¿Qué sucederá si un avión intenta despegar mientras está en una cinta de correr?

Idealizando las ruedas del avión sin fricción, el empuje de la hélice acelera el avión a través del aire sin importar la cinta de correr. El empuje proviene de la hélice y las ruedas, al no tener fricción, no retienen el avión de ninguna manera.

Si la cinta de correr es demasiado corta, el avión simplemente corre hasta el final y luego continúa rodando hacia el despegue.

Si la cinta de correr es lo suficientemente larga para un despegue normal, el avión acelera en el aire y gira fuera de la cinta de correr.

ACTUALIZACIÓN: No confíes en la palabra de Alfred. Mythbusters en realidad ha hecho el experimento.

ACTUALIZACIÓN 2: He estado pensando en cómo se plantea el problema (por ahora mientras escribo esto) y se me ocurrió que la restricción "correr a la misma velocidad que la velocidad de rotación de los neumáticos del avión" en realidad significa ejecutar tal que el avión no se mueva con respecto al suelo .

Considere una rueda de radio$R$en una caminadora. La superficie de la caminadora tiene una velocidad lineal.$v_T$A la derecha. El centro de la rueda tiene una velocidad lineal.$v_P$A la izquierda. La velocidad angular CCW de la rueda es:

$\omega = \dfrac{v_T + v_P}{R}$

Si " correr a la misma velocidad que la velocidad de rotación de los neumáticos del avión " significa :

$\omega = \dfrac{v_T}{R}$

entonces la restricción requiere $v_P = 0$. Es decir, la pregunta, tal como está planteada , es:

Si la caminadora funciona de tal manera que el avión no se mueve, ¿despegará el avión?

Obviamente, la respuesta es no . El avión debe moverse para despegar. Mirando la respuesta larga de mwengler, vemos lo que está sucediendo. La velocidad de rotación de los neumáticos y la cinta de correr no son la clave, es la aceleración de la cinta de correr la que imparte una fuerza sobre los ejes de las ruedas (ignorando aquí la fricción por simplicidad).

Entonces, de hecho, es posible, en principio (aunque no creo que sea posible en la práctica) controlar la cinta de correr de tal manera que imparta una fuerza de sujeción en el avión, evitando que se mueva. . Pero, una vez más, esta fuerza no es proporcional a la velocidad de rotación de las ruedas, sino a la aceleración angular de la rueda (nótese que en el caso idealizado de ruedas sin masa, ni siquiera es posible en principio ya que cuanto menor sea el momento de inercia de la rueda ruedas, mayor será la aceleración angular requerida).

Simplificar. Supongamos que el aire está quieto, sin viento. Supongamos que las ruedas realmente no tienen fricción, como patines engrasados. (Después de todo, es por eso que tienen rodamientos de bolas).

El avión arranca desde una posición de pie y acelera hasta alcanzar la velocidad aerodinámica de rotación, unos 100 km/h. Lo hace empujando contra el aire, no contra la superficie sobre la que está parado.

A medida que acelera, la camioneta tira de la tela debajo del avión (simulando una caminadora) en dirección opuesta, hasta 100 km/h.

Entonces, con respecto al aire fijo que no se mueve, el avión se mueve en una dirección en 100, y la superficie debajo de las ruedas se mueve en la dirección opuesta en 100.

El avión despega, debido a su velocidad aerodinámica.

Las ruedas giran a 200 km/h, porque alguien está arrastrando la pista hacia atrás. No les importa, no tienen fricciones.

Todo lo que ha hecho la "cinta de correr" es hacer que las ruedas giren más rápido.

EDICIÓN AÑADIDA EL 18/7/12

Desafortunadamente, la declaración original de la pregunta original era totalmente diferente a la pregunta REAL que el cartel original pretendía responder. Mythbusters simplemente hace y responde esa pregunta original . Si el cartel original simplemente hubiera hecho referencia a la fuente de su pregunta, habría sido mucho más claro antes de que diera mi larga respuesta a continuación.

La pregunta real que quería hacer el cartel, y la pregunta y la respuesta de Mythbusters es esta: un avión está en una pista de cinta transportadora que puede correr hacia atrás. Se controla la velocidad de avance del avión y la cinta transportadora se desplaza hacia atrás a esa velocidad de avance cuando el avión intenta despegar. Las ruedas del avión ruedan libremente (sin frenos, sin motores). ¿Puede el avión despegar?

Esta es una pregunta MUCHO más fácil que la que hizo originalmente el cartel en la que la pregunta original especificaba que la cinta transportadora correría a la velocidad de las RUEDAS. Entonces, en la pregunta original, la cinta transportadora correría lo suficientemente rápido como para que las ruedas se deslizaran sobre ella (si el avión se movía hacia adelante) o el avión se viera obligado a detenerse (si las ruedas no se deslizaban). Eso es la pregunta que respondí a continuación.

La pregunta de Mythbusters es mucho más fácil. Primero, sabemos que un avión ni siquiera necesita ruedas para despegar, los aviones acuáticos y los aviones que aterrizan sobre nieve o hielo con esquís lo hacen todo el tiempo. Las ruedas son solo una forma conveniente de tener una conexión con el suelo que es de baja fricción en la dirección hacia adelante y hacia atrás. Todo lo que hace la cinta transportadora es que las ruedas de giro libre giren el doble de rápido de lo que normalmente lo harían al despegar. ¿Esto hace que el motor ponga un poco más (bueno, 4 veces más) de energía de rotación en la rotación de las ruedas? Sí lo hace. ¿Es incluso vagamente cuestionable que un avión con un margen de error de potencia adicional suficiente para despegar arrastrándose por el aire pueda hacer girar sus ruedas (bastante pequeñas, en relación con la masa del avión) el doble de rápido? No, la masa de la rueda es demasiado pequeña para ser una parte importante de la ecuación de movimiento de un avión impulsado por una hélice. Mire el video de youtube y vea el avión despegar de la cinta transportadora sin problema.

A continuación aparece mi respuesta a la pregunta original, que era mucho más oscura, mucho más difícil de resolver desde la perspectiva de la física.

¡Qué pregunta tan salvaje!

Lo que determina el despegue es suficiente sustentación desde las alas. La sustentación depende de la velocidad del aire que fluye sobre las alas. Podrías pensar en un día sin viento que la velocidad del aire sobre las alas es cero si el avión no avanza, pero ¿qué pasa si el avión tiene una gran hélice delante de sus alas? Luego, la hélice sopla aire sobre las alas. No lo sé con certeza, pero tal vez un avión acrobático muy poderoso pueda soplar el viento a través de sus alas con su hélice lo suficientemente rápido como para crear suficiente sustentación en las alas para despegar, incluso cuando el avión no se mueve por el aire. Pero ciertamente, la mayoría de los aviones de hélice delantera no pueden hacer esto, necesitan un movimiento hacia adelante a través del aire para obtener suficiente velocidad entre las alas, y todos los aviones a reacción y de hélice trasera requieren un movimiento hacia adelante para que el aire fluya a través de las alas.

Entonces, la siguiente pregunta es: ¿desarrolla el avión algún movimiento hacia adelante a medida que define el problema? Supongamos que es un jet. El motor a reacción está enviando una gran cantidad de masa de aire muy rápido hacia atrás detrás del avión. Para conservar el impulso, ese impulso inverso debe ir a alguna parte. En una pista normal (o en una cinta rodante que no puede seguir el ritmo de los neumáticos), gran parte de ese impulso se destinaría al movimiento hacia adelante del avión.

Ahora tenemos que averiguar algo sobre qué tipo de fuerza puede ejercer la cinta de correr sobre el avión al correr hacia atrás. Supongamos que tenemos una llanta (o un cilindro) en la caminadora, y la caminadora comenzó a correr en una dirección tal que la llanta comenzó a girar pero no la trasladó a la izquierda o a la derecha. ¿Se movería la llanta a lo largo de la caminadora, o permanecería en su lugar y simplemente giraría tan rápido como la caminadora se movía? Siento que debería detenerme aquí y dejar que los estudiantes descubran su respuesta a esta pregunta. En cambio, simplemente continuaré.

En realidad, primero veamos una pregunta LIGERAMENTE más simple. Tenemos un poste que sostiene ese neumático contra la caminadora. Si la caminadora está estacionaria y la llanta está estacionaria, sabemos que no hay fuerza en el poste que sostiene la llanta. El neumático está quieto, el poste no se tira hacia adelante ni hacia los lados.

Ahora, ¿qué sucede si la cinta de correr está funcionando a una velocidad constante? Entonces, en estado constante, el neumático está funcionando a una velocidad de rotación constante = a la velocidad de la cinta de correr para permanecer en su lugar, ya que el poste lo mantendrá en su lugar. Pero, ¿hay una fuerza hacia adelante o hacia atrás en el poste? Si el cojinete que sujeta la rueda a su eje no tiene fricción, estoy bastante seguro de que no hay fuerza. El neumático gira a una velocidad constante, ya que el eje no tiene fricción, no necesita ninguna fuerza para mantenerlo girando a una velocidad constante. Entonces, en estado estacionario, el neumático que gira a una velocidad constante de 100 km/h en una cinta rodante que funciona a una velocidad constante de 100 km/h no ejerce ninguna fuerza en un sentido u otro sobre el poste que lo sostiene.

Ahora, ¿cómo diablos podemos acoplar el movimiento de traslación de la cinta de correr en cualquier fuerza de traslación en el avión? ¿Suponiendo ejes sin fricción en las ruedas? En estado estacionario no podemos. Pero, ¿y a medida que aceleramos?

Así que miramos el problema donde la rueda está estacionaria en la caminadora, y aceleramos la caminadora hasta 100 kph. Lo que sucede

1. La rueda gira lentamente pero no hacia adelante ni hacia atrás.
2. La rueda no gira en absoluto, pero se mueve en la dirección de la cinta de correr.
3. La rueda divide la diferencia, girando un poco a medida que la caminadora acelera y recogiendo un poco de movimiento hacia adelante a medida que la caminadora acelera.

Ahora, aquellos de nosotros que hemos dado la vuelta a la manzana varias veces SABEMOS que la respuesta debe ser la número 3, es decir, a menos que no lo sea. Pero, ¿cómo mostramos eso?

Considere una rueda en el espacio vacío, con su eje alineado con el eje x, de modo que pueda girar libremente a través del plano yz. En el punto más bajo (el punto z más negativo) aplicamos una fuerza$+F\hat{y}$por un tiempo$t$, y luego vuelva a aplicar fuerza cero.$\hat{y}$es un vector unitario en el$y$dirección, es decir, la fuerza que aplicamos es solo a lo largo de la superficie de la rueda. ¿Qué hace la rueda?

Bueno, estamos impartiendo un "impulso" lineal en la rueda de$Ft$entonces cambiamos su momento lineal por$Ft$entonces cambiamos su velocidad lineal por$v=Ft/m$dónde$m$es la masa de la rueda.

Pero también estamos poniendo torque alrededor del eje de magnitud$Fr$en la rueda donde$r$es el radio de la rueda. Por lo tanto, aumentamos el momento angular de la rueda en$Frt$. Lo que significa que ponemos la rueda a girar con velocidad angular$\omega = Frt/I$dónde$I$es el momento de inercia de la rueda con respecto a su eje.

Al ver la dependencia lineal de$v$y$omega$en$Ft$podemos ver que no importa qué fuerza en qué momento ponemos, la relación es fija:

El punto es que una fuerza aplicada a lo largo de la superficie de la rueda imparte un momento lineal a la rueda (y a lo que sea que esté unido) y un momento angular a la rueda (que hace girar la rueda).

Así que volvamos al avión. Tenemos este avión con un potente motor a reacción que imparte una gran$-F\hat{y}$para mover el avión hacia adelante. Si la cinta de correr debe evitar que el chorro acelere hacia adelante, deberá proporcionar un flujo igualmente grande pero opuesto.$F\hat{y}$al avión Pero como vimos anteriormente, cualquiera que sea la fuerza lineal que el molino de roscas aplica al neumático, está aplicando un par de torsión proporcionalmente grande a la rueda.

Tomamos nota de la masa del avión.$M$es mucho más que la masa del neumático,$m$, asi que$I/r = m\ll M$. Entonces, para contrarrestar la fuerza del motor a reacción, la cinta de correr tendrá que acelerar mucho. Eso es,$\omega=Ct$para contrarrestar la fuerza lineal del motor a reacción en el avión. Así que la rueda tendrá que girar muy, MUY MUY rápido, y seguirá girando cada vez más rápido mientras tengamos el motor a reacción en marcha. Mi intuición sugiere que mucho antes de que la rueda alcance velocidades relativistas, será lanzada en pedazos por las fuerzas centrífugas que superan las fuerzas moleculares que normalmente mantienen sólida la materia sólida.

Pero hasta que explote la rueda (o explote el molino de roscas), se evita que el chorro tenga una aceleración lineal y, por lo tanto, no despega.

El escenario de la cinta de correr que iguala la velocidad del avión nunca puede existir por la siguiente razón.

En primer lugar, comprenda que aquí hay 3 velocidades diferentes. Normalmente tenemos 'velocidad respecto al suelo, es decir, la velocidad del avión medida contra la tierra (supongamos que la rotación de la tierra es nula), y 'velocidad del aire', la velocidad del avión medida contra el aire circundante. Por ejemplo, si el avión está volando a 500 mph en relación con la tierra, pero en contra de un viento de 100 mph, tendrá una velocidad respecto al suelo de 500 mph pero una velocidad en el aire de 600 mph. En el caso de la cinta de correr, también tenemos una (llamémosla) 'velocidad de avance de la cinta de correr'; que es la velocidad del avión en relación con la velocidad de la caminadora. Si la caminadora está funcionando a, digamos, 100 mph pero el avión está estacionario, entonces el avión tiene una velocidad respecto a tierra de 0 mph, una velocidad respecto a tierra de 100 mph y una velocidad aerodinámica de 0 mph.

Supongamos que las ruedas de los aviones están 100% libres de fricción. Cuando la caminadora va a cualquier velocidad, el avión permanecerá estacionario. No hay acoplamiento de fuerzas entre el avión y la cinta de correr. Del mismo modo, si enciende el motor del avión, se moverá hacia adelante en relación con el suelo, independientemente de la velocidad de la cinta de correr. Incluso si considera algo de fricción en las ruedas, todo lo que el avión debe hacer es hacer funcionar su motor ligeramente para crear suficiente empuje para igualar la fricción. Cualquier aumento adicional en el empuje del avión lo moverá hacia adelante, independientemente de la velocidad de la cinta de correr.

El avión solo despegará cuando su velocidad aerodinámica sea suficiente para crear sustentación a través de sus alas. Si no hay viento, el avión necesitará una velocidad respecto al suelo igual a la velocidad aerodinámica necesaria para la sustentación.

Por lo tanto, la pregunta de que la velocidad de la cinta de correr coincida con la velocidad del avión para mantenerlo estacionario es un escenario imposible, excepto cuando el avión está estacionario (a la tierra), en cuyo caso la cinta de correr también puede estar en reposo. De hecho, la cinta de correr puede ir más rápido ya que no afectará al avión de ninguna manera.

Tomando esto como una pregunta lógica en lugar de una base física, claramente se juega con la suposición errónea de que la fuerza motriz solo se puede aplicar a través del contacto con el piso.

es decir, caminamos hacia adelante empujando el suelo, conducimos haciendo que las ruedas del coche empujen la carretera.

Sin embargo, una solución es darse cuenta de que un avión comercial ganará fuerza empujando el aire como se explica en otra parte, el contacto con el suelo es irrelevante para el problema.

Y entonces decimos que el avión despega. ¡Siéntete libre de complicar el problema como quieras!

Todo depende de qué tan cerca de la cinta de correr estén las alas y qué tan grande sea la cinta de correr.

Si tuviera una cinta de correr enorme, arrastrará aire con ella a medida que se mueve a gran velocidad debajo del avión. El aire fluirá por debajo y por encima de las alas del avión provocando un levantamiento aunque el avión en relación con la tierra no se esté moviendo. Las ruedas solo funcionan para sostener el avión en su lugar mientras reducen la fricción entre el avión y la caminadora hasta que el avión despega.

El flujo de aire causado por la cinta rodante y la pequeña fricción a través de las ruedas empujarán el avión hacia atrás a menos que los chorros o las hélices proporcionen suficiente fuerza para superar este arrastre de modo que el avión permanezca estacionario en relación con la tierra (debajo de la cinta rodante).

La única superficie móvil que conozco que es tan grande que arrastra suficiente aire para permitir que un avión despegue es una bola redonda gigante. Si el avión usó sus propulsores para mantenerlo estacionario en relación con el sol, despegará muy fácilmente.

La diferencia entre la velocidad del aire por debajo y por encima del ala proporciona la sustentación. La velocidad relativa al suelo proporciona movimiento hacia adelante. La cinta de correr simplemente pone a cero este último.

Caso 1: El avión sigue siendo relativo a la cinta de correr. Pero de alguna manera el aire sigue fluyendo alrededor de las alas. Entonces el avión despega verticalmente (si la sustentación es mayor que el peso).

Caso 2: El avión sigue siendo relativo a la cinta de correr. El aire no fluye alrededor de las alas (los reactores no son buenos limpiadores de vacío), o más probablemente, la sustentación no es mayor que el peso, entonces solo quemas combustible.