suposiciones sobre las ondas sonoras

Al derivar la ecuación de onda de sonido:

1 C 2 ∂ 2 pag ′ ∂ t 2 = Δ 2 pag ′
linealizando la ecuación de Euler:

ρ d v d t = − ∇ pag
y la ecuación de continuidad:

∂ ρ ∂ t + ∇ ( ρ v ) = 0
utilizando un enfoque de pequeñas desviaciones ρ ′ , v ′ , pag ′ de un equilibrio ρ 0 , v 0 , pag 0 con v 0 = 0 . Entonces
pag = pag 0 + pag ′ v = 0 + v ′ ρ = ρ 0 + ρ ′

¿Por qué podemos ignorar el término convectivo en la ecuación de Euler? Es decir, ¿por qué podemos usar:

ρ 0 ∂ v ′ ∂ t = ∇ pag ′
?

¿Por qué podemos suponer ( v ′ ∇ ) v ′ ≈ 0 ?

Segundo orden en el pequeño parámetro v'
Puedes hacer la suposición de que v ′ ⋅ ∇ v ′ ∼ 0 si no hay empinamiento no lineal. Es vagamente otra forma de decir que el medio es incompresible porque todas las ondas comprimibles pueden empinarse, por definición. Sin disipación de energía, las ondas de sonido en la atmósfera de la Tierra se intensificarían hasta formar ondas de choque.

Respuestas (2)

Como ha comentado Thomas, el truco es que solo asumimos términos de primer orden y esta aceleración convectiva sería pequeña de segundo orden.

De hecho, esa es una de las primeras suposiciones que se descartan cuando se consideran casos más generales. Véase, por ejemplo, la ecuación de Burger para las primeras generalizaciones y/o la ecuación de Lighthill para los términos fuente que surgen en la ecuación de onda cuando no se desprecia la convección.

La suposición de pequeña amplitud podría darse, por ejemplo, mediante experimentos: el sonido de 94 dB (eso es realmente un grito) corresponde a 1   PAG a de amplitud de presión de sonido RMS pag A . Dado que la presión atmosférica pag 0 ≈ 10 5   PAG a obtenemos:

pag A   s h o tu t i norte gramo pag 0 ≈ 10 − 5

Por supuesto, también hay una acústica no lineal de amplitudes más altas .

entonces, pero ¿por qué podemos asumir esto? y porque es ( v ′ ∇ ) v ′ ≈ 0 de orden v ′ 2 ? ¿También estamos suponiendo que ∇ v ′ es de orden v ′ o como funciona esto?
Para la primera pregunta ver la edición. Para el segundo: sí, solemos suponer precisamente esto.

La suposición al linealizar es que las desviaciones/perturbaciones son muy pequeñas en comparación con los valores de referencia (promedio).

Normalmente, las derivadas de las desviaciones son del mismo orden que las propias desviaciones. Considere las desviaciones que tienen esta forma funcional en 1D:

tu ′ = Δ tu pecado ⁡ k X ∂ X tu ′ = k Δ tu porque ⁡ k X
La desviación y su derivada son de orden O ( Δ tu ) ≪ O ( 1 ) . Los términos convectivos son entonces:
tu ′ ∂ X tu ′ = 1 2 Δ tu 2 k pecado ⁡ 2 k X
que es orden O ( Δ tu 2 ) ≪ O ( Δ tu ) y por lo tanto insignificante en comparación con otros términos.

Se puede hacer un análisis de las ecuaciones sin evaluar las derivadas si comenzamos de manera más general con la ecuación de continuidad y momento de Cauchy (despreciando las tensiones viscosas):

∂ t ρ + ∇ ⋅ ρ v = 0

∂ t ρ v + ∇ ⋅ [ ρ v ⊗ v + pag I ] = 0

linealizando:

∂ t ( ρ 0 + ρ ′ ) + ∇ ⋅ ( ρ 0 + ρ ′ ) v ′ = 0

∂ t ( ρ 0 + ρ ′ ) v ′ + ∇ ⋅ [ ( ρ 0 + ρ ′ ) v ′ ⊗ v ′ + ( pag 0 + pag ′ ) I ] = 0

Estoy seguro de que estarás de acuerdo en que ρ ′ v ′ ≪ ρ 0 v ′ y ρ ′ v ′ ⊗ v ′ ≪ ρ 0 v ′ ⊗ v ′ ≪ pag ′ I , que produce las ecuaciones linealizadas que está buscando:

∂ t ρ ′ + ρ 0 ∇ ⋅ v ′ = 0

ρ 0 ∂ t v ′ = − ∇ pag ′

Apéndice: Uso de la identidad :

∇ ⋅ ( A ⊗ B ) = B ( ∇ ⋅ A ) + ( A ⋅ ∇ ) B

podemos reescribir la ecuación de cantidad de movimiento en forma simplificada:

∂ t ρ v + ∇ ⋅ ( ρ v ⊗ v ) = v ∂ t ρ + ρ ∂ t v + v ∇ ⋅ ( ρ v ) + ( ρ v ⋅ ∇ ) v = v [ ∂ t ρ + ∇ ⋅ ( ρ v ) ] + ρ [ ∂ t v + ( v ⋅ ∇ ) v ]

donde el primer término en la última línea es idénticamente cero debido a la ecuación de continuidad.

gracias por la respuesta pero no veo como ∂ t ρ v + ∇ ⋅ [ ρ v v + pag I ] = 0 es la ecuación de Navier Stokes. ∇ ⋅ [ ρ v v ] en esta expresión debe ser v ⋅ ∇ [ ρ v ] o debería haber un producto tensorial, ¿verdad? O
@pindakaas: técnicamente, tiene razón (¡el mejor tipo de verdad!), Así que arreglé la notación y agregué una referencia para respaldar las ecuaciones. Por lo general, descuido el producto tensorial cuando considero:
v v = [ tu tu tu v v tu v v ]
hola gracias por la atencion. El único problema es que no tengo idea de por qué. ∇ ⋅ [ ρ v ⊗ v ] = ρ ( v ⋅ ∇ ) v así que esto lamentablemente no me ayuda a entender...
@pindakaas: eso debería hacerse como una pregunta separada y también más adecuada para Math.SE, pero la responderé de todos modos. Solo en estado estacionario esa relación es verdadera, pero no en general. Consulte mi apéndice para ver cómo se pasa, en general, de una forma a otra.
Gracias por la gran respuesta. Aunque tengo que decir que el estado estacionario me parece un poco confuso aquí, ya que esto en la mecánica de fluidos normalmente significa ∂ t v = 0 pero me aventuro a decir estado de masa estable? Entonces d METRO d t = 0 bien ?
@pindakaas: en estado estacionario en cualquier momento, los derivados desaparecen, es decir ∂ t ρ = 0 y ∂ t v = 0 . La implicación es que la densidad es constante y por la ecuación de continuidad ∇ ⋅ v = 0 . El término
∇ ⋅ [ ρ v ⊗ v ] = ρ ∇ ⋅ [ v ⊗ v ] = ρ v ( ∇ ⋅ v ) + ρ ( v ⋅ ∇ ) v
usando la identidad que se muestra en mi respuesta.
No creo que me esté aclarando. Asumiendo que la conservación de la masa es suficiente. Asumiendo ∂ t ρ = 0 y asumir la incompresibilidad simplemente no es necesario.
después de revisar esto, me di cuenta de que todavía no es realmente un buen argumento. la derivada de algo pequeño simplemente no tiene que ser cero porque ella misma es pequeña...
@pindakaas: estoy confundido acerca de qué argumento estás hablando; mi argumento fue que para las pertubaciones, los derivados de las pertubaciones son del mismo orden que las propias pertubaciones. Su producto es un orden menor y por lo tanto insignificante; puedes ponerlos a cero de forma efectiva...
Por ejemplo ∇ ρ ′ v ′ ≈ 0 pero esto es porque ρ ′ v ′ ≈ 0 debido a la naturaleza de la pertubación ansatz. PERO esto no es cierto en general, la derivada de una función que está muy cerca de zeor puede fácilmente tener un valor grande. ¿Ves lo que quiero decir? De la misma manera el ∇ ( v ⊗ v ) término sólo se desvaneció porque miramos ∇ ( v ⊗ v + pag ′ I ) y sabemos v ⊗ v + pag ′ I ≈ pag ′ I pero leí en todas partes que la parte convectiva debería desaparecer por sí sola ... Pero supongo que podemos asumir lo que dijiste en el primer orden de respuesta de la derivación. = orden del original
@pindakaas: Estoy de acuerdo, por eso no uso esa argumentación en ninguna parte de mi respuesta (por lo que puedo ver, corríjame si me equivoco). Mis únicos argumentos son sobre productos de perturbaciones y valores promedio, no sobre derivados, es decir:
ρ ′ v ′ ⊗ v ′ ≪ ρ 0 v ′ ⊗ v ′ ≪ pag ′ I
Así que todavía estoy confundido acerca de por qué dices: 'que este todavía no es realmente un buen argumento'. ¿ A qué te refieres cuando dices ' esto '?
Supongo que estas en lo correcto. Lamento que hagas la comparación antes de derivar, por lo que es completamente razonable. Es por eso que acepté la respuesta nuevamente.
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