Creación de un operador para un divisor de haz polarizador

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Creación de un operador para un divisor de haz polarizador

usuario198150

Estoy tratando de hacer un operador divisor de haz polarizador, pero todos mis enfoques han fallado hasta ahora. Intentaré explicar lo que he hecho y, con suerte, habrá personas que puedan señalar mis errores y/o sugerir mejores métodos. Hago todos los cálculos en QuTiP, pero cualquier ayuda con respecto a la teoría es muy apreciada.

Tomemos el caso de la entrada de dos fotones polarizados a un divisor de haz polarizador. Pueden estar en los estados $\left|V\right>$ (polarizado verticalmente), $\left|H\right>$ (polarizado horizontalmente) o una superposición de los dos. $\left|H\right>$ se define como un vector (2x1), llamado "Objeto cuántico" en QuTiP: Qobj([[0], [1]])y $\left|V\right>$ es Qobj([[1], [0]])_ El estado de entrada es el producto tensorial de los dos estados, con los subíndices que indican los puertos, por ejemplo: $\left| H \right>_a \left| H \right>_b$ .

Las entradas están en el puerto a y b, y las salidas en el puerto c y d. Usando esto, he construido este operador PBS unitario:

{\hat{O}}_{PAG B S} = [\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & i \end{matrix}]

$\hat{O}_{PBS} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & i \end{bmatrix}$ Las i son las fases provenientes de los reflejos, y las filas están ordenadas de la siguiente manera:

({| H ⟩}_{a}, {| H ⟩}_{b}, {| V ⟩}_{a}, {| V ⟩}_{b})

$\left( \left| H \right>_a, \left| H \right>_b, \left| V \right>_a, \left| V \right>_b \right)$ a

({| H ⟩}_{c}, {| H ⟩}_{d}, {| V ⟩}_{c}, {| V ⟩}_{d})

$\left( \left| H \right>_c, \left| H \right>_d, \left| V \right>_c, \left| V \right>_d \right)$ .

En el puerto a, justo antes del PBS, coloco una placa de media onda (HWP) para rotar la polarización de uno de los fotones. El operador se ve así:

{\hat{O}}_{H W PAG} = [\begin{matrix} porque (2 θ) & pecado (2 θ) \\ pecado (2 θ) & porque (2 θ) \end{matrix}]

$\hat{O}_{HWP} = \begin{bmatrix} \cos(2\theta) & \sin(2\theta) \\ \sin(2\theta) & \cos(2\theta) \\ \end{bmatrix}$ dónde

θ

$\theta$ es el ángulo con el que se gira el HWP.

Entonces, si ingreso dos fotones polarizados horizontalmente, el estado después del PBS es:

| ψ ⟩ = ({\hat{O}}_{H W PAG} \otimes 1) {\hat{O}}_{PAG B S} {| H ⟩}_{a} {| H ⟩}_{b}

$\left| \psi \right> = \left(\hat{O}_{HWP} \otimes \mathbb{1} \right) \hat{O}_{PBS} \left| H \right>_a \left| H \right>_b$ (

{\hat{O}}_{H W P}

$\hat{O}_{HWP}$ sólo actúa sobre el estado en el puerto a)

En el puerto c y d, mido la salida de la siguiente manera:

Hago una matriz de densidad a partir del estado de salida: $ρ = | ψ ⟩ ⟨ ψ |$ $\rho = \left| \psi \right> \left< \psi \right|$
y un operador de medida que mide solo una cierta polarización en ambos puertos de salida, c y d, por ejemplo $\left| H \right>$ :

\hat{METRO} = | H ⟩ ⟨ H |

$\hat{M} = \left| H \right> \left< H \right|$

El valor esperado, lo encuentro rastreando:

metro = t r (\hat{METRO} ρ)

$m = tr \left( \hat{M} \rho \right)$

En mis cálculos, cambio la polarización del fotón en el puerto a iterando $\theta$ de 0 a $\pi$ y luego evalúo el valor esperado en cada paso. Para $\left| H \right>$ entrada en el puerto a y b, respectivamente, y midiendo $\left| H \right>$ en ambos puertos de salida, obtengo:

Pero lo extraño sucede cuando ingreso $\left| V \right>$ en el puerto a y b, respectivamente, y medir $\left| V \right>$ en ambos puertos de salida:

Aquí el valor esperado es constante.

Entonces mis preguntas son:

¿Qué estoy haciendo mal en mis cálculos?
¿Construyo el operador PBS de la manera correcta?
Si solo hiciera una medición en el puerto c, tendría que proyectar el estado en el puerto d en $\mathbb{1}$ . El problema es que el operador de medida es el producto exterior de dos (2x1) vectores, y no puedo hacer $\mathbb{1}$ como un vector (2x1). ¿Cómo puedo hacer un operador de medición que proyecte el estado después del PBS, por ejemplo? $\left| H \right>$ en el puerto c y $\mathbb{1}$ en el puerto d?
Cuando tengo un operador de PBS que funciona bien, ¿cómo incluyo las pérdidas en él?

Por favor, hágamelo saber si necesito dar más detalles sobre algo. ¡Muchas gracias por adelantado!

Norberto Schuch

¿Cómo describirías si dos fotones van al mismo puerto? Su codificación no parece permitir estados de dos fotones. Por lo general, los divisores de haz se escriben en segunda cuantización (es decir, transformando los operadores de creación para el campo).

flippiefanus

@NorbertSchuch: ¿le importa proporcionar una respuesta en la que describa este segundo enfoque de cuantificación para representar un divisor de haz?

Ali

@NorbertSchuch Solo estoy suponiendo, pero tal vez los fotones se acerquen al divisor de haz desde direcciones opuestas.

glS

la forma en que escribiste

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ no tiene mucho sentido: cada estado como

| H_{a} ⟩

$|H_a\rangle$ y

| H_{b} ⟩

$|H_b\rangle$ vive en un espacio de 4 dimensiones, al igual que los operadores

O_{P B S}

$O_{PBS}$ y

1 \otimes O_{H W P}

$1\otimes O_{HWP}$ . Por otro lado,

| H_{a} ⟩ | H_{b} ⟩

$|H_a\rangle|H_b\rangle$ es un estado aparentemente

8

$8$ -espacio dimensional, entonces, ¿cómo calculaste el producto allí?

Norberto Schuch

@flippiefanus en.wikipedia.org/wiki/…

flippiefanus

@NorbertSchuch: gracias, sin embargo, eso no parece funcionar para el caso general.

Norberto Schuch

@flippiefanus ¿Qué caso general? ¿Por qué no?

flippiefanus

@NorbertSchuch: no parece dar los resultados correctos para los estados de Fock, porque permite el paso de fotones sin procesar.

Norberto Schuch

@flippiefanus ¿Qué son los fotones sin procesar? ¿Es esto como la leche sin pasteurizar? Y sí, esta es la forma correcta de describir mecánicamente un divisor de haz cuántico. Esto significa que funciona en el caso general. Si no funcionara para algunos casos, no sería correcto.

usuario198150

@NorbertSchuch Esto solo describe dos fotones que van al divisor de haz desde cada uno de sus puertos; puerto a y b. Pero sí, cuando uno está

| H ⟩

$\left| H \right>$ y uno es

| V ⟩

$\left| V \right>$ , los fotones irán al mismo puerto de salida. Por lo tanto, probé otro enfoque que incluye dos estados de fotones. Un desafío ha sido definir el estado de vacío. Terminé definiendo tanto el estado del vacío, ∣H⟩ como ∣V⟩ como vectores tridimensionales (todavía en QuTiP), siendo el vacío Qobj([[1], [0], [0]]), ∣H⟩= Qobj([[0], [1], [0]]) y ∣V⟩=Qobj([[0], [0], [1]]). El operador divisor de haz se convierte entonces en una matriz de 81x81.

usuario198150

@NorbertSchuch ... Todavía no lo he implementado, pero todavía no estoy seguro de cómo incluir pérdidas en este operador (agregando porcentajes de reflectividad y transitividad) y aún tengo un operador unitario.

usuario198150

@glS

{| H ⟩}_{a}

$\left| H \right>_a$ y

{| H ⟩}_{b}

$\left| H \right>_b$ cada uno vive en un 2-dim. espacio, entonces

{| H ⟩}_{a} {| H ⟩}_{b}

$\left| H \right>_a \left| H \right>_b$ (recuerde el producto tensorial) vive en un 4-dim. espacio. También lo hace

{\hat{O}}_{P B S}

$\hat{O}_{PBS}$ y

{\hat{O}}_{H W P} \otimes 1

$\hat{O}_{HWP} \otimes \mathbb{1}$ , respectivamente. Por lo tanto, es posible calcular el producto como lo escribo arriba en la descripción.

glS

@ user198150 no, no lo hacen. Necesita un espacio bidimensional para especificar la polarización dof y otro para especificar el modo (

a

$a$ o

b

$b$ ), por lo que hay un total de cuatro modos posibles, y vectores como

| H ⟩_{a}

$|H\rangle_a$ tiene que vivir en un espacio de 4 dimensiones para especificar tanto la polarización como el modo

usuario198150

Corrección de @NorbertSchuch: las definiciones son ∣V⟩=Qobj([[0], [1], [0]]) y ∣H⟩=Qobj([[0], [0], [1]]), como se sugiere en la documentación de QuTiP. Quería usar operadores de creación y aniquilación en QuTiP para definir el operador PBS, pero no distinguen entre polarización cuando actúan sobre estados, así que recuperé el método que describí anteriormente.

usuario198150

@glS está bien, aquí podría estar el núcleo de mi problema, gracias por señalarlo. En este 4-dim. vector, estas definiciones se ven bien:

{| V ⟩}_{a}

$\left| V \right>_a$ =[1;0;0;0],

{| H ⟩}_{a}

$\left| H \right>_a$ =[0;1;0;0],

{| V ⟩}_{b}

$\left| V \right>_b$ =[0;0;1;0],

{| H ⟩}_{b}

$\left| H \right>_b$ =[0;0;0;1] ?

glS

@ user198150 sí, parece correcto. Escribí una respuesta que aborda lo que creo que fue el principal error aquí. No describí en detalle cómo funcionan los formalismos para describir la evolución de los estados de muchos bosones, ya que sería largo y probablemente quedaría fuera del alcance de esta pregunta. Si no puede encontrar descripciones de cómo funciona eso en el sitio, siéntase libre de hacer una pregunta separada.

usuario198150

@glS Soy nuevo en este sitio web y acabo de ver tu respuesta. ¡Muchas gracias! Sí, en mi caso tendré dos fotones indistinguibles como entrada al PBS, así que intentaré seguir tu consejo y ver si logro hacer bien el cálculo. Si me quedo atascado de nuevo, probablemente aparecerá otra pregunta :)

Respuestas (1)

Creación de un operador para un divisor de haz polarizador

¿Cómo describirías si dos fotones van al mismo puerto? Su codificación no parece permitir estados de dos fotones. Por lo general, los divisores de haz se escriben en segunda cuantización (es decir, transformando los operadores de creación para el campo).
@NorbertSchuch: ¿le importa proporcionar una respuesta en la que describa este segundo enfoque de cuantificación para representar un divisor de haz?
@NorbertSchuch Solo estoy suponiendo, pero tal vez los fotones se acerquen al divisor de haz desde direcciones opuestas.
la forma en que escribiste $|\psi\rangle$ no tiene mucho sentido: cada estado como $|H_a\rangle$ y $|H_b\rangle$ vive en un espacio de 4 dimensiones, al igual que los operadores $O_{PBS}$ y $1\otimes O_{HWP}$ . Por otro lado, $|H_a\rangle|H_b\rangle$ es un estado aparentemente $8$ -espacio dimensional, entonces, ¿cómo calculaste el producto allí?
@NorbertSchuch: gracias, sin embargo, eso no parece funcionar para el caso general.
@NorbertSchuch: no parece dar los resultados correctos para los estados de Fock, porque permite el paso de fotones sin procesar.
@flippiefanus ¿Qué son los fotones sin procesar? ¿Es esto como la leche sin pasteurizar? Y sí, esta es la forma correcta de describir mecánicamente un divisor de haz cuántico. Esto significa que funciona en el caso general. Si no funcionara para algunos casos, no sería correcto.
@NorbertSchuch Esto solo describe dos fotones que van al divisor de haz desde cada uno de sus puertos; puerto a y b. Pero sí, cuando uno está $\left| H \right>$ y uno es $\left| V \right>$ , los fotones irán al mismo puerto de salida. Por lo tanto, probé otro enfoque que incluye dos estados de fotones. Un desafío ha sido definir el estado de vacío. Terminé definiendo tanto el estado del vacío, ∣H⟩ como ∣V⟩ como vectores tridimensionales (todavía en QuTiP), siendo el vacío Qobj([[1], [0], [0]]), ∣H⟩= Qobj([[0], [1], [0]]) y ∣V⟩=Qobj([[0], [0], [1]]). El operador divisor de haz se convierte entonces en una matriz de 81x81.
@NorbertSchuch ... Todavía no lo he implementado, pero todavía no estoy seguro de cómo incluir pérdidas en este operador (agregando porcentajes de reflectividad y transitividad) y aún tengo un operador unitario.
@glS $\left| H \right>_a$ y $\left| H \right>_b$ cada uno vive en un 2-dim. espacio, entonces $\left| H \right>_a \left| H \right>_b$ (recuerde el producto tensorial) vive en un 4-dim. espacio. También lo hace $\hat{O}_{PBS}$ y $\hat{O}_{HWP} \otimes \mathbb{1}$ , respectivamente. Por lo tanto, es posible calcular el producto como lo escribo arriba en la descripción.
@ user198150 no, no lo hacen. Necesita un espacio bidimensional para especificar la polarización dof y otro para especificar el modo ( $a$ o $b$ ), por lo que hay un total de cuatro modos posibles, y vectores como $|H\rangle_a$ tiene que vivir en un espacio de 4 dimensiones para especificar tanto la polarización como el modo
Corrección de @NorbertSchuch: las definiciones son ∣V⟩=Qobj([[0], [1], [0]]) y ∣H⟩=Qobj([[0], [0], [1]]), como se sugiere en la documentación de QuTiP. Quería usar operadores de creación y aniquilación en QuTiP para definir el operador PBS, pero no distinguen entre polarización cuando actúan sobre estados, así que recuperé el método que describí anteriormente.
@glS está bien, aquí podría estar el núcleo de mi problema, gracias por señalarlo. En este 4-dim. vector, estas definiciones se ven bien: $\left| V \right>_a$ =[1;0;0;0], $\left| H \right>_a$ =[0;1;0;0], $\left| V \right>_b$ =[0;0;1;0], $\left| H \right>_b$ =[0;0;0;1] ?
@ user198150 sí, parece correcto. Escribí una respuesta que aborda lo que creo que fue el principal error aquí. No describí en detalle cómo funcionan los formalismos para describir la evolución de los estados de muchos bosones, ya que sería largo y probablemente quedaría fuera del alcance de esta pregunta. Si no puede encontrar descripciones de cómo funciona eso en el sitio, siéntase libre de hacer una pregunta separada.
@glS Soy nuevo en este sitio web y acabo de ver tu respuesta. ¡Muchas gracias! Sí, en mi caso tendré dos fotones indistinguibles como entrada al PBS, así que intentaré seguir tu consejo y ver si logro hacer bien el cálculo. Si me quedo atascado de nuevo, probablemente aparecerá otra pregunta :)

glS · Answer 1

Un formalismo como el que usa en su pregunta, una vez que se corrijan algunos errores, le permitirá describir correctamente la evolución de los estados de un solo fotón .

En particular, el estado de un único fotón con dos grados de libertad espacial y dos posibles estados de polarización se describe como un vector en un espacio de cuatro dimensiones. Una posible convención es usar

| V ⟩_{a} = (1, 0, 0, 0)^{T}, | H ⟩_{a} = (0, 1, 0, 0)^{T}, | V ⟩_{b} = (0, 0, 1, 0)^{T}, | H ⟩_{b} = (0, 0, 0, 1)^{T} .

$|V\rangle_a=(1,0,0,0)^T, \\ |H\rangle_a= (0,1,0,0)^T, \\ |V\rangle_b=(0,0,1,0)^T, \\ |H\rangle_b= (0,0,0,1)^T.$ Luego puede usar la matriz de evolución que proporcionó para describir la evolución de cualquier fotón de entrada a través del PBS.

Sin embargo, esto no funcionará tan pronto como tenga múltiples fotones indistinguibles como entradas. La razón es que el espacio de modos posibles de muchos fotones indistinguibles (o, más generalmente, bosones) es más pequeño que el producto tensorial de los espacios de los fotones individuales. En términos generales, esto se debe a que si los fotones son indistinguibles, estados como $|H_a\rangle|V_b\rangle$ y $|V_b\rangle|H_a\rangle$ son en realidad el mismo estado.

Para describir adecuadamente la evolución de los estados de muchos bosones, debe tener en cuenta su indistinguibilidad. Esto se puede hacer de varias maneras equivalentes: 1) usando el formalismo de segunda cuantización, que automáticamente tiene en cuenta las propiedades de simetría de los estados, 2) usando la evolución unitaria que describe correctamente cuántos estados de base de bosones evolucionan, o 3) seguir usando el formalismo estándar, pero solo calculando las amplitudes entre los estados de entrada y salida simetrizados .

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