¿ Hasta dónde podemos extender los formalismos de la mecánica cuántica (QM) a la teoría cuántica de campos (QFT)? En particular,
¿Cómo es un espacio Fock? diferente de un espacio de Hilbert ? ¿Puede un estado general en el espacio de Fock escribirse como la superposición de estados propios del operador numérico? En caso afirmativo, ¿los estados propios del operador numérico son los únicos estados básicos para los estados del espacio de Fock?
¿Todos los postulados de la mecánica cuántica se cumplen también en QFT? ¿Cuál es la interpretación de la norma de uno o muchos estados de partículas en QFT? ¿Existe un concepto de base de posición o base de impulso en los estados de Fock?
Las teorías cuánticas de campos son un subconjunto de las teorías mecánicas cuánticas. Obedecen todos los postulados de la mecánica cuántica, tienen espacio de Hilbert, operadores hermitianos lineales, es decir, observables, obedecen los principios de superposición, calculan probabilidades a partir de valores absolutos al cuadrado de amplitudes complejas, etc.
El espacio de Fock es un ejemplo particular del espacio de Hilbert, el espacio de Hilbert para un oscilador armónico de dimensión infinita o de dimensión superior, y (junto con el hamiltoniano libre relevante) describe teorías de campo cuántico libre (aquellas con el hamiltoniano cuadrático/acción , es decir, sin interacciones).
Las teorías de campos cuánticos interactivos no tienen un espacio de Hilbert que sea "exactamente" igual a un espacio de Fock, pero el espacio de Fock sigue siendo una buena herramienta para estudiar la física de las teorías cuánticas de campos interactivos aproximadamente, mediante "expansiones perturbativas".
De manera similar, el operador numérico solo está "verdaderamente bien definido" para las teorías de campos cuánticos libres. El valor del operador numérico para un estado general en una teoría de campos cuánticos interactivos no está realmente bien definido. Por ejemplo, un electrón en la electrodinámica cuántica interactiva está "decorado" por muchos fotones y pares de electrones y positrones que aparecen en su vecindad. Su número es distinto de cero, en cierto sentido infinito, y ni siquiera está claramente definido porque el operador numérico ya no conmuta con el hamiltoniano en las QFT interactivas.
No, los estados propios del operador numérico no son la "única base" del espacio de Hilbert. En general, cada espacio de Hilbert (¡y cada espacio lineal de dimensiones superiores!) tiene infinitas (y es una gran infinidad) bases posibles. Por ejemplo, los estados propios de cualquier otro operador hermitiano pueden convertirse en una base.
La base de posición y la base de momento (o representación) son bases particulares (o representaciones) para la mecánica cuántica no relativista. Están compuestos por los estados propios continuos de los operadores y , respectivamente. Pero estos no son operadores bien definidos en la teoría cuántica de campos; después de todo, incluso el número de partículas es variable en las QFT, por lo que no puede haber ningún "número fijo de posiciones o momentos de las partículas". Las teorías cuánticas de campos tienen otros operadores (observables). La existencia de la "base de cantidad de movimiento" o "base de posición" es una propiedad particular de una clase de modelos (no relativistas) de la mecánica cuántica; esta existencia no pertenece a los postulados generales de la mecánica cuántica y estas teorías (con un número fijo de partículas con posiciones o momentos) no describen con precisión nuestro Universo.
qmecanico