¿De dónde viene esta famosa fórmula de precesión planetaria?

Question

¿De dónde viene esta famosa fórmula de precesión planetaria?

steveow

La siguiente ecuación (que llamaré Fórmula de Precesión Planetaria, PPF para abreviar) apareció en una publicación de 1915 de Einstein donde indicó cómo podría derivarse de su Teoría General de la Relatividad (GTR).

ϵ = \frac{24 π^{3} a^{2}}{C^{2} T^{2} (1 - {mi}^{2})}

$\epsilon = \frac{24 \, \pi^3a^2}{c^2 T^2(1-e^2)}$

dónde $\epsilon$ es la precesión angular (anómala, no newtoniana) por órbita, $a$ es el semieje mayor de la órbita, $c$ es la velocidad de la luz, $T$ es el periodo orbital, $e$ es la elipticidad de la órbita.

La fórmula PPF predice con precisión la precesión (anómala, no newtoniana) de Mercurio y otros planetas solares.

La fórmula se conocía en los círculos científicos mucho antes de 1915. Por ejemplo, Gerber (1898) la derivó de su propio (ampliamente ridiculizado) modelo de gravedad. En el artículo de Internet Gerber's Gravity está escrito que

Se convirtió en una actividad bastante popular en la década de 1890 para los físicos proponer varios potenciales gravitacionales basados en una velocidad de propagación finita para explicar parte o la totalidad de la precesión orbital de Mercurio. Oppenheim publicó una revisión de estas propuestas en 1895. El resultado típico de tales propuestas es un avance predicho no newtoniano del perihelio orbital por revolución de... >

k \frac{π metro}{L C^{2}} = k \frac{4 π^{3} a^{2}}{C^{2} T^{2} (1 - {mi}^{2})} .

$k\,\frac {\pi\,m}{L \,c^2} = k \frac{4 \, \pi^3a^2}{c^2 T^2(1-e^2)}.$

dónde $L = a(1 - e^2)$ es el semi-latus rectum de una elipse, $m$ es una función de la velocidad angular $\omega$ de un planeta en órbita: $m = a^3 \omega^2$ con $\omega = 2\pi/T$ y $k$ es una constante que podría derivarse de la teoría.

claramente con $k = 6$ obtenemos la fórmula PPF dada arriba.

quisiera saber donde esta $k\pi m/Lc^2$ procede la expresión. Del artículo parece provenir del artículo de revisión de 28 páginas de Oppenheim, 1895, que se escanea aquí . Revisé los escaneos de este documento pero no encontré esa ecuación explícitamente (el documento está en alemán, que conozco muy mal, Google Translate ayuda un poco pero deja mucha ambigüedad). Puede ser que el autor anónimo del artículo haya extraído la expresión de una revisión del artículo de Oppenheim o incluso de los artículos originales (francés y alemán), pero no es posible contactarlo. ¿Quizás alguien aquí está familiarizado con esta era de la historia astrofísica y puede indicarme la dirección correcta?

Stan Liou

Interesante pregunta. Nota pedante menor: si coloca el punto dentro de los grandes entornos matemáticos, como en $$formula\text{.}$$, entonces no obtendrá un punto final solo en una sola línea.

steveow

@Stan Liou. Un buen estilo ayuda a la comunicación, así que estoy feliz de recibir tales consejos :).

Respuestas (1)

¿De dónde viene esta famosa fórmula de precesión planetaria?

Interesante pregunta. Nota pedante menor: si coloca el punto dentro de los grandes entornos matemáticos, como en $$formula\text{.}$$, entonces no obtendrá un punto final solo en una sola línea.
@Stan Liou. Un buen estilo ayuda a la comunicación, así que estoy feliz de recibir tales consejos :).

Stan Liou · Answer 1

No sé dónde se publicó por primera vez en su totalidad esa fórmula, pero Oppenheim al menos hace algo muy parecido . Primero, tenga en cuenta algunos de los símbolos relevantes en Oppenheim, aunque son bastante estándar:

\begin{array}{rcl} k & = & \sqrt{GRAMO} = Constante gravitacional gaussiana \\ ☊ & = & longitud del nodo ascendente \\ ω & = & argumento del perihelio \\ ϖ & = & ω + ☊ = longitud del perihelio \\ norte & = & k \sqrt{({metro}_{0} + {metro}_{1}) / a^{3}} = movimiento medio \end{array}

$\def\anode{☊}\begin{eqnarray*} k &=& \small\sqrt{G} = \small\text{Gaussian gravitational constant}\\ \anode &=& \small\text{longitude of the ascending node}\\ \omega &=& \small\text{argument of perihelion}\\ \varpi &=& \omega+\anode = \small\text{longitude of perihelion}\\ n &=& \small{k\sqrt{(m_0+m_1)/a^3}} = \small\text{mean motion} \end{eqnarray*}$ Podemos ver que si masajeamos la notación, la proporcionalidad que estamos buscando se establece de manera equivalente como:

\frac{π metro}{L C^{2}} ⇝ \frac{π GRAMO METRO}{a (1 - {mi}^{2}) C^{2}} ⇝ \frac{π {norte}^{2} a^{2}}{(1 - {mi}^{2}) C^{2}} .

$\frac{\pi m}{Lc^2} \leadsto \frac{\pi GM}{a(1-e^2)c^2} \leadsto \frac{\pi n^2a^2}{(1-e^2)c^2}\text{.}$ Como el movimiento medio es

n \equiv 2 π / T

$n\equiv 2\pi/T$ , dónde

T

$T$ es el periodo orbital,

\frac{{norte}^{3} a^{2}}{C^{2}} = 2 π \frac{{norte}^{2} a^{2}}{C^{2}} \frac{1}{T},

$\frac{n^3a^2}{c^2} = 2\pi\frac{n^2a^2}{c^2}\frac{1}{T}\text{,}$ lo que significa que si queremos hablar de un avance del perihelio de

δ ϖ \propto \frac{π n^{2} a^{2}}{(1 - e^{2}) c^{2}}

$\delta\varpi \propto \frac{\pi n^2a^2}{(1-e^2)c^2}$ por órbita, es equivalente a hablar de un término en la forma

\frac{d ϖ}{d t} \propto \frac{{norte}^{3} a^{2}}{(1 - {mi}^{2}) C^{2}} = \frac{{norte}^{3} a^{2}}{C^{2}} (1 + {mi}^{2} + O ({mi}^{4})) .

$\frac{\mathrm{d}\varpi}{\mathrm{d}t} \propto \frac{n^3a^2}{(1-e^2)c^2} = \frac{n^3a^2}{c^2}\left(1+e^2+\mathcal{O}(e^4)\right)\text{.}$ No puedo encontrar dónde, si es que en algún lugar , Oppenheim considera el factor faltante de

(1 - e^{2})

$(1-e^2)$ como perteneciente a la precesión anómala, pero por lo demás la fórmula definitivamente está ahí. Sospecho que solo usa una aproximación de órbita circular,

e^{2} \approx 0

$e^2\approx 0$ , porque no se encuentra en ninguna parte en la Sec. IV (teoría de Weber de 1846) y realizando su cálculo (sin

1 - e^{2}

$1-e^2$ ) me da

δ ϖ = {13.72}^{″}

$\delta\varpi = 13.72''$ por siglo para Mercurio, en buen acuerdo con su resultado declarado de

δ ϖ = {13.65}^{″}

$\delta\varpi = 13.65''$ , mientras que poner en un factor de

(1 - e^{2})

$(1-e^2)$ a mano da

δ ϖ = {14.32}^{″}

$\delta\varpi = 14.32''$ en cambio.

Quizá Oppenheim no lo consideró explícitamente y el autor de la MathPagestomó como obvio que el factor excentricidad debía estar ahí. O tal vez hay un comentario al margen en el texto que no veo; desafortunadamente, no soy lo suficientemente fluido en alemán para entender mucho de lo que está pasando.

Gracias por señalar el significado de $k$ y la omisión de $(1-e^2)$ . ya veo $e$ apareciendo en $dL_o/dt = (1/2)e^2.n^3a^2/c^2$ cerca de la parte inferior de Oppenheim página 22. $e$ también aparece en $d\varpi/dt$ página 27 (von Clausius). Pero estos no están en la forma esperada. $1/(1-e^2)$ , como bien señalas.

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steveow

Stan Liou

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Stan Liou

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