¿Cuál es la aceleración coordinada para el movimiento radial puro?

Question

¿Cuál es la aceleración coordinada para el movimiento radial puro?

Agerhell

Como se ve en esta respuesta y también en este libro , capítulo 6, página 6-10, expresión 22, cuando caes radialmente desde el reposo en el infinito, tu velocidad en el tiempo coordinado, como se ve desde un observador distante, puede describirse mediante la expresión:

\frac{d r}{d t} = - (1 - \frac{r_{s}}{r}) {(\frac{r_{s}}{r})}^{1 / 2} C

$\frac{dr}{dt} = -\left(1 - \frac{r_s}{r}\right)\left(\frac{r_s}{r}\right)^{1/2}c$

Si suponemos " $r$ ” para ser la distancia radial real y no solo el ”parámetro r de las coordenadas de Schwarzschild” esta es la velocidad $v$ . Quiero saber la expresión de la aceleración en función de ” $r$ " y " $v$ ” para un pequeño objeto de masa $m<<M$ moviéndose puramente radialmente hacia adentro o hacia afuera desde una distribución de masa compacta esféricamente simétrica en el caso general.

Tomando la derivada con respecto a "r" de la expresión anterior obtengo:

\frac{d v}{d r} = \frac{0.5}{r} \sqrt{\frac{r_{s}}{r}} (1 - \frac{3 r_{s}}{r}) C

$\frac{dv}{dr}=\frac{0.5}{r}{\sqrt{\frac{r_s}{r}}(1-\frac{3r_s}{r})}c$

De estas dos expresiones vemos que la velocidad máxima es $v=\frac{2}{3\sqrt{3}}c$ en $r=3r_s$ . A partir de este hallazgo, $\frac{dv}{dt}$ no debería ser tan difícil, pero esto no será una expresión general, sino solo la aceleración de algo que se deja caer desde el reposo en el infinito. En las coordenadas de Schwarzschild, la velocidad radial de la luz es como $v_{light}=c(1-r_s/r)$ . En $r=3r_s$ esto se convierte $v_{light}=2c/3$ entonces, al caer desde el reposo en el infinito, alcanza la velocidad máxima cuando $v/v_{light}=1/\sqrt{3}$ . Tal vez puedas decir que la gravitación se vuelve repulsiva cuando viajas hacia el centro del campo gravitacional más rápido que $1/\sqrt{3}$ veces la velocidad local de la luz?

Pregunta : ¿Qué aspecto tiene la expresión general para la aceleración de un objeto en el tiempo coordinado para un objeto que se mueve puramente radialmente hacia adentro/hacia afuera desde el centro del campo gravitatorio, suponiendo una distribución de masa esféricamente simétrica sin giro y que el parámetro r de las coordenadas de Schwarzschild es la distancia física real?

Estoy buscando una expresión para la aceleración instantánea en función de "r" y "v".

Sé que en los campos débiles de nuestro sistema solar, la NASA/JPL están usando esta expresión para calcular la aceleración newtoniana más la relativista:

\frac{d \bar{v}}{d t} = - \frac{GRAMO METRO}{r^{2}} (1 - \frac{4 GRAMO METRO}{r C^{2}} + \frac{v^{2}}{C^{2}}) \hat{r} + \frac{4 GRAMO METRO}{r^{2}} (\hat{r} \cdot \hat{v}) \frac{v^{2}}{C^{2}} \hat{v}

$\frac{d\bar{v}}{dt}=-\frac{GM}{r^2}\left(1-\frac{4GM}{rc^2}+\frac{v^2}{c^2}\right)\hat{r} +\frac{4GM}{r^2}\left(\hat{r}\cdot \hat{v}\right)\frac{v^2}{c^2}\hat{v}$

Esto se basa en una expansión de primer orden de la solución de Schwarzshild en coordenadas isotrópicas. Para caída radial pura obtienes:

\frac{d \bar{v}}{d t} = - \frac{GRAMO METRO}{r^{2}} (1 - \frac{4 GRAMO METRO}{r C^{2}} - 3 \frac{v^{2}}{C^{2}}) \hat{r}

$\frac{d\bar{v}}{dt}=-\frac{GM}{r^2}\left(1-\frac{4GM}{rc^2}-3\frac{v^2}{c^2}\right)\hat{r}$ que se vuelve repulsivo cuando te acercas a la masa central más rápido que:

v = \frac{C}{\sqrt{3}} \sqrt{1 - \frac{4 GRAMO METRO}{r C^{2}}}

$v=\frac{c}{\sqrt{3}}\sqrt{1-\frac{4GM}{rc^2}}$

Espero una solución exacta para la aceleración radial pura en el "espacio de coordenadas de Schwarzschild" y un tiempo de coordenadas similar a la solución aproximada para la aceleración radial pura que puede obtener de la ecuación de la NASA.

Según la respuesta de amateurAstro abajo, la expresión debería ser:

\frac{d v}{d t} = - \frac{GRAMO METRO}{r^{2}} (1 - 2 \frac{v^{2}}{C^{2} (1 - \frac{2 GRAMO METRO}{r C^{2}})} - \frac{v^{2}}{C^{2} (1 - \frac{2 GRAMO METRO}{r C^{2}})^{2}})

$\frac{dv}{dt}=-\frac{GM}{r^2}\left(1-2\frac{v^2}{c^2(1-\frac{2GM}{rc^2})}-\frac{v^2}{c^2(1-\frac{2GM}{rc^2})^2}\right)$

Esto es consistente con el relleno:

γ = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{2 GRAMO METRO}{r C^{2}} - \frac{v^{2}}{C^{2} ((1 - \frac{2 GRAMO METRO}{r C^{2}}) (\hat{r} \cdot \hat{v})^{2} + | \hat{r} \times \hat{v} |^{2})}}} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{2 GRAMO METRO}{r C^{2}}}}

$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}-\frac{v^2}{c^2\left((1-\frac{2GM}{rc^2})(\hat{r}\cdot\hat{v})^2+|\hat{r}\times\hat{v}|^2\right)}}}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}}}$

en

\frac{d (metro γ \bar{v})}{d t} = - \frac{GRAMO METRO metro γ}{r^{2}}

$\frac{d(m\gamma\bar{v})}{dt}=-\frac{GMm\gamma}{r^2}$

para obtener (al menos esto es cierto para el movimiento radial puro y no radial puro):

\frac{d \bar{v}}{d t} = - \frac{GRAMO METRO}{r^{2}} (\hat{r} - 2 \frac{v^{2} (\hat{r} \cdot \hat{v}) \hat{v}}{C^{2} (1 - \frac{2 GRAMO METRO}{r C^{2}})} - \frac{v^{2} (\hat{r} \cdot \hat{v}) \hat{v}}{C^{2} (1 - \frac{2 GRAMO METRO}{r C^{2}})^{2}} ((\hat{v} \cdot \hat{r})^{2} + (1 - \frac{2 GRAMO METRO}{r C^{2}} - \frac{v^{2}}{C^{2}}) | \hat{v} \times \hat{r} |^{2}))

$\frac{d\bar{v}}{dt}=-\frac{GM}{r^2}\left(\hat{r}-2\frac{v^2(\hat{r}\cdot\hat{v})\hat{v}}{c^2(1-\frac{2GM}{rc^2})} -\frac{v^2(\hat{r}\cdot\hat{v})\hat{v}}{c^2(1-\frac{2GM}{rc^2})^2}\left((\hat{v}\cdot\hat{r})^2+(1-\frac{2GM}{rc^2}-\frac{v^2}{c^2})|\hat{v}\times\hat{r}|^2\right)\right)$ .

(Estoy tratando de encontrar un término dependiente de la velocidad que, junto con la aceleración newtoniana clásica, reproduzca exactamente las órbitas de Schwarzshild)

ProfRob

¿Puedes aclarar? La expresión que derivé a continuación es verdadera para un objeto con energía total igual a

m c^{2}

$mc^2$ . ¿Está buscando una expresión para una partícula con energía arbitraria? Y cual es la diferencia entre

\bar{v}

$\bar{v}$ y

v

$v$ ?

Agerhell

Cuando dejas caer un objeto desde una distancia radial donde la velocidad radial de la luz es 0.8c, alcanzarás la velocidad máxima más tarde. Si está "lanzando" un objeto desde el infinito hacia el campo gravitatorio, alcanzará la velocidad máxima antes. v = |

b a r_{v}

$bar_v$ |. Algunos dicen que el cambio de la coordenada r por el tiempo no es la velocidad ya que "r" no es la distancia en las coordenadas de Schwarzschild. Sí, estoy buscando una expresión para una combinación arbitraria de "r" y "dr/dt".

Agerhell

Construyendo una expresión como

\frac{d \bar{v}}{d t} = - \frac{GRAMO METRO}{r^{2}} (\hat{r} - 3 \frac{v^{2}}{C^{2} (1 - \frac{2 GRAMO METRO}{r C^{2}})^{2}} (\hat{r} \cdot \hat{v}) \hat{v})

$\frac{d\bar{v}}{dt}=-\frac{GM}{r^2}(\hat{r}-3\frac{v^2}{c^2(1-\frac{2GM}{rc^2})^2}(\hat{r}\cdot\hat{v})\hat{v})$ tendría aceleración cero para caída radial pura siempre que

v = \frac{c}{\sqrt{3}} (1 - \frac{2 G M}{r c^{2}})

$v=\frac{c}{\sqrt{3}}(1-\frac{2GM}{rc^2})$ , eso es

1 / \sqrt{3}

$1/\sqrt{3}$ multiplicado por la velocidad local de la luz, que es el punto en el que tiene aceleración cero en el caso de caída desde el infinito que describió. Esperaría que la expresión "verdadera" se pareciera a esto.

ProfRob

Todavía no lo tengo muy claro. Seguramente cualquier expresión general necesita un parámetro adicional que especifique la energía (inicial) del objeto (si es mayor que

m c^{2}

$mc^2$ ), o alternativamente, un radio desde el cual se deja caer (si es menor que

m c^{2}

$mc^2$ )? He visto tales expresiones.

Agerhell

Estoy buscando una expresión para la aceleración instantánea en función de "r" y "v". Dada la expresión correcta, uno debería poder calcular desde qué altura se dejó caer un objeto "hacia atrás".

ProfRob

Si lo veo. Si la energía es

m c^{2}

$mc^2$ la aceleración se puede escribir sólo como una función de

r

$r$ , pero eso no será cierto para el caso general.

ProfRob

Me siento obligado a completar la respuesta ahora. Estoy seguro de que puedo preparar la versión de movimiento radial...

Respuestas (2)

¿Cuál es la aceleración coordinada para el movimiento radial puro?

¿Puedes aclarar? La expresión que derivé a continuación es verdadera para un objeto con energía total igual a $mc^2$ . ¿Está buscando una expresión para una partícula con energía arbitraria? Y cual es la diferencia entre $\bar{v}$ y $v$ ?
Cuando dejas caer un objeto desde una distancia radial donde la velocidad radial de la luz es 0.8c, alcanzarás la velocidad máxima más tarde. Si está "lanzando" un objeto desde el infinito hacia el campo gravitatorio, alcanzará la velocidad máxima antes. v = | $bar_v$ |. Algunos dicen que el cambio de la coordenada r por el tiempo no es la velocidad ya que "r" no es la distancia en las coordenadas de Schwarzschild. Sí, estoy buscando una expresión para una combinación arbitraria de "r" y "dr/dt".
Construyendo una expresión como $\frac{d \bar{v}}{d t} = - \frac{GRAMO METRO}{r^{2}} (\hat{r} - 3 \frac{v^{2}}{C^{2} (1 - \frac{2 GRAMO METRO}{r C^{2}})^{2}} (\hat{r} \cdot \hat{v}) \hat{v})$ $\frac{d\bar{v}}{dt}=-\frac{GM}{r^2}(\hat{r}-3\frac{v^2}{c^2(1-\frac{2GM}{rc^2})^2}(\hat{r}\cdot\hat{v})\hat{v})$ tendría aceleración cero para caída radial pura siempre que $v=\frac{c}{\sqrt{3}}(1-\frac{2GM}{rc^2})$ , eso es $1/\sqrt{3}$ multiplicado por la velocidad local de la luz, que es el punto en el que tiene aceleración cero en el caso de caída desde el infinito que describió. Esperaría que la expresión "verdadera" se pareciera a esto.
Todavía no lo tengo muy claro. Seguramente cualquier expresión general necesita un parámetro adicional que especifique la energía (inicial) del objeto (si es mayor que $mc^2$ ), o alternativamente, un radio desde el cual se deja caer (si es menor que $mc^2$ )? He visto tales expresiones.
Estoy buscando una expresión para la aceleración instantánea en función de "r" y "v". Dada la expresión correcta, uno debería poder calcular desde qué altura se dejó caer un objeto "hacia atrás".
Si lo veo. Si la energía es $mc^2$ la aceleración se puede escribir sólo como una función de $r$ , pero eso no será cierto para el caso general.
Me siento obligado a completar la respuesta ahora. Estoy seguro de que puedo preparar la versión de movimiento radial...

aficionadoAstro · Answer 1

Como sugirió Rob Jeffries en un comentario, formular una solución para dr/dt arbitrario requiere otro parámetro, ya sea la energía por unidad de masa, E/m, o el radio del caparazón donde se dejó caer el objeto.

Un observador de conchas en $r_0$ , ve un objeto que pasa a la velocidad radial adecuada $v_0$ , con la correspondiente energía/cantidad medida en el marco local de Minkowski (usando unidades con c = G = 1)

{metro}^{2} = {mi}_{0}^{2} - {pag}_{0}^{2} = {mi}_{0}^{2} - γ_{0}^{2} {metro}^{2} v_{0}^{2}

$m^2=E_0^2-p_0^2=E_0^2-\gamma _0^2 m^2 v_0^2$

\frac{{mi}_{0}^{2}}{{metro}^{2}} = γ_{0}^{2} v_{0}^{2} + 1 = \frac{v_{0}^{2}}{1 - v_{0}^{2}} + 1 = \frac{1}{1 - v_{0}^{2}} = γ_{0}^{2}

$\frac{E_0^2}{m^2}=\gamma _0^2 v_0^2+1=\frac{v_0^2}{1-v_0^2}+1=\frac{1}{1-v_0^2}=\gamma _0^2$ donde los subíndices indican las coordenadas de shell locales. En coordenadas de Schwarzschild, la energía por unidad de masa es constante y se define como

\frac{mi}{metro} = (1 - \frac{2 METRO}{r}) \frac{d t}{d τ}

$\frac{E}{m}={ \left(1-\frac{2 M}{r}\right)}\frac{dt}{d\tau}$ De las ecuaciones 11 y 12 en la sección 6.3 del libro de Taylor, Wheeler, Bertschinger (TWB) vinculado en la pregunta original

\frac{{mi}_{0}}{metro} = {(1 - \frac{2 METRO}{r_{0}})}^{- 1 / 2} \frac{d t}{d τ}

$\frac{E_0}{m}=\left(1-\frac{2M}{r_0}\right)^{-1/2}\frac{dt}{d\tau}$

\frac{mi}{metro} = \sqrt{1 - \frac{2 METRO}{r_{0}}} \frac{{mi}_{0}}{metro} = γ_{0} \sqrt{1 - \frac{2 METRO}{r_{0}}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{2 METRO}{r_{0}}}{1 - v_{0}^{2}}}

$\frac{E}{m}=\sqrt{1-\frac{2M}{r_0}}\frac{E_0}{m}=\gamma _0 \sqrt{1-\frac{2 M}{r_0}}=\sqrt{\frac{1-\frac{2M}{r_0}}{1-v_0^2}}$ La ecuación para el movimiento radial directo hacia adentro se obtiene de la sección 8.4 de TWB, ecuación 17, al establecer el momento angular en cero y sacar la raíz negativa.

{(\frac{d r}{d τ})}^{2} = (mi / metro)^{2} - (1 - \frac{2 METRO}{r})

$\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2=(E/m)^2-\left(1-\frac{2M}{r}\right)$

\frac{d r}{d t} = \frac{d r}{d τ} \frac{d τ}{d t} = \frac{1 - \frac{2 METRO}{r}}{mi / metro} \frac{d r}{d τ}

$\frac{dr}{dt}=\frac{dr}{d\tau}\frac{d\tau}{dt}= \frac{1-\frac{2 M}{r}}{E/m}\frac{dr}{d\tau}$

\frac{d r}{d t} = - (1 - \frac{2 METRO}{r}) \sqrt{1 - \frac{1 - \frac{2 METRO}{r}}{(mi / metro)^{2}}}

$\frac{dr}{dt}=-\left(1-\frac{2M}{r}\right)\sqrt{1-\frac{1-\frac{2M}{r}}{(E/m)^2}}$ Derivando y un poco de álgebra se obtiene el siguiente resultado para la aceleración.

\frac{d^{2} r}{d t^{2}} = - \frac{2 METRO}{r^{2}} (1 - \frac{2 METRO}{r}) (1 - \frac{3}{2} \frac{1 - \frac{2 METRO}{r}}{(mi / metro)^{2}})

$\frac{d^2 r}{dt^2}=-\frac{2M}{r^2}\left(1-\frac{2 M}{r}\right) \left(1-\frac{3}{2}\frac{1-\frac{2 M}{r}}{(E/m)^2}\right)$ Estos se pueden reescribir en términos del radio de Schwarzschild

r_{s} = 2 M

$r_s=2M$ y la velocidad adecuada,

v_{0}

$v_0$ , en

r_{0}

$r_0$ .

\frac{d r}{d t} = - (1 - \frac{r_{s}}{r}) \sqrt{1 - \frac{1 - \frac{r_{s}}{r}}{(mi / metro)^{2}}} = - (1 - \frac{r_{s}}{r}) \sqrt{1 - (1 - v_{0}^{2}) \frac{1 - \frac{r_{s}}{r}}{1 - \frac{r_{s}}{r_{0}}}}

$\frac{dr}{dt}=-\left(1-\frac{r_s}{r}\right)\sqrt{1-\frac{1-\frac{r_s}{r}}{(E/m)^2}}=-\left(1-\frac{r_s}{r}\right)\sqrt{1-(1-v_0^2)\frac{1-\frac{r_s}{r}}{1-\frac{r_s}{r_0}}}$

\frac{d^{2} r}{d t^{2}} = - \frac{r_{s}}{r^{2}} (1 - \frac{r_{s}}{r}) (1 - \frac{3}{2} \frac{1 - \frac{r_{s}}{r}}{(mi / metro)^{2}}) = - \frac{r_{s}}{r^{2}} (1 - \frac{r_{s}}{r}) (1 - \frac{3}{2} (1 - v_{0}^{2}) \frac{1 - \frac{r_{s}}{r}}{1 - \frac{r_{s}}{r_{0}}})

$\frac{d^2 r}{dt^2}=-\frac{r_s}{r^2}\left(1-\frac{r_s}{r}\right) \left(1-\frac{3}{2}\frac{1-\frac{r_s}{r}}{(E/m)^2}\right) =-\frac{r_s}{r^2}\left(1-\frac{r_s}{r}\right) \left(1-\frac{3}{2}(1-v_0^2)\frac{1-\frac{r_s}{r}}{1-\frac{r_s}{r_0}}\right)$

por conocido $dr/dt$ en un radio $r$ , $E/m$ puede determinarse invirtiendo la expresión anterior para $dr/dt$ . Luego sustituye $E/m$ en la ecuación para la aceleración anterior.

(mi / metro)^{2} = \frac{(1 - r_{s} / r)^{3}}{(1 - r_{s} / r)^{2} - {(\frac{d r}{d t})}^{2}}

$(E/m)^2=\frac{(1-r_s/r)^3}{(1-r_s/r)^2-\left(\frac{dr}{dt}\right)^2}$

El enfoque alternativo, dejando caer un objeto desde el reposo en el radio $r_0$ , usa las ecuaciones 37 y 38 de la sección 6.7 de TWB, lo que resulta en

\frac{d r}{d t} = - (1 - \frac{r_{s}}{r}) \sqrt{\frac{\frac{r_{s}}{r} - \frac{r_{s}}{r_{0}}}{1 - \frac{r_{s}}{r_{0}}}}

$\frac{dr}{dt}=-\left(1-\frac{r_s}{r}\right) \sqrt{\frac{\frac{r_s}{r}-\frac{r_s}{r_0}}{1-\frac{r_s}{r_0}}}$

\frac{d^{2} r}{d t^{2}} = \frac{r_{s} (1 - \frac{r_{s}}{r})}{2 r^{2} (1 - \frac{r_{s}}{r_{0}})} (1 + \frac{2 r_{s}}{r_{0}} - \frac{3 r_{s}}{r})

$\frac{d^2 r}{dt^2}=\frac{r_s\left(1-\frac{r_s}{r}\right)} {2 r^2\left(1-\frac{r_s}{r_0}\right)} \left(1+\frac{2r_s}{r_0}-\frac{3r_s}{r}\right)$

El radio de la concha $r_0$ necesario para obtener una velocidad deseada en la cáscara $r_1$ se puede encontrar usando

\frac{{mi}_{0}}{{mi}_{1}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{r_{s}}{r_{1}}}{1 - \frac{r_{s}}{r_{0}}}} = \frac{γ_{0}}{γ_{1}}

$\frac{E_0}{E_1}=\sqrt{\frac{1-\frac{r_s}{r_1}}{1-\frac{r_s}{r_0}}} =\frac{\gamma_0}{\gamma_1}$ dónde

γ_{0} = 1

$\gamma_0=1$ para un objeto que se deja caer desde el reposo en

r_{0}

$r_0$ .

A modo de ejemplo, a continuación se muestra un gráfico utilizando $v_1=1/2$ en $r_1=2r_s$ . Para estos valores $\gamma_1=2/\sqrt{3}$ , $E/m=\sqrt{2/3}$ y $r_0=3r_s$ . Como referencia, las curvas verde y roja son la velocidad y la aceleración de las coordenadas de Schwarzchild para un objeto que se deja caer desde el reposo en el infinito, $E/m=1$ . Las curvas discontinuas azules y marrones son para un objeto que se deja caer desde el reposo en $r_0$ , y las curvas sólidas azules y marrones para un objeto lanzado desde $r_1$ con una velocidad de Schwarzschild de

{(\frac{d r}{d t})}_{r_{1}} = - (1 - \frac{r_{s}}{r_{1}}) v_{1} = \frac{1}{4}

$\left(\frac{dr}{dt}\right)_{r_1} =-\left(1-\frac{r_s}{r_1}\right)v_1 =\frac{1}{4}$ Tenga en cuenta que las curvas discontinuas están superpuestas por las sólidas de

r_{1}

$r_1$ a

r_{s}

$r_s$ , ya que las condiciones iniciales se eligieron para dar como resultado la misma velocidad en

r_{1}

$r_1$ .

ingrese la descripción de la imagen aquí

Ahora podría reescribir la expresión de la cuarta línea completa desde abajo para obtener una expresión para $r_0$ como una función de $r$ y $dr/dt$ .? si reparas $r_0$ en la expresión de la tercera línea completa desde abajo, supongo que obtienes una expresión para dv/dt como una función de $r$ y $dr/dt$ solo, sin preocuparse por la "altitud inicial de caída"?
@Agerhell, no creo que esta sugerencia funcione. Tenga en cuenta que $r_0$ en esa ecuación es una constante, elegida de modo que $dr/dt$ es un valor particular en un radio más pequeño donde el objeto se deja caer desde el reposo. No es una función de $r$ y $dr/dt$ . Si desea aceleración para un conocido $dr/dt$ en el radio $r$ , la expresión para $dr/dt$ de la primera derivación anterior se puede invertir para encontrar $E/m$ . Entonces este resultado se puede utilizar en la ecuación de aceleración. Edité mi respuesta para agregar este enfoque, según su comentario.
Siguiendo tus instrucciones logré encontrar exactamente lo que buscaba. ¡Gracias! Si lo desea, puede editar la expresión final en su respuesta para que se vea aún mejor.

ProfRob · Answer 2

Editar: este es solo el caso de caída libre desde el infinito; no es el caso general. Se necesita agregar más.

La aceleración se puede escribir como

\frac{d^{2} r}{d t^{2}} = v \frac{d v}{d r} = - (1 - \frac{r_{s}}{r}) (\frac{r_{s}}{2 r^{2}}) (1 - \frac{3 r_{s}}{r}) C^{2}

$\frac{d^2 r}{dt^2} = v \frac{dv}{dr} = -\left(1 - \frac{r_s}{r}\right)\left(\frac{r_s}{2r^2}\right){(1-\frac{3r_s}{r})}c^2$

La aceleración es negativa (es decir, $v$ se vuelve más negativo) mientras que $r>3r_s$ , cambia de signo a una "desaceleración" cuando $r<3r_s$ , alcanza un mínimo y luego aumenta a cero en $r = r_s$ (pero nunca llega allí desde $v \rightarrow 0$ ).

¿Cuál es la aceleración coordinada para el movimiento radial puro?

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