo el libro de Walter, no estoy seguro del contexto de la derivación de la ecuación que cita. Por lo tanto, simplemente lo he vuelto a derivar aquí; disculpas si hay alguna repetición de cosas que ya sabes, pero tal vez sea útil para cualquier otra persona que lea esto de todos modos.

constantes de movimiento

La solución de Schwarzschild es la única solución de vacío esféricamente simétrica no trivial de la relatividad general. En el gráfico de coordenadas de Schwarzschild y las unidades de$G = c = 1$, la métrica toma la forma

$$\mathrm{d}s^2 = -\left(1-\frac{2M}{r}\right)\mathrm{d}t^2 + \left(1-\frac{2M}{r}\right)\mathrm{d}r^2 + r^2\left(\mathrm{d}\theta^2 + \sin^2\theta\,\mathrm{d}\phi^2\right)\text{,}$$ y uno puede notar inmediatamente que los coeficientes métricos son completamente independientes de $t$y $\phi$, lo que implica que $\partial_t$y $\partial_\phi$están matando campos de vectores . Son importantes aquí porque además de generar simetrías de la geometría, también producen cantidades orbitales conservadas de la siguiente manera: dada una órbita con cuatro velocidades $u^\mu = (\dot{t},\dot{r},\dot{\theta},\dot{\phi})$, se conserva el producto interno con un campo vectorial Killing: $$\epsilon = -\langle\partial_t,u\rangle = \left(1-\frac{2M}{r}\right)\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}\text{,}$$ $$h = \langle\partial_\phi,u\rangle = r^2\sin^2\theta\,\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}\tau}\text{.}$$ El sobrepunto indica diferenciación con respecto a cualquier parámetro afín de la órbita, que para geodésicas temporales apropiadas para partículas masivas podemos tomar sin pérdida de generalidad como el tiempo adecuado $\tau$. Una forma alternativa de encontrar estas constantes de movimiento es integrar el $t$y $\phi$componentes de la ecuación geodésica, pero de esta manera pueden leerse inmediatamente de la métrica. Estos son la energía específica y el momento angular específico de la órbita, respectivamente. También tenga en cuenta que las coordenadas son análogas a las coordenadas esféricas del espacio euclidiano, donde $\theta$es el ángulo cenital mientras $\phi$es el acimut; si tomamos el plano orbital como el plano ecuatorial ( $\theta = \pi/2$), después $\phi$representaría la verdadera anomalía.

Potencial Efectivo

Sustituyendo las constantes de movimiento anteriores en la condición de línea de tiempo similar al tiempo$\langle u,u\rangle \equiv g_{\mu\nu} u^\mu u^\nu = -1$, es decir,

$$-\left(1-\frac{2M}{r}\right)\dot{t}^2 + \left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1}\dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2 = -1\text{,}$$ uno puede derivar inmediatamente el potencial gravitacional efectivo: $$\frac{1}{2}(\epsilon^2-1) = \frac{1}{2}\dot{r}^2 + \underbrace{\left[-\frac{M}{r}+\frac{h^2}{2r^2} - \frac{Mh^2}{r^3}\right]}_{V_\text{eff}}\text{,}$$ o si se insiste en una comparación formal con el potencial efectivo newtoniano ( $L\equiv mh$), $$E = \underbrace{\frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{L^2}{2mr^2} - \frac{GMm}{r}}_{\text{Newtonian form}} - \frac{GML^2}{mr^3c^2}\text{.}$$

Ecuación de la órbita

La diferenciación del potencial efectivo anterior da

$$\ddot{r} + \frac{M}{r^2} - \frac{h^2}{r^3} + 3\frac{Mh^2}{r^4} = 0\text{.}$$ En términos de $u \equiv 1/r$con prima que denota diferenciación con respecto a $\phi$, $$u''= \frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}\phi}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\left(\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}\phi}\dot{u}\right) = \frac{r^2}{h}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\left(\frac{r^2}{h}\left(-r^{-2}\dot{r}\right)\right) = -\frac{\ddot{r}r^2}{h^2}\text{,}$$ esto da, después de la multiplicación por $-r^2/h^2$, $$u'' + u = \frac{M}{h^2} + 3Mu^2\text{.}$$ Sin embargo, en realidad no hay necesidad de considerar un segundo orden en ningún momento; hay uno más simple en términos de $V \equiv V_\text{eff} - h^2/2r^2$, el potencial efectivo sin el término potencial centrífugo: $$\begin{eqnarray*} \frac{2}{h^2}\left[\frac{E}{m}-V\right] &=& \frac{\dot{r}^2}{h^2} + \frac{1}{r^2} \\&=& \frac{1}{r^4}\left[\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\phi}\right]^2 + u^2 \\&=& (u')^2 + u^2\text{.} \end{eqnarray*}$$

Walter derivó una relación aproximada asumiendo una órbita circular. Goldstein se centró en derivar una expresión promedio de la órbita para la precesión del perihelio. Al volver a examinar estos textos, me parece que GR proporciona algo más que una aproximación promediada en órbita. ... Walter presenta la siguiente ecuación para una órbita GR (modelo de Schwarzschild)

$$u''_\theta + u_\theta =\frac{\mu}{h^2} + \frac{3\mu}{c^2}\,u_\theta^2$$

Uno puede ver inmediatamente que la ecuación de Walter es la ecuación de segundo orden anterior, solo en unidades normales en lugar de$G = c = 1$. No sé cuál es el argumento de Walter (apuesto a que la aproximación se debe a que Walter sustituyó un caso de órbita circular por$L^2$o$h^2$en algún lugar), pero esa relación particular se mantiene exactamente para las partículas de prueba masivas en el espacio-tiempo de Schwarzschild. Ni siquiera tiene que ser una órbita limitada, aunque, por supuesto, si uno está interesado específicamente en la precesión, tendría que ser al menos un límite para que la precesión tenga sentido. Las geodésicas similares a la luz se describen casi con la misma ecuación, solo que sin la$M/h^2$término.

Además, también podemos reformularlo como

$$u'' + u = \frac{M}{h^2}\left[1 + 3\frac{h^2}{r^2}\right] \leadsto \frac{\mu}{h^2}\left[1+3\frac{h^2}{r^2c^2}\right]\text{,}$$ que después de la sustitución de $V_t\equiv r\dot{\phi} = h/r$es lo que tienes

Conclusión

... por lo que una forma alternativa, más apetecible y dependiente de la distancia de la relación de aceleraciones ... sería: -

$$1\;\text{to}\;\frac {3 h^2}{c^2 \, r_\theta^2}\text{.}$$ Las ecuaciones de GR/Schwarzschild se relacionan con el tiempo propio y la distancia radial de Schwarzschild, no con sus equivalentes newtonianos, por lo que estrictamente la relación de aceleraciones sigue siendo una aproximación.

¿Este análisis es válido o me he perdido algo?

Es válido en su mayor parte, pero me gustaría que te advirtiera sobre varios puntos con respecto a la forma en que planteas el problema e interpretas el resultado, aunque probablemente ya estés al tanto de algunos de ellos:

1. La coordenada de tiempo de Schwarzschild$t$es bastante diferente del momento adecuado$\tau$. La primera es una coordenada especial en la que la geometría de Schwarzschild es independiente del tiempo. Define las líneas de mundo de una familia de observadores que son estacionarios con respecto a la geometría, y su escala coincide con un observador estacionario en el infinito. Por otro lado, el tiempo propio es simplemente el tiempo medido a lo largo de alguna línea de tiempo particular; en este contexto, por la partícula de prueba en órbita.

2. La coordenada radial de Schwarzschild$r$no es una distancia radial. Podría llamarse radio de área en el sentido de que se elige para hacer una esfera de constante$r$tiene un área de exactamente$4\pi r^2$, pero por lo general se denomina simplemente coordenada radial de Schwarzschild . En el gráfico de coordenadas de Schwarzschild, la distancia radial entre las coordenadas radiales de Schwarzschild$r = r_0$y$r = r_1$sería dado por

   $$D = \int_{r_0}^{r_1}\frac{\mathrm{d}r}{\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}}}\text{,}$$ y sería la distancia que uno mediría si uno se arrastrara lentamente a lo largo de la dirección radial desde$r = r_0$a$r = r_1$con alguna vara de metro ideal, en el límite de velocidad cero. Por supuesto,$r$podría servir como una aproximación a la distancia radial en contextos apropiados, pero el punto es que no solo$r$no es la distancia radial newtoniana, tampoco es en realidad la ' distancia radial de Schwarzschild '.

3. Aceleración es una palabra un poco cargada aquí. Si nos referimos a la segunda derivada de nuestra coordenada radial con respecto al tiempo propio, entonces no,$\ddot{r}_\text{GTR}/\ddot{r}_\text{Newtonian}$no simplifica tan bien, pero de todos modos lo calcula a partir de lo anterior. Por otro lado, si nos referimos a la segunda derivada de la coordenada radial inversa con respecto al ángulo azimutal, entonces sí, lo anterior correcto.

Pero entonces, realmente no tiene sentido llamarlo 'aceleración', ¿verdad? Esto explica (si su pregunta anterior era correcta en esta frase) por qué Walter usa un término más vago de 'efectos' cuando habla de la proporción anterior.

En cambio (una vez más usando la fusión intencional entre$r$,$\tau$y sus contrapartes newtonianas como una aproximación o analogía), probablemente sería mejor simplemente pensar en la geometría de Schwarzschild como la introducción de un nuevo término en el potencial que es análogo a un momento cuadripolar, que también pondría un$\propto 1/r^3$término en el potencial, siendo la ecuación newtoniana correspondiente

$$(u')^2 + u^2 = \frac{2}{h^2}\left(\frac{E}{m} - \Phi(u)\right)\text{.}$$ Tanto el potencial efectivo como la ecuación de primer orden en $u$proporcionar una analogía mucho más directa entre los casos de Newton y Schwarzschild.

Esto es bastante interesante: si se supone que el Sol tiene un momento cuadripolar, por ejemplo, causado por el achatamiento solar, entonces se puede explicar fácilmente el avance del perihelio de Mercurio. Sin embargo, debido a que esto es simplemente una analogía, culpar al comportamiento de Mercurio a esto simultáneamente estropearía el comportamiento de otros planetas (ya que el nuevo término depende del momento angular orbital) y sería aún más inconsistente para las órbitas fuera del plano ecuatorial (ya que el achatamiento real debería tienen el término cuadrupolo dependiente del ángulo cenital, mientras que GTR no lo es).

También es posible pensar en la propia geometría de Schwarzschild como un campo escalar, que podemos descomponer de manera similar en componentes armónicos esféricos. Naturalmente, como la mayoría de las anteriores, esta peculiaridad es específica de la bondad del vacío esféricamente simétrico.

Shahid-Saless (Colorado) y Yeomans (JPL) presentan una expresión alternativa para la aceleración adicional (supra-newtoniana, relativista) (traída a mi atención por el usuario /u/uhoh) en su artículo de 1994 en Astronomical Journal: Relativistic Effects sobre el movimiento de asteroides y cometas .

Su ecuación 3.11 para la aceleración newtoniana + relativista de un solo cuerpo objetivo que orbita alrededor del Sol es la siguiente:

$$\frac{d^2 \textbf{r}}{c^2dt^2} = \frac{-\mu}{r^3}\textbf{r} + \frac{\mu}{r^3} \left[ \left(4\frac{\mu}{r}-\frac{v^2}{c^2}\right)\textbf{r} + 4 \frac{(\textbf{r}\textbf{.v})\textbf{v}}{c^2}\right]$$ donde

$\textbf{r}$es el vector de posición instantáneo del cuerpo objetivo en relación con el Sol,

$\textbf{v}$es el vector de velocidad instantánea del cuerpo objetivo en relación con el Sol,

$c$es la velocidad de la luz,

$\mu = GM/c^2$es el radio gravitacional del sol de Schwartzschild,

$G$es la constante gravitatoria universal,

$M$es la masa (posnewtoniana) del Sol,

$\frac{-\mu}{r^3}$el primer término en el lado derecho es la aceleración radial newtoniana con el signo negativo que indica aceleración hacia la fuente.

Los autores presentan una derivación de la ecuación (que está más allá de mi experiencia). También lo usan para derivar una expresión para$\delta \omega$la cantidad (en radianes) de rotación de la línea de ábsides por completo ($2\pi$radianes) revolución orbital:-

$$\delta\omega = \frac{6\pi\mu}{a(1-e^2)} \equiv \frac{6\pi GM}{c^2 a(1-e^2)} \equiv \frac{24\pi^3 a^2}{T^2c^2 (1-e^2)}$$

donde$a$es semi-eje mayor de la órbita,$e$es la excentricidad de la órbita, y$T$es el período de la órbita.

La versión más a la derecha es idéntica a la ecuación de Einstein de 1915 presentada en la pregunta.

Cabe señalar que la ecuación 3.11 de Shahid-Salless & Yeomans indica que cuando$\textbf{v}$no es perpendicular a$\textbf{r}$una parte de la aceleración no newtoniana estará dirigida en la dirección transversal a la dirección radial.

Tenga en cuenta que se aplican advertencias cuando se mueve entre un modelo relativista general del espacio-tiempo y un modelo euclidiano-galileano; consulte la respuesta de Stan Liou y el artículo de Shahid-Saless & Yeomans.