Temperatura de salida del gas a través de una tubería.

Aunque este es un problema difícil de modelar, un simple análisis térmico agrupado puede brindar cierta comprensión y una solución aproximada.

Consideraremos que el flujo de material a través de la tubería es flujo pistón y estudiaremos la temperatura de un elemento de masa pequeña$dx$viajando por la tubería.

Usando la ley de enfriamiento/calentamiento de Newton y considerando únicamente las pérdidas de calor por convección , podemos escribir:

$$\frac{dQ}{dt}=u(T-T_{\infty})dA,$$

donde LHS es el flujo de calor que sale del elemento,$u$el coeficiente global de transferencia de calor ,$dA$el área superficial del elemento,$T$su temperatura y$T_{\infty}$la temperatura ambiente Desarrollando un poco, obtenemos:

$$\frac{dQ}{dt}=\pi Du(T-T_{\infty})dx,\tag{1}$$

dónde$D$es el diámetro exterior de la tubería.

Como el elemento ha perdido calor:

$$dQ=-dmc_pdT$$

$c_p$es la capacidad calorífica del gas. Dividiendo ambos lados por$dt$y con$\dot{m}=\frac{dm}{dt}$da:

$$\frac{dQ}{dt}=-\dot{m}c_pdT,\tag{2}$$

dónde$\dot{m}$es el rendimiento másico del gas.

usando la identidad$(1)=(2)$, obtenemos una ecuación diferencial simple:

$$-\dot{m}c_pdT=\pi Du(T-T_{\infty})dx$$

$$\frac{dT}{T-T_{\infty}}=-\frac{\pi Du}{\dot{m}c_p}dx=-\alpha dx,\tag{3}$$

dónde:

$$\alpha=\frac{\pi Du}{\dot{m}c_p}$$

integrando$(3)$entre$0, T_1$y$L, T_2$da:

$$\ln\frac{T_2-T_{\infty}}{T_1-T_{\infty}}=-\alpha L,\tag{4}$$

dónde$T_1$y$T_2$son las temperaturas de entrada y salida del gas, respectivamente y$L$es la longitud de la tubería. De$(4)$,$T_2$se puede extraer fácilmente.

El coeficiente global de transferencia de calor$u$se puede estimar a partir de:

$$\frac1u\approx\frac{1}{h_1}+\frac{\theta}{k}+\frac{1}{h_2},$$

dónde$h_1$es el coeficiente de transferencia de calor por convección gas/mica,$k$la conductividad térmica de la mica,$\theta$el espesor de la pared y$h_2$es el coeficiente de transferencia de calor por convección mica/aire.

Limitaciones del modelo:

A alta temperatura, la convección no es el único modo de pérdida de calor: la pérdida por radiación también será importante. Esto se puede corregir agregando una función de pérdida de calor por radiación a$(1)$. Con Stefan-Boltzmann la función de pérdida sería:

$$\sigma\epsilon(T^4-T^4_{\infty})dA$$

En segundo lugar, suponer un flujo pistón en el caso de un fluido de baja viscosidad y baja velocidad como un gas caliente no es muy realista. Sin embargo, asumir el flujo laminar requiere un enfoque matemático mucho más exigente.

Evaluación numérica:

$(4)$reelaboraciones a:

$$T_2=T_{\infty}+(T_1-T_{\infty})e^{-\alpha L}$$

Para estimar$\alpha$, Solía:

$u\approx 17\:\mathrm{Wm^{-1}K^{-1}}$, basado en datos OP y valores de la literatura.

$c_p=1000\:\mathrm{Jkg^{-1}K^{-1}}$

$\dot{m}=0.000009\:\mathrm{kg/s}$

$D=0.010\:\mathrm{m}$

Lo que da una estimación de$\alpha\approx 70\:\mathrm{m^{-1}}$.

Con$T_1=1100\:\mathrm{C}$y$T_{\infty}=20\:\mathrm{C}$, con$L=1\:\mathrm{m}$, Yo obtengo:

$$T_2\approx 20\:\mathrm{C}$$

así que termino$1\:\mathrm{m}$, el gas se habría enfriado por completo.

Para otras longitudes de tubería$x$, evaluar como:

$$T_2=20+1080e^{-70x}$$