¿Cómo entender el movimiento de una partícula en Mecánica Cuántica?

Habiendo trabajado con partículas elementales toda mi vida laboral, puedo asegurarles que las partículas tienen una trayectoria.

Aquí está la prueba

Otra prueba es la existencia de aceleradores que crean los rayos que podemos dispersar contra objetivos, como en la imagen, o entre sí y estudiar los resultados estadísticamente. Así se construyó el modelo estándar de la física de partículas, estudiando trayectorias.

Las trayectorias son guardadas por el HUP, el Principio de Incertidumbre de Heisenberg , que dado suficiente impulso siempre puede cumplirse como muestra la imagen de la cámara de burbujas. Dentro de su límite se encuentran los estados ligados de los átomos, y ahí hablamos de orbitales, no de órbitas.

Todo es mecánica cuántica, y el HUP es la medida de si los conceptos y la mecánica clásica son aplicables o no. Entonces, en su ejemplo, el electrón puede generarse en un pequeño acelerador y acercarse con una trayectoria conocida a un pozo de potencial de un ion hasta el punto de cierre donde la indeterminación del HUP destruye el concepto de trayectoria y se aplicará la forma probabilística.

La mayoría de la gente diría que$|\Psi(a)|^2$es la densidad de probabilidad de que la partícula se encuentre en una pequeña vecindad de$a$. La mayoría de la gente no diría que es la probabilidad de que esté en ese lugar . Esto se debe a que ese mismo tipo de pensamiento (que tiene la probabilidad de tener una propiedad y que una medición simplemente revela el valor de esa propiedad que ya existía) literalmente lo meterá en problemas si se usa en otras situaciones. Por ejemplo, una medida de espín objetivamente no revela un valor preexistente de un componente de un vector. Y, de hecho, una medición de giro cambia objetivamente lo que "medis".

Pero hay una tradición que sí lo hace, y encontró una manera de hacer que eso funcione para la posición y se llama la interpretación de de Broglie-Bohm (dBB) (o la teoría de la onda piloto). El precio a pagar es que si dice que la probabilidad es precisa para una posición real, entonces otras supuestas medidas no pueden estar simplemente revelando valores preexistentes.

Esto se debe a que las medidas se pueden correlacionar con la posición, por lo que conocer la posición obliga a la posición a determinar todo lo demás (y el contexto y la calibración de la configuración exacta también pueden ser un factor y, nuevamente, esto se debe a que se pueden correlacionar con la posición).

Si usáramos palabras diferentes, esto no sonaría tan extraño. Podríamos llamarlas polarizaciones de espín en lugar de medidas de espín, por ejemplo.

Y en la teoría de la onda piloto, las trayectorias no carecen de sentido. Sin embargo, no son lo que observas. Usted observa a través de interacciones. Así que todo lo que sabes son las interacciones, no sabes la trayectoria.

En ese sentido, ¿cómo debemos entender el movimiento de una partícula en Mecánica Cuántica?

Existe una noción de corriente de probabilidad (o densidad de corriente de probabilidad). Es, por ejemplo, cómo calculamos la fracción de un haz que se refleja o transmite a través de una barrera. Puedes imaginar líneas de corriente que tienen esa corriente como sus tangentes. Y para la teoría de la onda piloto, una partícula tiene una ubicación y sigue una de esas líneas de corriente. Y para todos los demás es solo una línea de corriente entre muchas.

Casi nadie usa ondas piloto ya que las trayectorias son mucho más detalladas de lo que se necesita para calcular qué fracción de los resultados salen de cierta manera. Pero aún pueden hablar sobre la corriente de probabilidad y eso es lo que normalmente quieren decir si hablan sobre una dirección particular de movimiento. Simplemente no creen literalmente que haya una partícula con una ubicación. Solo hablan de corriente.

Por lo tanto, puede tener ubicaciones y, si las tiene, debe actualizarlas. La mayoría de las personas no imaginan ubicaciones, pero aún así hablan de la corriente, simplemente lo llaman corriente de probabilidad en lugar de imaginar una probabilidad de estar ubicado en algún lugar y luego actualizarse en el tiempo.

Y tendría un problema si pensara que hay componentes xy y z de un vector de giro y que las interacciones que llamamos "medir el componente z del giro" simplemente revelaron pasivamente ese valor. Entonces, si pensar que no existen para la posición les recuerda que no deben pensar que existen para los componentes de un vector de espín, entonces genial. Es genial aprender a no cometer errores. Y aún puede calcular todas las frecuencias que necesita sin imaginar que las partículas tengan ubicaciones reales y se muevan.

En ese escenario, ¿cómo se debe entender intuitiva y matemáticamente la idea de movimiento de una partícula en la Mecánica Cuántica?

No puede preocuparse por eso y ceñirse a las corrientes de probabilidad, rastrearán el flujo de probabilidad que es todo lo que necesita. O puedes estudiar la teoría de la onda piloto, que no te ayuda a hacer nuevas predicciones y algunas de esas trayectorias son raras. Por ejemplo, la función de onda se define en el espacio de configuración, por lo que es la configuración la que cambia y, por lo tanto, pueden ser altamente no locales en muchos sentidos.

Un sistema cuántico se describe mediante un$*$-álgebra de observables. Los estados cuánticos son funcionales de los observables, que cuando se aplican sobre los observables dan el valor medio del mismo en el estado. Entonces, dado un observable$A$, y un estado$\omega$,

$$\omega(A)$$ es la evaluación de $A$, es decir, su valor promedio en el estado.

Ahora el estado (o equivalentemente los observables) evolucionan en el tiempo. Esto significa que tenemos un mapa.$\omega_{(\cdot)}$que describe cómo cambia el estado con el tiempo. En otras palabras,

$$\omega_t(A)$$ describiría el valor medio de $A$en el momento $t$. Si elegimos el operador de posición $x$como observable, obtenemos una función de tiempo que podemos llamar trayectoria efectiva (promediada): $$\bar{x}(t)=\omega_t(x)\; .$$ Esta trayectoria promediada puede interpretarse como una noción de movimiento de una partícula QM. Obviamente, $\bar{x}(t)=x_0$no es una buena noción decir que una partícula es estática (la partícula puede estar en movimiento pero estar en promedio en el mismo lugar); pero una función no constante $x(t)$es una buena indicación del movimiento de una partícula QM.

Además, la trayectoria clásica es en realidad$\bar{x}(t)$, en un régimen donde los efectos cuánticos se vuelven despreciables.

Para tratar el concepto de movimiento en la Mecánica Cuántica, debemos partir del conocido problema de incompatibilidad inherente a la fusión de la mecánica cuántica y la relatividad especial. Uno de los principales ejemplos que pueden ilustrar esta incompatibilidad es el diagrama espacio-tiempo, en el que se utilizan líneas de mundo bien definidas para representar las trayectorias de las partículas elementales, mientras que la mecánica cuántica prohíbe la existencia de tales líneas de mundo.

Para armonizar la mecánica cuántica y la teoría de la relatividad, nos vemos obligados a suponer que existe una función de onda de partículas libres en cualquier punto tanto del espacio como del tiempo.

Para que una partícula aparezca en los diagramas, debe localizarse a través de la interacción en una determinada región del espacio-tiempo. Después de tal localización, la función de onda de la partícula vuelve a expandirse tanto en el espacio como en el tiempo. Así, el movimiento consiste en una serie sucesiva de localizaciones a lo largo de la trayectoria de la partícula.

La conclusión principal: el movimiento en el sentido clásico es aplicable solo para un paquete de ondas, que está localizado en el espacio y el tiempo hasta cierto punto. Para ello, se puede determinar con precisión la velocidad de la partícula --- la velocidad de grupo del paquete, y como consecuencia --- construir una línea de mundo. La condición de tal movimiento es

$$\begin{equation*} \frac{\partial |\psi|^2}{\partial t} \neq 0. \end{equation*}$$

Consideremos algún ejemplo.

Para el estado fundamental del átomo de Hidrógeno, tenemos la solución:

$$\begin{equation*}\label{} \psi = \sqrt\frac{1}{\pi}\frac{1}{a^{3/2}}e^{r/a}e^{\frac{i}{\hbar} E t}, \end{equation*}$$ dónde$a$~--- el radio de Bohr,$E = -\frac{me^2}{2\hbar^2}$.

En tal caso$\frac{\partial |\psi|^2}{\partial t} = 0$. De nuevo, ¿obtuvimos movimiento? No, por supuesto, solo podemos averiguar dónde puede estar el electrón con una u otra probabilidad. Sí, el electrón no se mueve, ya que está en estado estacionario. Y por supuesto, la paradoja con la radiación de un electrón se resuelve en la mecánica cuántica de inmediato --- como el electrón no se mueve, significa que no irradia.

Te enviaré una cita de Max Born de su "Atomic Phycisc"

Desde otro punto de vista, la interpretación estadística de las funciones de onda sugiere cómo se puede calcular la radiación emitida por el átomo sobre los principios de la mecánica ondulatoria. En la teoría clásica, esta radiación está determinada por el momento dipolar eléctrico fi del átomo, o más bien por su tasa de variación en el tiempo. Por el principio de correspondencia, esta conexión debe continuar subsistiendo en la mecánica ondulatoria. Ahora el momento dipolar$\mathbf{p}$se calcula fácilmente mediante mecánica ondulatoria; si nos adherimos a la analogía con la mecánica atómica clásica, viene dada por

$$\begin{equation*} \mathbf{p} = e \int \mathbf{r} |\psi|^2 dv =e \int \mathbf{r} \psi_n^*\psi_n dv \end{equation*}$$ donde r representa el radio vector desde el núcleo hasta el punto de integración o punto de campo. (Como de costumbre, el asterisco denota el reemplazo por la cantidad compleja conjugada). La integral representa, por supuesto, la posición del "centroide eléctrico de la nube electrónica". Ahora bien, como se demuestra fácilmente, esta integral se anula para todos los estados de un átomo. de modo que la derivada del momento dipolar se anula, y según!} la radiación emitida también, es decir, un estado estacionario no irradia.

En la física clásica siempre nos hemos ocupado del movimiento de objetos no puntuales como fluidos y cuerpos rígidos (llamémoslos campos). La trayectoria de esos objetos claramente no es una sola línea. Sin embargo, por experiencia notamos que tales campos tienen puntos de simetría especiales donde todos los demás puntos parecen moverse. Estos puntos se conocen como centro de masa (o mejor, centro de energía) y por tanto, la trayectoria de un campo se puede descomponer en dos. Uno es el camino claro del centro de masa y el otro es el movimiento de cada punto individual a su alrededor. En la mecánica cuántica siempre veo las partículas como campos al igual que en la mecánica clásica. Puede llamarlos campos de densidad de probabilidad$\Psi(p)=|\psi(p)|^2$, pero prefiero llamarlos LA "distribución de partículas". Tal distribución gobierna la distribución de todas las demás propiedades de la partícula.

^{Patrón de interacción de un solo punto de partículas. Por Dr. Tonomura y Belsazar}

Ahora, si las partículas son volumétricas, ¿por qué la interacción de las partículas con una pantalla se acumula como puntos únicos como en la imagen de arriba? Bueno, por la misma razón se puede vaciar toda una bañera por un solo orificio. De hecho, podríamos drenar un océano entero de un pequeño agujero, si pudiéramos hacer ese agujero hasta el centro de la tierra y crear un espacio allí para él. Los fluidos tienen 2 características que los hacen propensos a hacer eso: 1) Si elimina algo del fluido en un punto en particular, alterando su forma natural, trae fluido de la vecindad para restaurar su forma original; 2) Cuanto mayor sea el gradiente (eliminación), más rápido se vierte en ese punto.

La característica 2) es importante porque significa que una partícula que pasa rápidamente tendrá un mayor cambio para verter toda su energía en un punto en particular antes de alejarse demasiado de él, si el valor de su distribución de energía es lo suficientemente alto en ese punto para permitir una gran captación. Esto significa que cuanto mayor sea el valor de la "distribución de fluidos" en un punto particular, mayor será la probabilidad de que la partícula interactúe fuertemente en ese punto, es decir .$\Psi(p)$da la densidad de probabilidad de que una partícula interactúe (fuertemente) en un punto particular.

Si ve las partículas de esta manera, muchos problemas de la física cuántica se vuelven triviales. Deja que te dé algunos ejemplos:

1. El experimento de la doble rendija : la partícula pasó a través de ambos agujeros causando una remodelación de la partícula de$\Psi_1$a$\Psi_2$. Por ejemplo, de simetría esférica a picos y valles, lo que hace que el patrón de interacción en la pantalla cambie de un pequeño punto localizado a un patrón de interferencia;
2. El principio de incertidumbre : no se puede encontrar una partícula en un volumen infinitesimalmente pequeño. Cuanto menor sea el volumen que integre en la "distribución de partículas", mayor será el trozo de partícula que pierda;
3. La naturaleza de no irradiación de los electrones en pie en un átomo : los electrones (partículas) pueden cambiar de forma por una cantidad equivalente de energía (y momento) tal como lo puede hacer remodelando un resorte o una banda elástica. Pueden intercambiar "energía en movimiento" (energía cinética) en una "energía permanente" equivalente (energía potencial). Por ejemplo, la nube de electrones en los orbitales son los propios electrones y no se mueven. Si se mueven de una forma a otra, esto significa que tendrán que eliminar algo de impulso y energía equivalente a la diferencia de estas cantidades de la configuración anterior a la nueva.

Sin embargo, hay 2 puntos que deben aclararse:

Primero, por qué la partícula siempre parece interactuar en un solo punto, incluso cuando$\Psi$tienen valores igualmente altos en múltiples puntos? Para responder a esto, debemos entender que para tener una interacción fuerte, necesitamos un sumidero (otras partículas, campos, etc.). Debido a la naturaleza caótica y la existencia instantánea de aquellos en un punto particular, la interacción ocurre para el primero que reúne primero todas las cosas necesarias. En otras palabras, en un concurso de hundimiento de partículas, el ganador se lo lleva todo.

Segundo y más importante, ¿cuál es la naturaleza de esa “distribución de partículas” que mencioné antes? Para esa pregunta no tengo respuesta. Uno necesita recordarse a sí mismo que$\psi$es un campo espinoso. No existe un equivalente a eso en la física clásica, por lo que tal vez sea solo una intuición imaginar una cantidad como esa, pero, por ahora, la naturaleza de onda de probabilidad de$\psi$parece funcionar, y no quiero sacudir el barco.

En resumen:

1. Las partículas tienen trayectorias definidas que corresponden a la trayectoria de su “centro de distribución”, aunque no interactúen fuertemente en ese punto, como podría ser en un valle. Este es un caso similar al de una esfera rígida hueca en la física clásica;
2. Parece que las partículas libres de alta energía tienden a tener su fuerte probabilidad de interacción concentrada alrededor de su "centro de distribución", como señalé en esta pregunta , lo que hace que se comporten principalmente como una partícula con trayectorias claras en lugar de una onda.