Medición inexacta y colapso de la función de onda

En primer lugar, rigurosamente hablando, como el espectro del operador de posición$X$en$L^2(R)$es puramente continua, la medida espectral$P_E$está etiquetado por conjuntos de Borel$E\subset R$, así que, en particular$E$puede ser un intervalo$[a,b]$. En representación de posición:

$$\left(P_E \psi\right)(x) = \chi_E(x) \psi(x)\quad \forall x \in R$$ dónde $\chi_E(z)=1$si $z\in E$, o $\chi_E(z)=0$de lo contrario. Al medir la posición de la partícula, si la precisión del instrumento es $2\delta>0$, por lo que no se puede distinguir nada dentro del intervalo $[x_0-\delta, x_0+\delta]$, la función de onda inmediatamente después de la medición es, hasta la normalización, $$\chi_{[x_0-\delta, x_0+\delta]}\psi$$ proporcionó $\psi$era la función de onda antes de la medición y la posición encontrada era $x_0$(teniendo en cuenta la precisión del instrumento).

Esto no es más que un caso particular del axioma de von Neumann - Luders sobre la medida cuántica que incluye tanto observables con espectro puntual como espectro continuo. En el segundo caso, la noción de vector propio no puede aplicarse y, sin embargo, no es necesaria en modo alguno. Solo la noción de medida espectral asociada con un operador autoadjunto es suficiente.

El hecho de que los instrumentos reales para observables con espectro continuo estén realmente descritos por ese axioma, incluso teniendo en cuenta la precisión como se hizo antes, es sin embargo cuestionable debido a muchas razones prácticas. Es más plausible que, en experimentos reales (no destructivos) de posición, la función de onda después de la medición se obtenga de la entrante a través de una operación cuántica ( http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_operation ).

Con mediciones imprecisas, debe utilizar la mecánica cuántica estadística más general en lugar de la simple mecánica cuántica de estado puro.

Específicamente, en lugar de terminar con un estado cuántico puro, después de una medición imprecisa, se tiene un estado "sucio" (estado cuántico mixto ) que está borroso por la incertidumbre en el sentido clásico. Esta mezcla de estado cuántico con incertidumbre clásica no puede representarse mediante un solo estado cuántico, pero puede representarse mediante una matriz de densidad .

(En mi opinión, de todos modos es una buena idea usar métodos estadísticos incluso cuando se consideran medidas exactas. De esa manera, puede incluir cosas como la decoherencia ambiental).