¿Cuál es la relación correcta entre los efectos gravitacionales newtonianos y relativistas generales para el sistema orbital del Sol + un solo planeta?

Question

¿Cuál es la relación correcta entre los efectos gravitacionales newtonianos y relativistas generales para el sistema orbital del Sol + un solo planeta?

steveow

Para un sistema orbital hipotético (Sol + planeta único), el modelo newtoniano y el modelo de la Relatividad General (GR) producen diferentes expresiones para el efecto gravitatorio del Sol sobre el planeta. Esto es bien conocido.

La relación entre los efectos newtoniano y GR se expresa de diferentes maneras por diferentes escritores.

Tengo problemas para reconciliar dos de esas expresiones de la relación newtoniana:GR.

En primer lugar , Walter (2008) (ecuación 12.7.6, página 482) presenta la siguiente expresión para la ecuación de movimiento producida a partir del modelo GR

\frac{d^{2} tu}{d θ^{2}} + tu = \frac{GRAMO METRO}{h^{2}} + \frac{3 GRAMO METRO}{C^{2}} {tu}^{2}

$\frac{d^2\,u}{d\theta^2} + u = \frac{GM}{h^2} + \frac{3GM}{c^2}u^2$ donde

u = (1 / r)

$u= (1/r)$ ,

h = v r

$h=vr$ ,

G

$G$ es la constante universal de gravitación,

M

$M$ es la masa del Sol,

c

$c$ es la velocidad de la luz. Aquí el término

G M / h^{2}

$GM/h^2$ es el término newtoniano ordinario y el término

3 G M u^{2} / c^{2}

$3GMu^2/c^2$ es el término adicional introducido por GR.

De esto, Walter deriva la relación aproximada entre los efectos newtonianos y GR como $(1)$ a $(1 + 3v^2/c^2)$ donde $v = \sqrt{GM/r}$ es la velocidad orbital del planeta en una órbita circular (con distancia $r$ = $a$ , el semieje mayor).

En segundo lugar, Goldstein ofrece una presentación alternativa (refiriéndose a la llamada solución de Schwartzchild) en Classical Mechanics (3ª edición) , páginas 536-538. El potencial GR $V_{GR}$ es dado por

V = - \frac{GRAMO METRO metro}{r} - \frac{b}{r^{3}}

$V = -\frac{GMm}{r} -\frac{b}{r^3}$ donde

m

$m$ es la masa corporal objetivo y

b

$b$ es una constante (Goldstein usa

h

$h$ en lugar de

b

$b$ , ver más abajo, pero ya he usado

h

$h$ para significar algo diferente en Walter arriba,)

diferenciando el potencial con respecto a la distancia $r$ para dar fuerza derivamos

F_{GRAMO R} = \frac{GRAMO METRO metro}{r^{2}} + \frac{3 b}{r^{4}}

$F_{GR} = \frac{GMm}{r^2} + \frac{3b}{r^4}$

Ahora Goldstein define la constante $b$ por lo tanto :-

b = \frac{k {yo}^{2}}{{metro}^{2} C^{2}} ecuación de Goldstein [12.48]

$b = \frac{k\,l^2}{m^2c^2} \qquad\text{ Goldstein eqtn [12.48]}$ donde

k = GRAMO METRO metro

$k=GMm$ y

{yo}^{2} = metro k a (1 - {mi}^{2}) ecuación de Goldstein[12.50]

$l^2 = mka(1-e^2) \qquad\text{ Goldstein eqtn[12.50]}$

Asi que

b = \frac{GRAMO METRO metro metro GRAMO METRO metro a (1 - {mi}^{2})}{{metro}^{2} C^{2}} = \frac{GRAMO METRO metro L^{2}}{C^{2}} = \frac{GRAMO METRO metro {metro}^{2} v_{C}^{2} a^{2}}{C^{2}}

$b = \frac{GMm\, m\, GMm\, a(1-e^2)}{m^2c^2} = \frac{GMm \, L^2}{c^2} = \frac{GMm \,m^2 v_c^2 a^2}{c^2}$

Entonces la ecuación de fuerza GR se convierte en

F_{GRAMO R} = \frac{GRAMO METRO metro}{r^{2}} + \frac{3 GRAMO METRO metro {metro}^{2} v_{C}^{2} a^{2}}{r^{4} C^{2}}

$F_{GR} = \frac{GMm}{r^2} + \frac{3GMm m^2 v_c^2 a^2}{r^4c^2}$ sustituyendo

a

$a$ por

r

$r$ obtenemos

F_{GRAMO R} = \frac{GRAMO METRO metro}{r^{2}} + \frac{3 GRAMO METRO metro {metro}^{2} v_{C}^{2}}{r^{2} C^{2}} = \frac{GRAMO METRO metro}{r^{2}} (1 + \frac{3 v_{C}^{2} {metro}^{2}}{C^{2}})

$F_{GR} = \frac{GMm}{r^2} + \frac{3GMm m^2 v_c^2}{r^2c^2} = \frac{GMm}{r^2} \left( 1 + \frac{3 v_c^2 \, m^2}{c^2} \right)$

Entonces, la relación newtoniana:GR derivada de Goldstein es la misma que la relación derivada de Walter, excepto que la primera tiene el término adicional de $m^2$ en el numerador. Incluso si tratáramos de modificar esto numéricamente invocando un objetivo de masa unitaria, aún sería dimensionalmente incorrecto.

Entonces, ¿cuál es la proporción correcta?

ACTUALIZAR ------------------------------------------------- --------------------

En la refactorización de $b$ Usé el momento angular $L$ cuando debería haber usado el momento angular específico $\mathfrak{l}$ . Después de la corrección el extra $m^2$ desaparece Goldstein está de acuerdo con Walter. Mi agradecimiento a Stan Liou por la iluminación.

Análisis corregido: -

b = \frac{GRAMO METRO metro metro GRAMO METRO metro a (1 - {mi}^{2})}{{metro}^{2} C^{2}} = \frac{GRAMO METRO metro {yo}^{2}}{C^{2}} = \frac{GRAMO METRO metro v_{C}^{2} a^{2}}{C^{2}}

$b = \frac{GMm\, m\, GMm\, a(1-e^2)}{m^2c^2} = \frac{GMm \, \mathfrak{l}^2}{c^2} = \frac{GMm \,v_c^2 a^2}{c^2}$

Entonces la ecuación de fuerza GR se convierte en

F_{GRAMO R} = \frac{GRAMO METRO metro}{r^{2}} + \frac{3 GRAMO METRO metro v_{C}^{2} a^{2}}{r^{4} C^{2}}

$F_{GR} = \frac{GMm}{r^2} + \frac{3GMm v_c^2 a^2}{r^4c^2}$ sustituyendo

a

$a$ por

r

$r$ obtenemos

F_{GRAMO R} = \frac{GRAMO METRO metro}{r^{2}} + \frac{3 GRAMO METRO metro v_{C}^{2}}{r^{2} C^{2}} = \frac{GRAMO METRO metro}{r^{2}} (1 + \frac{3 v_{C}^{2}}{C^{2}})

$F_{GR} = \frac{GMm}{r^2} + \frac{3GMm v_c^2}{r^2c^2} = \frac{GMm}{r^2} \left( 1 + \frac{3 v_c^2}{c^2} \right)$

Entonces, la relación correcta entre la fuerza gravitatoria newtoniana y GR es: -

F_{norte mi w t o norte i a norte} : F_{GRAMO R} \approx 1 : (1 + \frac{3 v_{C}^{2}}{C^{2}})

$F_{Newtonian}:F_{GR} \approx 1: \left( 1 + \frac{3 v_c^2}{c^2} \right)$

NOTAS

Esta relación es aproximada y solo se aplica en el subdominio "baja velocidad, campo débil" del modelo GR.

Goldstein también enfatiza que el efecto GR no es un efecto de velocidad (presumiblemente como en la velocidad del cuerpo objetivo a través de cualquier tipo de éter o flujo).

Coincidentemente (en el mismo subdominio, por ejemplo, Mercurio orbitando alrededor del Sol), una fuerza radial newtoniana modificada de magnitud $f=GMm/r^2 * [1 + 3v_t^2/c^2]$ , donde $v_t$ es la velocidad transversal instantánea de un pequeño planeta objetivo, produce una rotación absidal no newtoniana ("precesión del perihelio") de la misma magnitud (dentro del 1%) que GR.

Goldstein necesita ser leído con cuidado. Aquí él usa $l$ para denotar el momento angular en otro lugar (p. ej., ecuación [1.7]) utiliza $L$ . A menudo se refiere a $V$ como "potencial" cuando se refiere claramente a "energía potencial" (p. ej., ecuación [3.49]).

david hamen

No hay una "proporción" específica. Si eso es todo lo que hay en la relatividad general, GR sería fácil. GR no es "fácil". La relación publicada en esta pregunta es quizás la más simple de las linealizaciones simples de la relatividad general.

Stan Liou

Por supuesto, David tiene razón en que este tipo de comparación solo tiene sentido para órbitas lentas en una aproximación de campo débil, aunque afortunadamente ese también es el contexto de esta pregunta. Cabe señalar que para el caso específico del espacio-tiempo de Schwarzschild, las órbitas se describen exactamente por el potencial efectivo; la aproximación surge cuando uno trata la coordenada radial y el tiempo propio como si fueran newtonianos, lo cual no es válido en situaciones más generales.

steveow

David y Stan: Gracias. Sí, lo sabía, pero agregué una aclaración al final de la pregunta.

Respuestas (2)

¿Cuál es la relación correcta entre los efectos gravitacionales newtonianos y relativistas generales para el sistema orbital del Sol + un solo planeta?

No hay una "proporción" específica. Si eso es todo lo que hay en la relatividad general, GR sería fácil. GR no es "fácil". La relación publicada en esta pregunta es quizás la más simple de las linealizaciones simples de la relatividad general.
Por supuesto, David tiene razón en que este tipo de comparación solo tiene sentido para órbitas lentas en una aproximación de campo débil, aunque afortunadamente ese también es el contexto de esta pregunta. Cabe señalar que para el caso específico del espacio-tiempo de Schwarzschild, las órbitas se describen exactamente por el potencial efectivo; la aproximación surge cuando uno trata la coordenada radial y el tiempo propio como si fueran newtonianos, lo cual no es válido en situaciones más generales.
David y Stan: Gracias. Sí, lo sabía, pero agregué una aclaración al final de la pregunta.

Stan Liou · Answer 1

Las órbitas en el espacio-tiempo de Schwarzschild se pueden describir por el potencial efectivo

V_{efecto} = - \frac{GRAMO METRO}{r} + \frac{{yo}^{2}}{2 r^{2}} - \frac{GRAMO METRO {yo}^{2}}{C^{2} r^{3}},

$V_\text{eff} = -\frac{GM}{r} + \frac{\mathfrak{l}^2}{2r^2} - \frac{GM\mathfrak{l}^2}{c^2r^3}\text{,}$ donde

l = r^{2} \dot{ϕ}

$\mathfrak{l} = r^2\dot{\phi}$ es el momento angular específico de la órbita, que es una cantidad conservada. Los primeros dos términos coinciden con la forma del potencial efectivo newtoniano, excepto que aquí nos referimos a la coordenada radial de Schwarzschild.

r

$r$ y el tiempo propio de la partícula en órbita, en lugar de la distancia radial y el tiempo coordinado. Siendo el primer término el potencial gravitatorio habitual y el segundo el potencial centrífugo, por lo que el de Goldstein

V

$V$ tiene algún sentido como un término de energía potencial gravitacional en su lugar.

Por lo tanto, $l^2 = mka(1-e^2)$ con $k = GMm$ significa que $l$ es el momento angular, $l = m\mathfrak{l}$ , y

\frac{GRAMO METRO {yo}^{2}}{C^{2} r^{3}} metro = GRAMO METRO metro \frac{{yo}^{2}}{{metro}^{2}} \frac{1}{C^{2} r^{3}} = \underset{b}{\underset{⏟}{\frac{k {yo}^{2}}{{metro}^{2} C^{3}}}} \frac{1}{r^{3}},

$\frac{GM\mathfrak{l}^2}{c^2r^3}m = GMm\frac{l^2}{m^2}\frac{1}{c^2r^3} = \underbrace{\frac{kl^2}{m^2c^3}}_b\frac{1}{r^3}\text{,}$ tal como dice Goldstein. si diferenciamos

\frac{1}{2} m {\dot{r}}^{2} + m V_{eff} = E

$\frac{1}{2}m\dot{r}^2 + mV_\text{eff} = \mathcal{E}$ con respecto al tiempo propio, entonces

\begin{array}{rcl} metro \ddot{r} - \frac{{yo}^{2}}{metro r^{3}} & = & - \frac{k}{r^{2}} - \frac{3 b}{r^{4}} \\ = & - \frac{k}{r^{2}} (1 + 3 \frac{{yo}^{2}}{{metro}^{2} C^{2}} \frac{1}{r^{2}}) \\ = & - \frac{k}{r^{2}} (1 + 3 \frac{metro (GRAMO METRO metro) a (1 - {mi}^{2})}{{metro}^{2} C^{2}} \frac{1}{r^{2}}) \\ = & - \frac{k}{r^{2}} (1 + 3 \frac{v_{C}^{2}}{C^{2}} \frac{a (1 - {mi}^{2})}{r}) . \end{array}

$\begin{eqnarray*}m\ddot{r} - \frac{l^2}{mr^3} &=& -\frac{k}{r^2} - \frac{3b}{r^4}\\ &=& -\frac{k}{r^2}\left(1 + 3\frac{l^2}{m^2c^2}\frac{1}{r^2}\right)\\ &=& -\frac{k}{r^2}\left(1 + 3\frac{m(GMm)a(1-e^2)}{m^2c^2}\frac{1}{r^2}\right)\\ &=& -\frac{k}{r^2}\left(1 + 3\frac{v_c^2}{c^2}\frac{a(1-e^2)}{r}\right)\text{.} \end{eqnarray*}$ Esto es dimensionalmente correcto, ya que ambos

v_{c} / c

$v_c/c$ y

a / r

$a/r$ son adimensionales, mientras que

\frac{{yo}^{2}}{metro r^{3}} = \frac{k}{r^{2}} \frac{a (1 - {mi}^{2})}{r} .

$\frac{l^2}{mr^3} = \frac{k}{r^2}\frac{a(1-e^2)}{r}\text{.}$ El lado izquierdo tiene la forma newtoniana.

$\ell$ tiene dimensión $MD^2/T$ debido a la inclusión de $k=GMm$ en la ecuación 12.50. Tal vez la ecuación 12.48 para $b$ debería tener $m^4$ en denominador en lugar de $m^2$ ?
¡Ajá! Veo que el error es mío. Confundí el momento angular con el momento angular específico (sin masa). Goldstein está de acuerdo con Walter. Su $\ell^2$ está bien como el segundo $m$ proviene del término $k=GMm$ .
@steveOw sí, también leí mal cómo se definieron las variables. ¡Eh!
Creo que su última ecuación, pero una, debería tener (a ^ 2 / r ^ 2) en lugar de (a / r) suponiendo que la ecuación anterior sea correcta. De cualquier manera, cualquier presencia de r en este término refuta mi tesis... que ahora estoy reevaluando... Puedo hacer una pregunta por separado para aclarar mis pensamientos.
@steveOw Desde $l^2/m^2 = GMa(1-e^2)$ como se introdujo al comienzo del segundo párrafo (cf. también aquí pero con $m\ll M$ ), $a/r$ es correcto. Pero le invitamos a hacer cualquier pregunta de seguimiento.
Lo siento, no fui muy claro. Me refería al cambio de: $m(GMm)/(m^2r^2)$ a: $v_c^2/r$ . Me parece que falta este último término $a/r$ . Lo cual sería válido solo para una órbita circular. Por cierto, he publicado una pregunta de seguimiento aquí
@steveOw pero $v_c^2 = GM/r$ ya tiene un factor de $1/r$ en él, así que es por eso que el $1/r^2$ va a $1/r$ , así que eso también está bien. Sin embargo, le echaré un vistazo a tu otra pregunta.
Ah, eso explica la discrepancia, estaba asumiendo $v_c^2 = GM/a$ . Walter asume una órbita casi circular por lo que $r \approx a$ y $a(1-e^2)/r \approx 1$ . En su penúltima fórmula RHS dentro de los corchetes se puede expresar $1 + 3h^2/c^2r^2$ = $1+3v_T^2/c^2$ donde v_T es la velocidad transversal instantánea. Que (ahora veo) responde a mi pregunta de seguimiento. (Veré su respuesta separada allí para completar).

Agerhell · Answer 2

La expresión que utiliza la NASA/JPL para aproximar los efectos relativistas en la órbita de un solo planeta más el Sol en nuestro sistema solar se conoce como " expansión posnewtoniana " y se parece a:

\frac{d \bar{v}}{d t} = - \frac{GRAMO METRO}{r^{2}} (1 - \frac{4 GRAMO METRO}{r C^{2}} + \frac{v^{2}}{C^{2}}) \hat{r} + \frac{4 GRAMO METRO}{r^{2}} (\hat{r} \cdot \hat{v}) \frac{v^{2}}{C^{2}} \hat{v}

$\frac{d\bar{v}}{dt}=-\frac{GM}{r^2}\left(1-\frac{4GM}{rc^2}+\frac{v^2}{c^2}\right)\hat{r} +\frac{4GM}{r^2}\left(\hat{r}\cdot \hat{v}\right)\frac{v^2}{c^2}\hat{v}$

Si hay muchos planetas la expresión se vuelve más compleja. Puedes comparar esto con la clásica aceleración newtoniana:

\frac{d \bar{v}}{d t} = - \frac{GRAMO METRO}{r^{2}} \hat{r}

$\frac{d\bar{v}}{dt}=-\frac{GM}{r^2}\hat{r}$

No soy un gran admirador de esta aproximación, pero es lo que más se usa.

Para una órbita circular pura en coordenadas de Schwarzschild, obtienes la misma velocidad orbital en GR (en tiempo de coordenadas) que de forma clásica.

Si está dejando caer un objeto desde el reposo, la aceleración inicial en GR (en tiempo de coordenadas) es la misma que la clásica.

Generalmente, si desea saber si GR o la gravitación newtoniana clásica da como resultado una mayor aceleración, debe decidir si está interesado en el resultado en "tiempo coordenado" o en "tiempo propio" y la fracción también variará según en qué dirección el el planeta se mueve en comparación con el Sol.

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