Digamos que alguien está haciendo girar una masa en una cuerda con un período$T$alrededor. Si$T$es muy grande, la masa describirá un pequeño círculo alrededor de la cintura de la persona. Si$T$es muy pequeño, el plano de movimiento debe estar alrededor de la altura del hombro, siendo el radio real la longitud total del brazo y la cuerda.

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La pregunta pide el ángulo de equilibrio para un dado$T$y$R$. El ángulo$\theta$se mide entre la persona y su brazo.$\theta=0$significa que la cuerda está recta hacia abajo, y$\theta = \pi/2$significa que la cuerda es paralela al suelo.$R$es la longitud del brazo y la cuerda.

Así que pensé que las dos fuerzas sobre la masa son la gravedad,$F_g=mg$, y la fuerza centrífuga,$F_c=m \omega^2 r=m \omega^2 \sin \theta R$. Las dos fuerzas tienen una fuerza resultante, que también actúa en un ángulo$\tan \phi = F_c/F_g$sobre la masa.

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En equilibrio, ambos ángulos tienen que ser iguales. Entonces digo:

$$\tan \theta = \tan \phi = \frac{m 4 \pi^2 \sin \theta R}{m g T^2}$$ $$\frac{\tan \theta}{\sin \theta} = \frac{m 4 \pi^2 R}{m g T^2}$$ $$\cos \theta = \frac{g T^2}{4 \pi^2 R}$$

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Para los valores dados,$T=0.45s$y$R=15cm$obtengo un$\theta=1.23$, lo que me parece razonable.

Entonces el problema pide$T=0.85s$. La pregunta está redactada como pedir problemas, por lo que no me siento mal por mi función dándome$\theta = 0.618i$.

Pero, ¿cómo se supone que esto tiene algún sentido? Si hago girar la masa más despacio, el ángulo tiene que ser más bajo. Si giro con velocidad casi cero (período infinito$T$), debería obtener un ángulo alrededor$\theta=0$, nada más. Pero el ángulo es exactamente cero para un dado$R$y$T$y luego va imaginario más allá de eso.

¿Alguien puede iluminarme o decirme qué hice mal en la derivación?

Más pensamientos basados ​​​​en la respuesta de Mark Eichenlaub

Las fuerzas perpendiculares a la cuerda se ven así:

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(Lo siento, la fuerza de restauración tiene un seno, no una tangente).

La fuerza neta sobre la masa es por lo tanto la diferencia:

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(Si trazas esto con Sine en lugar de Tangent, sale a 1.22 como ya lo tenía antes).

Estos son los valores de la primera parte del problema, y ​​se pueden ver claramente los dos puntos de equilibrio (incluido el cero).

Si la frecuencia es menor como en la segunda parte, no hay otro equilibrio que no sea cero. Así que no importa cuán grande sea el ángulo, la fuerza restauradora es mayor que la fuerza centrífuga.

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(Esta imagen también es ligeramente diferente con el seno en lugar de la tangente, pero no cambia las raíces).

Bajo esta luz, el punto de equilibrio imaginario que obtuve anteriormente parece bastante correcto.