Ecuación de movimiento en un marco no inercial (rotatorio)

Permítanme presentar mi pregunta informándoles que esto es para una tarea, por lo que preferiría no tener respuestas explícitas, sino recibir orientación para llegar a la solución correcta.

La cuestión es así; Tengo una masa en un plato giratorio sin fricción. Necesito adoptar un marco co-rotatorio para encontrar la ecuación de movimiento de esta masa. Se espera que resuelva esto usando solo la mecánica newtoniana.

Como estamos restringidos a un plano, no hay componente de movimiento en el$\vec{k}$dirección. Las únicas fuerzas que actúan sobre nuestra masa (en el marco giratorio) son la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis.

Mi intento de solución;

$\vec{F} = m\vec{a}$

$\vec{F_{cent}} = -m\vec{\Omega}$X$\vec{\Omega}$X$\vec{r}$

$\vec{F_{cor}} = -2m\vec{\Omega}$X$\vec{v}$

$m\vec{a} = -m\vec{\Omega}$X$\vec{\Omega}$X$\vec{r} - 2m\vec{\Omega}$X$\vec{v}$

Como estoy trabajando en el marco giratorio, no veo ninguna razón para no usar coordenadas cartaesianas (tenga en cuenta que esta es la primera vez que uso látex, así que en este caso$\vec{i},\vec{j},\vec{k}$son vectores unitarios, y x,y,z son magnitudes en las respectivas direcciones);

$\vec{\Omega} = \Omega\vec{k}$

$\vec{r} = x\vec{i} + y\vec{j}$

$\vec{v} = \vec{\dot{r}} = \dot{x}\vec{i} + \dot{y}\vec{j}$

Sustituyendo esto en, evaluando los productos cruzados y simplificando rendimientos;

$\ddot{x}\vec{i} + \ddot{y}\vec{j} = \Omega^2x\vec{i} + \Omega^2y\vec{j} - 2\Omega\dot{x}\vec{j} + 2\Omega\dot{y}\vec{i}$

Y así tenemos dos ecuaciones diferenciales de segundo orden acopladas;

$\ddot{x} = \Omega^2x + 2\Omega\dot{y}$

$\ddot{y} = \Omega^2y - 2\Omega\dot{x}$

Un método que habíamos usado previamente en clase para resolver ecuaciones acopladas fue establecer$\Omega = 0$y resuelva, luego sustituya esta solución por$\dot{x} and \dot{y}$. Intenté esto, sin embargo, produjo dos ecuaciones cúbicas. La solución que me han dicho tiene este sistema, para las condiciones iniciales$(x(0),y(0)) = (x_0,0)$, es una espiral cuando se mapea paramétricamente, a saber;

$x(t) = (x_0 + v_{x0}t)\cos\Omega t + (v_{y0} + \Omega x_0)t\cos\Omega t$

$y(t) = -(x_0 + v_{x0}t)\sin\Omega t + (v_{y0} + \Omega x_0)t\sin\Omega t$

Para mí, estas parecían ser soluciones obtenidas al resolver la ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden, sin embargo, esto tampoco funcionó.

¿Es correcta mi derivación de la ecuación vectorial de movimiento original? Si no, ¿dónde me equivoqué? Si es así, ¿qué método debo usar para resolver estas ecuaciones para encontrar las soluciones apropiadas?