¿Por qué la posición no está cuantizada en la mecánica cuántica?

Por lo general, en todos los ejemplos estándar de los libros de texto de mecánica cuántica, el espectro del operador de posición es continuo.

¿Hay ejemplos (no triviales) en los que se cuantifica la posición? o la cuantización de posición está prohibida por alguna razón fundamental en la mecánica cuántica (¿cuál es esa razón?)?

Actualización: por cuantización de posición quiero decir, si se mide la posición (digamos de una partícula) obtenemos solo un espectro discreto (digamos 2,5 cm y 2,7 ​​cm, pero nada en el medio, de la misma manera que los niveles de energía pueden ser discretos). En ese sentido, el patrón de interferencia de los fotones en una placa fotográfica no puede considerarse como cuantización de posición porque la densidad de probabilidad varía "continuamente" desde el máximo hasta cero (¿o me equivoco?)

la cuantización de posición es equivalente al momento periódico, y esto sucede en un cristal. La posición se cuantifica en un cristal, en una cuadrícula.

Respuestas (5)

La cuantización de posición en el vacío está prohibida por la invariancia rotacional, traslacional y de refuerzo. No existe una cuadrícula rotacionalmente invariante. Por otro lado, si tiene electrones en un potencial periódico, el resultado en cualquier banda es matemáticamente la teoría de un electrón en una red discreta. En este caso, la posición está cuantizada, por lo que la cantidad de movimiento es periódica con período p.

Dualidad de Fourier

El cuasimomento p en un cristal se define como i multiplicado por el logaritmo del valor propio del vector propio que actúa del operador de traducción del cristal. Aquí doy la definición de operadores de posición de cristal y operadores de cantidad de movimiento, que son relevantes en las bandas de unión estrecha, y describo el análogo de las relaciones de conmutación canónicas a las que obedecen estos operadores. Estas son las relaciones canónicas de conmutación del espacio discreto.

En 1d, considere un potencial periódico del período 1, la traducción por una unidad en un estado propio de energía conmuta con H, por lo que da una fase, que escribe como:

mi i pags

y para p en una zona de Brillouin − π < 0 < π esto da una fase única. La dirección p se ha vuelto periódica con período. 2 π . Esto significa que cualquier superposición de ondas p es una función periódica en el espacio p.

La transformada de Fourier es una dualidad, y una coordenada espacial periódica conduce a p discreta. En este caso, la dualidad lleva una p periódica a una x discreta. Defina el operador de posición dual usando estados propios de posición. El estado propio de posición se define de la siguiente manera en una red infinita:

| X = 0 ⟩ = ∫ 0 2 π | pags ⟩

Donde la suma está sobre la zona de Brillouin, y la suma está sobre una sola banda . Este estado viene con toda una familia de otros, que se traducen por la simetría de red:

| X = norte ⟩ = mi i PAGS norte | X = 0 ⟩ = ∫ 0 2 π mi i norte pags | pags ⟩

Estas son las únicas superposiciones que son periódicas en el espacio P. Esto permite definir el operador X como;

X = ∑ norte norte | X = norte ⟩ ⟨ X = norte |

El operador X tiene valores propios discretos, te dice a qué átomo estás vinculado. Solo te lleva dentro de una banda, no tiene elementos de matriz de banda a banda.

Las relaciones de conmutación para la cuasiposición X y el cuasimomentum P se derivan del hecho de que la traducción entera de X se realiza mediante P:

X + norte = mi − i norte PAGS X mi i norte PAGS

Este es el análogo de red de la relación de conmutación canónica. No es infinitesimal. Si haces que el incremento de traslación sea infinitesimal, la red desaparece y se convierte en la relación de Heisenberg.

Si comienza con una partícula libre, cualquier | pags ⟩ también es un estado de quasimomentum p, pero para cualquier quasimomentum p dado, todos los estados

| pags + 2 π k ⟩

tienen el mismo cuasimomento para cualquier entero k. Si agrega un pequeño potencial periódico y hace la teoría de la perturbación, estos diferentes k-estados en un cuasimomentum fijo se mezclan entre sí para producir las bandas y los estados propios de energía. | pags , norte ⟩ están etiquetados por el quasimomentum y el número de banda n:

usted define los estados de posición discretos como se indica arriba para cada banda

| X , norte ⟩ = ∫ 0 2 π mi i norte pags | pags , norte ⟩

Estos le dan el operador de posición discreto y el operador de número de banda discreto.

norte | X , norte ⟩ = norte | X , norte ⟩

si además hace que el cristal sea de tamaño finito, imponiendo límites periódicos en x, la X discreta se vuelve periódica y p se convierte en la red dual de Fourier, de modo que el número de puntos de red en x y en p son iguales, pero los incrementos son recíprocos .

Así es como se ve QM de espacio discreto de volumen finito, y no permite conmutadores canónicos, ya que estos solo emergen en un espacio de red pequeño.

¿Te refieres al "momentum" con período p o la posición?
@annav: me refiero a que el impulso periódico con el período p, que es el mismo que la posición cuantizada, es una red de tamaño 2pi/p.
"La cuantización de la posición en el vacío está prohibida por la invariancia rotacional, traslacional y de impulso" Wow... Esta es una idea increíble que nunca pensé. Siempre me pregunté si el espacio estaba cuantizado, como a la distancia de la tabla, por ejemplo. Pero si hubiera una "cuadrícula universal de espacio-tiempo", perdería la simetría traslacional y rotacional de las leyes naturales. Y eso le costaría la conservación del momento lineal y angular respectivamente. es.wikipedia.org/wiki/…
En realidad, si se cuantificara la posición en el espacio, para que se mantuviera la simetría traslacional y rotacional y, por lo tanto, para que se mantuvieran las leyes de conservación, ¿no sería necesario cuantificar la cantidad de movimiento? Si la masa, el tiempo y la energía estuvieran cuantizados, ¿no sería eso posible? ¿O no?
@John: No sé si hablas en serio, pero sí, pierdes las leyes de conservación. No es completamente trivial en la teoría de campos, porque puede tener invariancia rotacional emergente a largas distancias, como una red atómica puede tener ondas sonoras rotacionalmente invariantes. Esto no funciona porque las correcciones van a ser demasiado grandes a partir de la escala de celosía natural en la escala de Planck. Tampoco funciona en la teoría de cuerdas, donde el espacio se reconstruye holográficamente a partir de las simetrías del límite, SUSY y el espacio-tiempo, y no tienes una red, y la simetría es el ingrediente fundamental.

La respuesta es esencialmente lo que Kostya ha señalado:

La posición está cuantificada pero tiene un espectro continuo de valores propios (generalizados) porque las relaciones de conmutación canónicas en la posición y el momento prohíben que ambos sean operadores acotados (y actúen en espacios de estado de dimensión finita) por el teorema de Stone-von Neumann. Esto significa que, dadas las restricciones generales, al menos una de ellas debe ser ilimitada y, por lo tanto, debe tener un espectro continuo no vacío, lo que implica que la resolución de la identidad debe ser en términos de una integral sobre estados no físicos. Esta es la razón por la que, en general, una posición puntual específica no es un estado propio físico observable de un sistema, y ​​debe distribuirse en un intervalo denso (que está relacionado con la resolución instrumental de la medición): por ejemplo, las partículas pueden tener tanta onda localizada paquetes como lo permite nuestra resolución, pero no tienen posiciones definidas ni siquiera en principio (al menos en la mecánica cuántica estándar). Por lo tanto, las relaciones de conmutación canónicas prohíben que tenga una posición discreta si el impulso es discreto por las condiciones de contorno (por ejemplo , partícula en una caja). Esto puede parecer trivial porque la posición y el momento son generadores de traslaciones entre sí, pero el punto de la no conmutatividad y el teorema es que uno de ellos puede tener un espectro discreto (generalmente las condiciones de contorno discretizan el momento, por lo que los valores propios generalizados de posición son continuos) .

Con respecto a la semántica de "cuantificado", alguna propiedad observable está cuantizada si es un operador en el estado físico cuántico del sistema, independientemente de la discreción o continuidad de su espectro de valores propios porque, incluso en el caso continuo, está sujeto a la formalismo de la mecánica cuántica: no conmutatividad, incertidumbre, valores esperados probabilísticos... Los saltos cuánticos en valores posibles de espectros discretos son sólo la propiedad más notable del mundo cuántico, sin análogo en el mundo clásico, de ahí el nombre de mecánica cuántica, pero eso es no es una condición necesaria. Dado que existen grados de libertad puramente cuánticos (p. ej., espín), la cuantización no es fundamental, pero no obstante son observables cuánticos y no clásicos en ambos sentidos: los observables de espín pertenecen a un formalismo de álgebra de operadores,

ACTUALIZACIÓN sobre redes cristalinas:lo que Ron llama realización del espacio discreto podría ser muy engañoso. Cualquier modelo de celosía espacial no relativista (es decir, en teorías de gravedad no cuánticas) es un modelo discreto efectivo para los principales valores esperados restringidos de observables de posición real. La cuasiposición/momento de los cristales y, por lo tanto, las redes cristalinas de materia condensada, son una propiedad emergente de las simetrías de la disposición aproximada de las posiciones de equilibrio de muchos átomos. Sin embargo, cualquier medida de posición en cualquier átomo no está definida como un punto, sino que está altamente localizada alrededor de los nodos de la red. Desde un punto de vista muy riguroso, se deberían distinguir los grados fundamentales de libertad del sistema de las cantidades efectivas que emergen de las simetrías del sistema. En el caso de la materia en estado sólido, el sistema está compuesto por una gran colección de átomos cuyas interacciones colectivas restringen su localización alrededor de puntos de equilibrio bien definidos. Por lo tanto a nivel estructural podemos hablar de átomos cuasi-clásicos en posiciones fijas (los máximos de sus distribuciones de probabilidad de posición), creando así una red efectiva de cuasi-posición discreta donde el resto de las restricciones y propiedades del sistema (potenciales periódicos , cantidad de movimiento...) dan un modelo emergente para cuasi-partículas que pueden parecer espacio discretizado y cantidad de movimiento simultáneamente. Defiendo que pensar en esto como una posición puramente mecánica cuántica es engañoso, porque la red en su conjunto es clásica, aunque discreta, ya que su estructura no está sujeta a superposiciones en un espacio de Hilbert, al principio de no conmutatividad e incertidumbre, y su estructura (constante) no es una solución estática de la ecuación de Schrödinger de un sistema colectivo. Los grados de libertad fundamentales son los operadores cuánticos de posición y cantidad de movimiento de cada átomo, siempre sujetos a relaciones de conmutación canónicas y, por tanto, espectro continuo de uno de los dos, junto con la incertidumbre en la posición-cantidad de movimiento. Una cuasi-posición y cuasi-momento de una cuasi-partícula en una red cristalina NO se realiza mediante los estados propios de ninguna partícula cuántica real. En este sentido, las redes cristalinas no sirven como ejemplo de "posición cuantificada" (es decir, espectro discreto), siempre que se conserve el sustantivo "posición" para referirse a la posición ordinaria. Los átomos reales en cualquier cristal tienen una temperatura limitada distinta de cero, lo que les impide tener posiciones constantes definidas: al medir la posición de cualquier átomo en un cristal,

El modelo cuántico del que habla Ron en su respuesta es útil y agradable para la red efectiva de la que hablé anteriormente. Simplemente no llamo posición a algo que no es lo que observamos al medir la posición en partículas cuánticas, por eso hablo de cuasi-posición en ese caso. En ausencia de evidencia de un espacio-tiempo cuántico discreto, el espacio de fase cuantizado es lo que tradicionalmente se llama en física teórica hasta donde yo sé. Por lo tanto, cualquier posición y momento cuánticos reales, en el sentido de los operadores cuánticos cuyos valores esperados "obedecen" (en el sentido del Teorema de Ehrenfest ) las ecuaciones clásicas de Hamilton, y cuya evolución de Schrödinger "obedecen" (en el sentido de las aproximaciones eikonales ) las ecuaciones clásicas de Hamilton. Ecuaciones de Hamilton-Jacobi, no son simultáneamente discretos.

Las únicas teorías en las que la posición cuántica obtiene un espectro discretizado es en las teorías de gravedad cuántica como la gravedad cuántica de bucle , donde los grados fundamentales de libertad del espacio (y el tiempo) se cuantifican (no confunda la posición cuántica como antes, que es la posición newtoniana relacionada con cuerpos de referencia, con posición tal como se entiende en la relatividad general, donde el espacio-tiempo es el campo gravitatorio). Ahí obtienes un gráfico granular de nodos que forman el espacio mismo, y nuestras posiciones continuas tradicionales son solo aproximaciones (incluso a nivel atómico) de la posición relacional dada por un campo gravitacional plano.

Declaré claramente lo que quería decir con la palabra cuantización en la pregunta. No me refiero al "procedimiento" de cuantización por el cual uno promueve el momento clásico, por ejemplo, en un operador que es igual a − i ℏ ∇ . En ese sentido, Spin no está cuantizado porque no tiene un análogo clásico. De todos modos, nuevamente, estaba hablando de la cuantización del espectro.
He agregado más a mi respuesta al principio, con la esperanza de responder de manera más concreta al problema del espectro discreto para la posición debido a las relaciones de conmutación canónicas.
-1: Esta respuesta básicamente dice que [x,p]=i significa que no hay x cuantificada. Esto es matemáticamente cierto, pero a la vez obvio y ridículo: la idea misma de un generador infinitesimal de x traslaciones significa que x es continua desde el principio. La deducción es falsa para el ejemplo de una cuasipartícula en una red cristalina de volumen finito donde el momento y la posición de la cuasipartícula son discretos. Todavía es QM, pero la conmutación canónica falla, obtienes la versión discreta con exponenciales de P en su lugar, y esta es la declaración matemática correcta de x discreta. El resto es prolijo e irrelevante.
El teorema de Stone-von Neumann no es obviamente trivial y, junto con las relaciones canónicas de conmutación, no son ridículos porque incluso si x y p son mutuamente generadores infinitesimales de traslaciones en el espectro del otro, uno de ellos puede tener espectro discreto, pero no ambos, y eso no es obvio a priori. Las cuasi-posición/momento que no obedecen al conmutador canónico no son lo que yo entiendo como posición/momento en el sentido del espacio de fase cuantizado de las trayectorias clásicas.
Por otro lado, descalificar la respuesta de otras personas como prolija e irrelevante es subjetivo e innecesario. De hecho, fue una respuesta prolija (ahora recortada a lo obvio y ridículo) pero no irrelevante en absoluto si a la persona que quiere saber sobre cuantización, espectros y posición le gusta una interrelación de ideas más profunda. Por ejemplo, una distinción cuidadosa entre el espectro discreto y el observable cuantizado y su relación con los diferentes escenarios matemáticos de la mecánica cuántica y clásica. Sin embargo, para satisfacer a usuarios como Ron Maimon, algunos de nosotros preferimos ser breves, obvios y ridículos.
@JavierÁlvarez: Me excedí en las críticas, probablemente porque estaba de mal humor. La respuesta no es mala pero intimidante debido al rigor, y simplemente no es cierto que no se puede discretizar x en QM. La prueba real del teorema de Stone-Von-Neumann procede reformulando la condición de conmutación canónica usando P's y X's unitarios exponenciados que hacen traslaciones entre sí. Si reemplaza P's por Brillouin zone P's y X's por lattice X's, obtiene un excelente conjunto alternativo de conmutadores canónicos, tan buenos como los habituales, excepto que no tienen simetría rotacional. Estos describen sólidos.
@RonMaimon: Estoy muy interesado, ¿podría proporcionar una referencia bibliográfica concreta (o más si es posible) que trate en detalle los llamados conmutadores canónicos alternativos para los operadores P/X de la zona de Brillouin y/o la deducción de que las cuasipartículas tienen un espectro discreto tanto en P como en X? Gracias.
@JavierÁlvarez: No, no puedo dar una referencia, es posible (aunque extremadamente improbable) que nadie excepto yo lo haya dicho así. Esto se conoce como redes duales de Fourier en matemáticas, es bien conocido, y la cantidad de pseudomomentum es dual a una posición de red cristalina. La conmutación es solo en operadores P exponenciados, como aparece en el artículo de Stone y Von-Neumann, que usted cita.
@JavierÁlvarez: Ok, leí la respuesta extendida --- Estoy de acuerdo con las adiciones en su mayor parte, pero hay un punto en el que estoy muy en desacuerdo --- incluso si cuantizas la red atómica, para que consideres núcleos cuánticos interactuando con electrones cuánticos, aún obtienes la red discreta emergiendo en una banda. Esto se mantiene incluso a temperatura finita, hasta la temperatura de fusión, es un ejemplo de ruptura espontánea de la simetría de la simetría de traslación, y no depende de tener un potencial externo. Lo único que requiere es un sistema muy grande, para que te aproximes a SSB.
@RonMaimon: Está bien. Nuestra diferencia es más semántica que física, simplemente me abstengo de llamar a la posición cuántica los observables que definen su red, pero eso puede ser más un sesgo metafísico y matemático mío. Las cuasi-posiciones reticulares son nuevos observables para modelar el sistema en esas situaciones, pero los tradicionales observables de posición-momento de cada partícula están disponibles entonces y en cualquier otra situación, y por eso los llamo posición-momento real, a menos que saber nada sobre el espacio-tiempo cuántico.
@JavierÁlvarez: Tiene razón, no tenemos ningún desacuerdo (pero corrija la afirmación de que esto se arruina por la cuantificación de los movimientos nucleares o por la fluctuación térmica). Pero el punto es que la teoría efectiva de la red tiene un cuasimomento conservado que es dual a una cuasiposición discreta, por lo que te da información sobre cómo se ve QM en un espacio discreto. No es una descripción fundamental a altas energías, pero es un modelo que está disponible en la naturaleza y te permite obtener una idea de lo que hacen las teorías del espacio discreto.
@RonMaimon: mmm ... No encuentro lo que quieres decir con "movimientos nucleares cuantificados", no hablé sobre la estructura interna de los átomos en ningún momento. Con respecto a las vibraciones atómicas térmicas, no hay choque ni contradicción entre eso y el modelo de red del que hablas, solo lo menciono para señalar que no existen átomos observables con una posición definida similar a un punto, incluso dentro de una estructura de estado sólido. Tiene razón, esos modelos son útiles y perspicaces (tal vez incluso para la gravedad emergente y los espaciotiempos discretos), soy muy conservador con respecto a cómo llamar espacio y espaciotiempo.
@JavierÁlvarez: toda la discusión con "porque la red en sí es clásica aunque discreta... posición real observable..." todo eso habla de cuantificar el movimiento de traslación nuclear (eso es lo que significa "posición atómica") y está completamente equivocado . No importa si tiene núcleos cuantizados o clásicos, todavía tiene bandas, y esto persiste a una temperatura finita hasta que el cristal se derrite. También es una crítica equivocada de mi respuesta, y su mención de Hamilton-Jacobi es una cortina de humo. No hay nada malo con la mecánica cuántica del espacio discreto.
@RonMaimon: parece que tiene dificultades con los intentos de otras personas de justificar el uso de cierta terminología si no están de acuerdo con la suya. Hamilton-Jacobi se mencionaron para ayudarme a aclarar lo que entiendo por posición, es decir, cualquier observable cuántico cuyo comportamiento estadístico de grano grueso tiende a la dinámica de un observable de posición clásico. No importa cuánto desee bandas y redes para ejemplificar una mecánica cuántica espacial discreta, ninguna partícula en ninguna red o banda tiene estados propios observables como puntos, por lo tanto, no hay espectro discreto, no me refiero a nada más que eso.

Entonces, suponga que tiene un estado propio de X ^ :

X ^ | ψ ⟩ = X | ψ ⟩
Ahora actuemos con X ^ en mi i pags ^ d | ψ ⟩ , y usa esta fórmula (tengo ℏ = 1 ):
X ^ mi i pags ^ d | ψ ⟩ = mi i pags ^ d ( X ^ + i d [ pags ^ , X ^ ] + i d 2 ! [ pags ^ , [ pags ^ , X ^ ] ] + i d 3 ! [ pags ^ , [ pags ^ , [ pags ^ , X ^ ] ] ] + . . . ) | ψ ⟩ =
= mi i pags ^ d ( X ^ + d ) | ψ ⟩ = ( X + d ) mi i pags ^ d | ψ ⟩
Entonces tienes otro estado propio, desplazado a una distancia arbitraria d .

Parece que este resultado es válido para cualquier par de observables con conmutador constante .

De esta derivación parece que funciona para [ PAGS , X ] = F ( X ) , dónde F ( X ) podría ser más complicado que 1 . Entonces no obtienes el + d , sino un desplazamiento por una función de d y el valor propio X . (Sin embargo, no sé sobre la convergencia y la realidad de la serie).
Esto también supone un conmutador constante. La relación de conmutación tiene que fallar para el espacio-tiempo discreto --- falla para los operadores de posición y momento para las cuasipartículas en la red, por lo que se obtienen las zonas de Brillouin. Al reducir la dinámica de cada banda, se obtiene la formulación QM de celosía correcta. Su único problema físico es la falta de simetría, sin rotaciones ni impulsos.
@RonMaimon Estoy realmente desconcertado acerca de esta cosa de cristal de la que todos hablan. Por lo que recuerdo, las relaciones de conmutación para los modos de cristal siguen siendo [ X k , q yo ] = i d k yo , ¿no?
@RonMaimon: Tengo el mismo problema que Kostya y he pedido referencias sobre los detalles de la definición completa de los llamados operadores x/p en el caso de los cristales. Quiero ver por favor su deducción e interpretación. Sin embargo, la red discreta de la que alguien habla, eso no puede ser fundamental, ya que los átomos vibran alrededor de las posiciones de equilibrio que provienen de los principales valores esperados de la posición del espacio de fase cuantificada, por lo tanto, están sujetos a las relaciones de conmutación canónicas ordinarias y al principio de incertidumbre. Malentendido de un modelo discreto para promedios de equilibrio enrejado colectivo con posición real.
@Kostya: si se restringe a una banda en un modelo de enlace estricto, los estados ya no obedecen la conmutación canónica con el pseudomomento cristalino y las traducciones discretas de cristal. La conmutación canónica es para la teoría fundamental, para el operador x que permite una precisión infinita, no para la descripción de una banda.
@JavierÁlvarez: El operador p en un cristal es el pseudomomento , es la simetría de desplazamiento finito que queda después de que el cristal rompe la simetría a una red. Hace que el espacio p sea periódico. El espacio x es el dual de este espacio periódico, es una red. El pseudomomento no es el momento fundamental real. No estoy malinterpretando nada --- Sé que la descripción de la red es efectiva a largas distancias --- pero así es como se ve la QM de red, la conmutación canónica falla, solo tiene una función de onda en una red. Es por eso que no me gustan las dos respuestas aquí.
@RonMaimon ¿No está diciendo básicamente que "si uno comienza con un espacio discretizado, entonces llegará a un espacio discretizado" ?
@Kostya: Estoy diciendo que si comienza con un potencial periódico y restringe la atención a una banda, tiene una realización natural del espacio discreto. Obtiene X discreto naturalmente en QM a partir de la teoría de bandas, es una parte importante de la teoría. El operador de posición definido en una banda es solo la mecánica cuántica del espacio discreto, y no obedece a relaciones de conmutación canónicas. Lo expliqué con más detalle en la respuesta ampliada. Por supuesto, si se comienza con un espacio discreto, se permanece en un espacio discreto, incluso después de definir traslaciones discretas e imponer simetría de traslación discreta.
@RonMaimon: a uno le pueden disgustar muchas cosas según la conceptualización de los modelos y teorías científicas. Pero eso, sin embargo, no permite mezclar dos conceptos diferentes para justificar la propia respuesta. Explico mi posición sobre una adición en mi respuesta.
@JavierÁlvarez: No me gusta por "conceptualización de modelos científicos de teorías", sino porque el supuesto de conmutación canónica es exactamente equivalente al supuesto de espacio continuo, y es obvio que uno implica al otro. Si alguien pregunta por qué X es discreto, uno no puede usar conmutadores canónicos para argumentarlo, porque es una suposición equivalente. Debe comprender cómo se ve un X QM discreto y argumentar que no corresponde a la naturaleza, no que esté prohibido por una identidad matemática que se deriva de la suposición de continuidad.
@RonMaimon: De hecho, aunque hice hincapié en que la suposición de continuidad solo garantiza la continuidad para el espectro de solo uno de un par de observables canónicamente conjugados. Eso justifica una parte del argumento, y la otra como dices debe ser justificada por correspondencia con la naturaleza. Solo trato de enfatizar que también se me permite que me disgusten las cosas, en este caso no me gusta poner en el mismo nivel conceptual modelos cuánticos para la localización en relación con una red formada por átomos con espacio-tiempo cuántico per se.

Depende de lo que uno defina como "posición".

En los cristales, por ejemplo, existe una rejilla tridimensional en la que se permiten los átomos, apilados en celdas unitarias, por lo que hay cuantización en el espacio a observar, y están involucradas soluciones mecánicas cuánticas. Más numerosas son las soluciones de interferencia de ondas qm que también muestran una cuantización del espacio, donde algunas posiciones son más probables que otras. Entonces no es cierto que la posición no sea cuantificable.

Todas las soluciones donde se cuantifica la energía involucran también materia y potenciales. Una partícula libre no muestra una cuantización de la energía ya que no muestra una cuantización de la posición.

Si la pregunta es si el espacio está intrínsecamente cuantificado, como lo sería también si uno preguntara si la energía está intrínsecamente cuantificada, es decir, viene en un paquete mínimo, esa es otra pregunta.

Se debe tener en cuenta el hecho de que la noción de 'posición de partículas' en la mecánica cuántica no tiene sentido. No se puede hablar de la posición de una partícula al igual que no se puede hablar de un camino específico tomado por la partícula. La posición de una partícula en la mecánica cuántica no es una variable dinámica como lo es en la mecánica newtoniana, no existe como tal. La relación de conmutación [p,x]=ih(bar) utilizada por algunos nos dice que no es posible medir tanto x como p con una precisión arbitrariamente alta, por lo que el principio de incertidumbre de Heisenberg resulta de ello. Se puede encontrar una buena pista de si la posición está cuantificada o no observando la TDSE (ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo). La estructura matemática de la ecuación, que es una ecuación diferencial en x, y, z y t, requiere que tanto la posición como el tiempo sean variables continuas. Este requisito es necesario para la definición de la función de onda, pero nadie sabe dónde está realmente la partícula descrita por la función de onda, y mucho menos si su posición está cuantizada o no. No se debe confundir la cuantificación de los orbitales electrónicos en los átomos con la cuantificación de la posición.

En mecánica cuántica no relativista, la posición es una variable dinámica, según la definición habitual: un operador que evoluciona según la ecuación de movimiento X ˙ = i [ H , X ] en el cuadro de Heisenberg. Es solo en QFT que la posición se degrada a un índice continuo, como el tiempo en QM no relativista. Además, no es "sin sentido" hablar sobre la posición de una partícula, es simplemente que no puede conocer la posición con precisión arbitraria, debido a las relaciones de conmutación que mencionó.
Gracias por tu respuesta. La pregunta es tanto matemática como física. El teorema de Ehrenfest puede dar la evolución de la posición media, <x>, de la partícula con precisión. Si como usted dice "..., es simplemente que no puede saber la posición con precisión arbitraria, ..." entonces, ¿sigue siendo significativo preguntar dónde está la partícula? La imposibilidad de saber exactamente dónde está la partícula no está sujeta a mejoras por mediciones de mayor precisión, pero requiere un compromiso en la precisión del momento. Solo la función de onda puede decirnos dónde puede estar la partícula, pero de forma probabilística.
Yo diría que la posición es un concepto significativo, solo tiene que ser revisado desde el concepto clásico ingenuo. Seguramente tiene sentido preguntar dónde está un electrón. Por ejemplo, el experimento de la doble rendija de Young se basa en distinguir dónde aterrizan los electrones en una pantalla (obviamente con cierta incertidumbre intrínseca); así es como se construye el famoso patrón de interferencia. Etcétera etcétera. Pero de todos modos, esto es más una cuestión de terminología/filosofía que de física, solo quería llamar su atención sobre la posibilidad de que su redacción podría ser un poco engañosa si se toma literalmente.
Gracias por eso. Bohr y Einstein discutieron sobre el significado de QM y si la realidad objetiva de las cosas tiene algún sentido, ¡hasta el final de sus vidas! Lo importante es lo que demuestra el experimento. Decir que la partícula ha pasado por una rendija u otra en el DSE de Young es una cosa. Cuando haces el experimento para probar esto, pronto descubres que el patrón de interferencia se ha ido y por una buena razón. El punto de la posición del electrón en la pantalla es sólo el resultado de su interacción, wf colapso como lo llaman. ¡Hasta ahora Bohr parece haber ganado la discusión!
¿Por qué la posición no está cuantizada en la mecánica cuántica?
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