¿Cuál es el significado físico de los valores esperados débiles?

Question

¿Cuál es el significado físico de los valores esperados débiles?

Física
operadores
mecánica cuántica
problema de medicion
interpretaciones cuánticas

phil jackson

En el formalismo de dos estados de Yakir Aharonov, el valor esperado débil de un operador $A$ es $\frac{\langle \chi | A | \psi \rangle}{\langle \chi | \psi \rangle}$ . Esto puede tener propiedades extrañas. Si $A$ es hermitiano, el valor esperado débil puede ser complejo. Si $A$ es un operador acotado con el valor absoluto de sus valores propios todos acotados por $\lambda$ , la expectativa débil puede exceder $\lambda$ .

Si $A = \sum_i \lambda_i P_i$ dónde $\{P_i\}_i$ es un conjunto ortonormal completo de proyectores, el valor esperado fuerte es

\frac{\sum_{j} λ_{j} | ⟨ x | {PAGS}_{j} | ψ ⟩ |^{2}}{\sum_{i} | ⟨ x | {PAGS}_{i} | ψ ⟩ |^{2}}

$\frac{\sum_j \lambda_j |\langle \chi |P_j | \psi \rangle|^2}{\sum_i | \langle \chi | P_i | \psi \rangle |^2}$ lo cual también es confuso ya que el acto de medir afecta aquello para lo que se está postseleccionando.

Más específicamente,

| ⟨ x | ψ ⟩ |^{2} = \sum_{i, j} ⟨ ψ | {PAGS}_{i} | x ⟩ ⟨ x | {PAGS}_{j} | ψ ⟩ \neq \sum_{i} | ⟨ x | {PAGS}_{i} | ψ ⟩ |^{2}

$|\langle \chi |\psi\rangle|^2 = \sum_{i,j} \langle \psi | P_i| \chi \rangle \langle \chi | P_j | \psi \rangle \neq \sum_i |\langle \chi |P_i|\psi \rangle |^2$ en general.

Ron Maimón

Que pasa cuando

χ

$\chi$ y

ψ

$\psi$ son ortogonales?

tirantes

@RonMaimon, parece que puede obtener un valor débil arbitrariamente grande, pero en el límite del acoplamiento débil, para el cual el formalismo solo es válido, la probabilidad de éxito en la medición posterior a la selección

P \sim {| ⟨ χ | ψ ⟩ |}^{2}

$P\sim\left|\left<\chi|\psi\right>\right|^2$ desaparecerá

Respuestas (3)

¿Cuál es el significado físico de los valores esperados débiles?

@RonMaimon, parece que puede obtener un valor débil arbitrariamente grande, pero en el límite del acoplamiento débil, para el cual el formalismo solo es válido, la probabilidad de éxito en la medición posterior a la selección $P\sim\left|\left<\chi|\psi\right>\right|^2$ desaparecerá

tirantes · Answer 1

Primero analicemos lo que generalmente se quiere decir con "medida débil". En un esquema de medición estándar de von Neuman, el aparato de medición (llamado "puntero") también se trata mecánicamente cuánticamente y se describe por el estado $\left|\varphi\right>$ . El puntero está acoplado al sistema medido de tal manera que la interacción hamiltoniana es $H=gAp\delta(t-t_0)$ , dónde $A$ es lo observable a medir, y $p$ el impulso del puntero. Después de la interacción, la posición del puntero se correlaciona con los valores propios del observable. $A$ :

| ψ ⟩ | φ ⟩ \to {mi}^{- i gramo A pags} | ψ ⟩ | φ ⟩ = \sum a_{i} | ψ_{i} ⟩ | φ (X - gramo a_{i}) ⟩,

$\left|\psi\right>\left|\varphi\right>\rightarrow e^{-igAp}\left|\psi\right>\left|\varphi\right>=\sum a_i\left|\psi_i\right>\left|\varphi(x-ga_i)\right>,$ por lo que al medir la posición del puntero podemos inferir información sobre

a_{i}

$a_i$ . La medida es "fuerte" si

⟨ φ (x - g a_{i}) | φ (x - g a_{k}) ⟩ \sim δ_{i k}

$\left<\varphi(x-ga_i)|\varphi(x-ga_k)\right>\sim\delta_{ik}$ , es decir, los diferentes estados del puntero tienen una superposición insignificante. Esto corresponde a una medida proyectiva estándar ( aquí se da una buena descripción ).

Se dice que la medición es débil en el límite opuesto, cuando el acoplamiento es lo suficientemente débil como para que los estados del puntero tengan una gran superposición. Si después de la interacción postseleccionamos el sistema en el estado $\left|\chi\right>$ , el estado del puntero es:

| φ_{x} ⟩ = ⟨ x | {mi}^{- i gramo A pags} | ψ ⟩ | φ ⟩ \approx ⟨ x | ψ ⟩ {mi}^{- i gramo A_{w} pags} | φ ⟩,

$\left|\varphi_\chi\right>=\left<\chi\right|e^{-igAp}\left|\psi\right>\left|\varphi\right>\approx\left<\chi|\psi\right>e^{-igA_wp}\left|\varphi\right>,$ dónde

A_{w}

$A_w$ es el valor débil.

la verdadera parte de $A_w$ corresponde a la traslación de la coordenada del puntero como en la medida fuerte:

⟨ X ⟩ = {⟨ X ⟩}_{0} + gramo R mi (A_{w}),

$\left<x\right>=\left<x\right>_0+g\mathrm{Re}(A_w),$ mientras que la parte imaginaria corresponde al cambio de momento del puntero :

⟨ pags ⟩ = {⟨ pags ⟩}_{0} + 2 gramo yo metro (A_{w}) {V a r}_{pags},

$\left<p\right>=\left<p\right>_0+2g\mathrm{Im}(A_w)\mathrm{Var}_p,$ dónde

{V a r}_{p} = ⟨ φ | p^{2} | φ ⟩ - {⟨ φ | p | φ ⟩}^{2}

$\mathrm{Var}_p=\left<\varphi|p^2|\varphi\right>-\left<\varphi|p|\varphi\right>^2$ es la varianza inicial del momento del puntero. La prueba en el caso más general se puede encontrar en este artículo de Jozsa .

El momento clave es la postselección del estado final del sistema: los valores débiles aumentan a medida que el estado postseleccionado se vuelve casi ortogonal al estado inicial del sistema. Esto se puede considerar como una especie de amplificación de pequeños desplazamientos de puntero debido a la débil interacción a costa de descartar casi todos los resultados en la postselección.

métrico · Answer 2

El requisito para la validez de las mediciones débiles es

gramo a_{i} | ⟨ x | {PAGS}_{i} | ψ ⟩ | ≪ | ⟨ x | ψ ⟩ |

$ga_i |\langle \chi | P_i | \psi \rangle | \ll |\langle \chi | \psi \rangle|$ y

gramo a_{i} ≪ 1

$ga_i \ll 1$ donde g es la fuerza de acoplamiento débil y

a_{i}

$a_i$ es el i ^-ésimo valor propio. Entonces, la expectativa débil solo puede ser tan grande como

1 / g

$1/g$ a lo sumo.

larry · Answer 3

El problema con los valores esperados complejos se soluciona fácilmente. Si A es hermitiano, reemplace $\langle A \rangle$ con $\Re \left\{\frac{\langle \chi | A | \psi \rangle}{\langle \chi |\psi \rangle}\right\}$ . Si no es hermitiano, $\frac{1}{2}\left[ \frac{\langle \psi | A | \chi \rangle}{\langle \psi |\chi \rangle} + \frac{\langle \chi | A | \psi \rangle}{\langle \chi |\psi \rangle} \right]$ servirá.

En cuanto a los valores esperados que exceden el valor propio más alto, bueno, es posible que $\langle \chi |P_i| \psi\rangle$ y $\langle \chi | P_j| \psi \rangle$ tener signos opuestos, por $i\neq j$ , mientras simultáneamente, $\lambda_i$ y $\lambda_j$ también tienen signos opuestos. Este es un problema inherente a las probabilidades extendidas.

¿Cuál es el significado físico de los valores esperados débiles?

phil jackson

Ron Maimón

tirantes

Respuestas (3)

tirantes

métrico

larry

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