Colapso de la función de onda

Todo observable se describe mediante un operador autoadjunto$A : D(A) \to {\cal H}$, dónde$D(A)$es un subespacio denso de$\cal H$y coincidir con$\cal H$si y solo si el conjunto$\sigma(A)\subset \mathbb R$(el espectro de$A$) de valores que$A$puede alcanzar está acotado.

El teorema espectral dice que$A$tiene una medida de valor de proyección asociada (PVM). Ese es un mapa que asocia cada subconjunto (Borel)$E\subset \sigma(A)$, por ejemplo$E= [a,b]$o un solo punto$E= \{\lambda\}$, con un proyector ortogonal$P_E : \cal H \to \cal H$.

Resulta puesto que los "vectores propios formales", como$\delta$funciones, están siempre asociadas la parte continua de$\sigma(A)$, mientras que los vectores propios propios$\psi_\lambda$se asocian con los elementos$\lambda$de la parte del espectro puntual de$A$, son los valores propios propios $\lambda$de$A$.

En cuanto a los resultados$E$del procedimiento de medida perteneciente al espectro continuo , lo que realmente se mide es un intervalo $E= [a,b]$.

En esta situación el postulado del colapso , conocido como postulado de von Neumann-Luders, establece que, si un estado puro está representado por el vector normalizado$\psi$antes de la medida de$A$y el resultado de la medición es$E$, el estado puro posterior a la medición es

$$\psi_E = \frac{P_E \psi}{||P_E\psi||}\:.\tag{1}$$ La probabilidad de obtener $E$en el estado $\psi$si midiendo $A$es, en particular,
$$||P_E\psi||^2 \tag{2}$$

Comentarios _

(1) Este postulado se refiere a procesos de medición idealizados no destructivos . En la práctica experimental con instrumentos realistas, el estado posterior a la medición se describe mediante una operación cuántica que es una herramienta matemática más sofisticada que amplía la noción de PVM.

(2) el postulado de von Neumann-Luders incluye el caso de una medida de un valor discreto$\lambda$que pertenecen al espectro puntual, es decir, un valor propio propio. En ausencia de degeneración,

$$P_{\{\lambda\}} = |\psi_\lambda \rangle \langle \psi_\lambda |\:.$$ y aplicando (1) y (2) se obtienen los resultados elementales estándar. Si el espacio propio de $\lambda$tiene dimensión $d \leq +\infty$y por lo tanto hay una base de Hilbert de vectores propios $\{\psi_{\lambda k}\}$, más generalmente, $$P_{\{\lambda\}} = \sum_{k=1}^d|\psi_{\lambda k} \rangle \langle \psi_{\lambda k} |\:.$$

(3) El postulado de von Neumann-Luders puede extenderse trivialmente a estados mixtos. En este contexto, tiene un significado natural en términos de probabilidad condicional sobre la red cuántica no booleana de eventos elementales (ver mi respuesta aquí )

Los operadores hermitianos correspondientes a observables físicos actúan sobre el espacio de Hilbert de estados físicamente válidos. Está claro a partir de la definición de un vector propio que para cualquier espacio vectorial$\mathcal{H}$y mapa lineal$f: \mathcal{H} \to \mathcal{H}$, los vectores propios deben estar en$\mathcal{H}$. Por lo tanto, los vectores propios para cualquier observable físico serán estados físicamente válidos, y su problema no puede surgir.

Por ejemplo, dado que los autos de posición$| x \rangle$eigenkets de momento$| p \rangle$no mientas en el$L^2(\mathbb{R})$Espacio de Hilbert (aunque se encuentran en un "espacio de Hilbert amañado" más general), los operadores de posición y momento técnicamente no son observables físicos, solo los operadores que están ligeramente manchados en el espacio de posición o momento lo son. Extraño pero cierto. Sin embargo , siguen siendo idealizaciones matemáticas extremadamente útiles. Físicamente, esto solo significa que ninguna medida real podría tener una precisión infinita.

En la práctica, esto casi nunca es un problema, porque todas las fórmulas habituales de la mecánica cuántica son verdaderas "en el sentido de la distribución": son verdaderas si multiplicas ambos lados por una función de "envolvente" uniforme y luego integras. O, a menudo, puede discretizar su espacio de Hilbert en un conjunto de puntos grande pero finito, en cuyo caso todo se comporta bien (esto es lo que casi siempre se hace en física computacional).

Realmente no entiendo completamente la pregunta, pero supongo que significa cómo se colapsa la función de onda cuando no se observa la partícula.

No estoy seguro si sabemos exactamente cómo/por qué la función de onda colapsa en la observación. Lo intentaré, tal vez encuentres la respuesta en algún lugar.

Tomemos un ejemplo de experimento de doble rendija donde observar los electrones/fotones hace que abandonen la naturaleza ondulatoria y comiencen a comportarse como partículas. es decir, el patrón de interferencia desaparece.

Ahora bien, ¿por qué la medición provoca un cambio de la naturaleza ondulatoria al comportamiento de las partículas? Intentaré explicarlo con un escenario de ejemplo específico. Este ejemplo se puede extender a otros escenarios con los ajustes necesarios.

Colapso de una onda en una partícula observada -

Supongamos que la entidad que se mueve a través de la doble rendija es un electrón (en forma de onda). Observémoslo alumbrando con un láser. Si tuviéramos que observar el electrón con el láser, entonces el láser debe reflejarse en el electrón. ¿Bien? Pero, para reflejar el láser, el electrón tiene que convertirse en una partícula. ¿Por qué? Porque una ola no puede reflejarse en una ola. Una onda (láser) solo puede reflejarse en una partícula. Por lo tanto, para reflejar el láser, el electrón debe convertirse en una partícula; de lo contrario, la observación simplemente no es posible usando un láser. Por lo tanto, si hay una medición vía láser, el electrón debe comportarse como una partícula, no como una onda. Este es el colapso de la onda en una partícula que se observó.

Colapso de una onda en una partícula que no fue observada -

Suponga que hace brillar el láser en una rendija y el electrón pasa a través de la otra rendija. Incluso en este caso, antes de la medición, la onda de electrones pasaba a través de ambas rendijas. Al hacer brillar el láser sobre parte de la onda de electrones, obligamos a la onda de electrones a convertirse en una partícula, pero debido a la distribución de la densidad de onda, la partícula se materializa a través de la otra rendija y no refleja el láser. Entonces, en este caso también, el láser hace que el electrón se convierta en una partícula sin que se refleje en ella. Este es el colapso de la onda en una partícula que NO se observó. El mismo concepto se puede aplicar a la medición a través de otro tipo de detectores.

¿Por qué el Colapso de una ola se vuelve obligatorio?

¿Por qué el láser se refleja en el electrón en primer lugar? La razón real de esto puede ser el hecho de que la frecuencia láser específica que detecta el electrón no puede coexistir con la onda del electrón en el mismo punto del espacio-tiempo. Entonces, cuando se encuentran, uno tiene que colapsar. Al ser el láser una onda más fundamental, es la onda del electrón (la onda menos fundamental) la que cede y colapsa. Cuando se colapsa, se convierte en una partícula y puede reflejar el láser dependiendo de dónde se materialice la partícula. Es por eso que cuando tratamos de observar los electrones en cualquiera de las rendijas, el patrón de interferencia desaparece independientemente de si el electrón se vio o no. Esta es una descripción de ejemplo del colapso de una ola en el sentido clásico.

Borrador cuántico: no es necesario retroceder en el tiempo

Más allá de las rendijas, las ondas parciales que pasan a través de cada rendija interfieren entre sí aunque las dos partes permanezcan conectadas. La conexión ahora no es tan suave como lo era antes de las rendijas y, por lo tanto, la conexión no suave hace que toda la onda se comporte como si hubiera dos ondas diferentes y, por lo tanto, se comporta como si hubiera una interferencia.

Cuando el láser brilla más allá de las rendijas, la naturaleza de la onda colapsa como se describe en las secciones anteriores y el electrón se convierte en partícula y la interferencia vuelve a desaparecer, por lo que el patrón desaparece incluso si hacemos brillar el láser más allá de las rendijas. Por lo tanto, no hay necesidad de retroceder en el tiempo y no hay borrado de nada. Es solo un colapso que ocurre más allá de las rendijas y la partícula se materializa como si hubiera pasado por una de las rendijas.