Contexto
Hay muchas preguntas en esta cita web relacionadas con la pregunta en cuestión. Ninguno de ellos satisface mis necesidades. Mientras leía [1], me encontré con lo siguiente:
"Un anillo de carga de radio y carga total ... La densidad de carga del anillo se puede escribir con la ayuda de la función delta en ángulo y radio como
Se indica gráficamente que el anillo de carga está alrededor del origen y es horizontal. Por lo tanto, alrededor de todo el anillo.
Primero voy a reescribir Jackson's en una forma que me sea más familiar, y luego voy a integrar la densidad para ver si puedo recuperar la carga total del anillo . De [2], sé que . A la luz de esto, puedo reescribir la carga de densidad de Jackson como
Entonces,
Método alternativo
En [2], al definir la densidad en coordenadas esféricas, Boas utiliza una variable en el denominador. Esto a diferencia de un parámetro que da el radio particular---como . Usemos este enfoque alternativo y veamos si recuperamos la carga total del anillo. .
Supongamos que hay un anillo de carga, con carga total . El anillo existe en todos y cada uno de los puntos. en el conjunto
Preguntas
¿Qué expresión para la densidad de carga es correcta, la expresión dada por la Ecuación 1 o la expresión dada por la Ecuación 2? ¿Cómo?
Bibliografía
[1] Jackson, Electrodinámica clásica, 3.ª edición, pág. 123.
[2] Boas, Métodos Matemáticos en las Ciencias Físicas, 3ra Edición, p. 457, 460.
porque hay un en el , por lo tanto, en lo que respecta a la integral, estas dos expresiones dan la misma respuesta al resultado de la integración. Sólo se pueden diferenciar en sus derivados.
Para simplificar la escritura y sin perder la esencia del problema, consideremos una distribución de carga de shell en con simetría esférica. Las dos expresiones se convierten en:
La integración de cada densidad da:
Para derivar, consideremos la siguiente integral
Examinemos la integral de la función delta derivada:
Además, prueba la integral con
Para la mayoría de las funciones regulares de , estas dos formas son exactamente iguales. Obsérvese la forma de diferenciación, doy mi voto a la segunda expresión. La forma diferencial se parece a la de .
secavara
Carcaj
secavara
AFG
secavara