Estado propio vs función de onda colapsada

$\newcommand{\ket}[1]{\lvert #1 \rangle}$No existe tal cosa como "parecer una función de onda colapsada", incluso si cree que hay un colapso.

Vayamos al caso de dimensión finita y tengamos un sistema de espín simple de dos niveles, es decir, nuestro espacio de Hilbert se genera, por ejemplo, en los estados de espín definidos en el$z$-dirección$\ket{\uparrow_z}$,$\ket{\downarrow_z}$.

Ahora, el estado$\ket{\psi} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{\uparrow_z} + \ket{\downarrow_z})$no es un estado propio de$S_z$, y medición de$S_z$colapsará con igual probabilidad en$\ket{\uparrow_z}$o$\ket{\downarrow_z}$. Sin embargo, este es un estado propio del giro en$y$-dirección, es decir$\ket{\psi} = \ket{\uparrow_y}$(o hacia abajo, tendríamos que comprobarlo mediante cálculo, pero no importa para este argumento). Entonces, aunque puede "colapsar"$\ket{\psi}$en otros estados, ya parece un estado colapsado por su lógica. Esto muestra que la noción de "parecer un estado colapsado" no es muy útil para empezar.

Además, parece estar confundido acerca de la diferencia entre una medida (lo que induce al colapso en algunas dicciones) y la aplicación de un operador. Tu dices

Entonces, cuando el hamiltoniano actúa sobre un sistema en una de esas funciones propias, ¿ese sistema siempre colapsa en el mismo punto en el espacio?

pero esto no tiene sentido. La acción del hamiltoniano es un paso de tiempo infinitesimal, como te dice la ecuación de Schrödinger:

y, para un estado propio$\ket{\psi_n}$, que es una solución a la ecuación independiente del tiempo con energía$E_n$, tienes por definición $H\ket{\psi_n} = E_n\ket{\psi_n}$, es decir, el hamiltoniano es una operación de "no hacer nada" en estados propios ya que la multiplicación por un número no cambia el estado cuántico. Después de todo, es por eso que estamos interesados ​​en las soluciones de la ecuación independiente del tiempo, porque estos son los estados estacionarios que no evolucionan en el tiempo. Esto no tiene nada que ver con el colapso o la medición.

Por último, los estados de posición exactamente determinados no son, estrictamente hablando, estados cuánticos, ya que las "funciones propias" del operador de posición "multiplicación por x" son deltas de Dirac $\psi(x) = \delta(x-x_0)$, que no son funciones propias integrables al cuadrado$L^2(\mathbb{R})$como normalmente se requiere que sean los estados cuánticos. Pero sí, esto es "un pico", ya la inversa, los estados de impulso determinados son ondas planas$\psi(x) = \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}px}$.

Si un estado dado es un estado propio de un observable particular, entonces ese observable tiene una desviación estándar de 0; sin embargo, eso no dice nada sobre la distribución de otros observables. El ejemplo extremo de esto son los estados propios de posición y momento; un estado propio de cantidad de movimiento está representado por la función delta en el espacio de cantidad de movimiento, pero en el espacio está representado por una onda plana infinita y la posición de la partícula es completamente incierta.

Un estado propio de energía en un pozo cuadrado es un ejemplo menos extremo. Su energía está perfectamente definida, pero su función de onda, que le informa sobre la distribución de probabilidad para las mediciones de posición, es una onda sinusoidal. En otras palabras, puedes medir la energía de un sistema en ese estado tantas veces como quieras y siempre obtendrás el mismo resultado, pero si configuras una serie de partículas en cajas en todas en el mismo estado propio de energía y mides allí posiciones, encontrará que obtiene resultados aleatorios con una distribución dada por el cuadrado mod de la función de onda.