Determinación del efecto de la pequeña fuerza variable en la precesión del perihelio planetario

Es posible que desee utilizar la teoría de la perturbación . Esto solo le da una respuesta aproximada , pero permite un tratamiento analítico. Su fuerza se considera una pequeña perturbación de la órbita elíptica de Kepler y las ecuaciones de movimiento resultantes se expanden en potencias de$K$. Para la teoría de la perturbación lineal, solo los términos lineales en$K$se retienen. Esto simplemente lleva a integrar la perturbación a lo largo de la órbita original no perturbada. Escribiendo tu fuerza como un vector, la aceleración perturbadora es

$$\boldsymbol{a} = K \frac{GM}{r^2c^2}v_r\boldsymbol{v}_t$$ con $v_r=\boldsymbol{v}{\cdot}\hat{\boldsymbol{r}}$la velocidad radial ( $\boldsymbol{v}\equiv\dot{\boldsymbol{r}}$) y $\boldsymbol{v}_t=(\boldsymbol{v}-\hat{\boldsymbol{r}}(\boldsymbol{v}{\cdot}\hat{\boldsymbol{r}}))$el componente rotacional de la velocidad (la velocidad total menos la velocidad radial). Aquí, el punto de arriba denota una derivada del tiempo y un sombrero el vector unitario.

Ahora, depende de lo que entiendas por ' efecto '. Resolvamos los cambios del semieje orbital mayor$a$, excentricidad$e$y la dirección del periapse.

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Para resumir los resultados a continuación : el semieje mayor y la excentricidad no cambian, pero la dirección del periapse gira en el plano de la órbita a una velocidad

$$\omega=\Omega \frac{v_c^2}{c^2} \frac{K}{1-e^2},$$ dónde $\Omega$es la frecuencia orbital y $v_c=\Omega a$con $a$el eje semi-mayor. Tenga en cuenta que (por $K=3$) esto concuerda con la tasa de precesión de la relatividad general (GR) en el orden $v_c^2/c^2$(dado por Einstein 1915 pero no mencionado en la pregunta original).

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cambio de semieje mayor

De la relación$a=-GM/2E$(con$E=\frac{1}{2}\boldsymbol{v}^2-GMr^{-1}$la energía orbital) tenemos para el cambio de$a$debido a una aceleración externa (no Kepleriana)

$$\dot{a}=\frac{2a^2}{GM}\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a}.$$ insertando $\boldsymbol{a}$(tenga en cuenta que $\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{v}_t=h^2/r^2$con vector de momento angular $\boldsymbol{h}\equiv\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}$), obtenemos $$\dot{a}=\frac{2a^2Kh^2}{c^2}\frac{v_r}{r^4}.$$ Dado que el promedio de la órbita $\langle v_r f(r)\rangle=0$para cualquier función $f$(vea abajo), $\langle\dot{a}\rangle=0$.

cambio de excentricidad

Desde$\boldsymbol{h}^2=(1-e^2)GMa$, encontramos

$$e\dot{e}=-\frac{\boldsymbol{h}{\cdot}\dot{\boldsymbol{h}}}{GMa}+\frac{h^2\dot{a}}{2GMa^2}.$$ eso ya lo sabemos $\langle\dot{a}\rangle=0$, por lo que solo es necesario considerar el primer término. Por lo tanto, $$e\dot{e}=-\frac{(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}){\cdot}(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{a})}{GMa} =-\frac{r^2\;\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a}}{GMa} =-\frac{Kh^2}{ac^2}\frac{v_r}{r^2},$$ donde he usado la identidad $(\boldsymbol{a}\wedge\boldsymbol{b}){\cdot}(\boldsymbol{c}\wedge\boldsymbol{d}) =\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{c}\;\boldsymbol{b}{\cdot}\boldsymbol{d}- \boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{d}\;\boldsymbol{b}{\cdot}\boldsymbol{c}$y el hecho $\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{a}_p=0$. De nuevo $\langle v_r/r^2\rangle=0$y por lo tanto $\langle\dot{e}\rangle=0$.

cambio de dirección del periapse

El vector de excentricidad $\boldsymbol{e}\equiv\boldsymbol{v}\wedge\boldsymbol{h}/GM - \hat{\boldsymbol{r}}$puntos (desde el centro de gravedad) en la dirección del periapse, tiene magnitud$e$, y se conserva bajo el movimiento kepleriano (¡valide todo eso como ejercicio!). De esta definición encontramos su cambio instantáneo debido a la aceleración externa

$$\dot{\boldsymbol{e}}= \frac{\boldsymbol{a}\wedge(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}) +\boldsymbol{v}\wedge(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{a})}{GM} =\frac{2(\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a})\boldsymbol{r} -(\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{v})\boldsymbol{a}}{GM} =\frac{2K}{c^2}\frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4} -\frac{K}{c^2}\frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}$$ donde he usado la identidad $\boldsymbol{a}\wedge(\boldsymbol{b}\wedge\boldsymbol{c})=(\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{c})\boldsymbol{b}-(\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{b})\boldsymbol{c}$y el hecho $\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{a}=0$. Los promedios de órbita de estas expresiones se consideran en el apéndice a continuación. Si finalmente ponemos todo junto, obtenemos $\dot{\boldsymbol{e}}=\boldsymbol{\omega}\wedge\boldsymbol{e}$con [ corregido de nuevo ] $$\boldsymbol{\omega}=\Omega K \frac{v_c^2}{c^2} (1-e^2)^{-1}\, \hat{\boldsymbol{h}}.$$ Esta es una rotación del periapse en el plano de la órbita con frecuencia angular $\omega=|\boldsymbol{\omega}|$. En particular $\langle e\dot{e}\rangle=\langle\boldsymbol{e}{\cdot}\dot{\boldsymbol{e}}\rangle=0$de acuerdo con nuestro hallazgo anterior.

No olvide que debido a nuestro uso de la teoría de la perturbación de primer orden, estos resultados solo son estrictamente ciertos en el límite$K(v_c/c)^2\to0$. En la teoría de la perturbación de segundo orden, sin embargo, tanto$a$y/o$e$podría cambiar. En sus experimentos numéricos, debe encontrar que los cambios promedio de órbita de$a$y$e$son cero o escalan más fuertes que lineales con amplitud de perturbación$K$.

descargo de responsabilidad No hay garantía de que el álgebra sea correcta. ¡Revisalo!

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Apéndice: promedios de órbita

Promedios de órbita de$v_rf(r)$con una función arbitraria (pero integrable)$f(r)$se puede calcular directamente para cualquier tipo de órbita periódica. Dejar$F(r)$sea ​​la antiderivada de$f(r)$, es decir$F'\!=f$, entonces el promedio de la órbita es:

$$\langle v_r f(r)\rangle = \frac{1}{T}\int_0^T v_r(t)\,f\!\left(r(t)\right) \mathrm{d}t = \frac{1}{T} \left[F\left(r(t)\right)\right]_0^T = 0$$ con $T$el periodo orbital.

Para los promedios de órbita requeridos en$\langle\dot{\boldsymbol{e}}\rangle$, debemos profundizar un poco más. Para una órbita elíptica Kepleriana

$$\boldsymbol{r}=a\left((\cos\eta-e)\hat{\boldsymbol{e}}+\sqrt{1-e^2}\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{k}}\right)\qquad\text{and}\qquad r=a(1-e\cos\eta)$$ con vector de excentricidad $\boldsymbol{e}$y $\hat{\boldsymbol{k}}\equiv\hat{\boldsymbol{h}}\wedge\hat{\boldsymbol{e}}$un vector perpendicular a $\boldsymbol{e}$y $\boldsymbol{h}$. Aquí, $\eta$es la anomalía excéntrica, que está relacionada con la anomalía media $\ell$a través de $\ell=\eta-e\sin\eta,$tal que $\mathrm{d}\ell=(1-e\cos\eta)\mathrm{d}\eta$y un promedio de órbita se convierte en $$\langle\cdot\rangle = (2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}\cdot\;\mathrm{d}\ell = (2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}\cdot\;(1-e\cos\eta)\mathrm{d}\eta.$$ Tomando la derivada del tiempo (tenga en cuenta que $\dot{\ell}=\Omega=\sqrt{GM/a^3}$la frecuencia orbital) de $\boldsymbol{r}$, encontramos para la velocidad orbital instantánea (sin perturbaciones) $$\boldsymbol{v}=v_c\frac{\sqrt{1-e^2}\cos\eta\,\hat{\boldsymbol{k}}-\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{e}}}{1-e\cos\eta}$$ donde he presentado $v_c\equiv\Omega a=\sqrt{GM/a}$, la velocidad de la órbita circular con semieje mayor $a$. A partir de esto, encontramos la velocidad radial $v_r=\hat{\boldsymbol{r}}{\cdot}\boldsymbol{v}=v_c e\sin\eta(1-e\cos\eta)^{-1}$y la velocidad de rotacion $$\boldsymbol{v}_t = v_c\frac{\sqrt{1-e^2}(\cos\eta-e)\,\hat{\boldsymbol{k}}-(1-e^2)\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{e}}}{(1-e\cos\eta)^2}.$$

Con estos, hemos [ corregido de nuevo ]

$$\left\langle \frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4}\right\rangle = \Omega v_c^2\,\hat{\boldsymbol{k}}\, \frac{e(1-e^2)^{3/2}}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\sin^2\!\eta}{(1-e\cos\eta)^4}\mathrm{d}\eta =\frac{\Omega v_c^2e}{2(1-e^2)}\hat{\boldsymbol{k}} \\ \left\langle \frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}\right\rangle = \Omega v_c^2\, \hat{\boldsymbol{k}}\, \frac{e^2(1-e^2)^{1/2}}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\sin^2\!\eta(\cos\eta-e)}{(1-e\cos\eta)^4}\mathrm{d}\eta=0,$$ en particular, los componentes en dirección $\hat{\boldsymbol{e}}$promedio a cero. Así [ corregido de nuevo ] $$\left\langle 2\frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4}-\frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}\right\rangle =\frac{\Omega v_c^2e\,\hat{\boldsymbol{k}}}{(1-e^2)}$$