¿Existe algún sistema de Mecánica Clásica que deba ser descrito por un espinor?

Sí, existe un sistema simple que se describe de manera eficiente utilizando espinores de 2 componentes: la dinámica de un trompo clásico.

Como dice Andrew Steane, en su excelente introducción de pregrado a los espinores https://arxiv.org/abs/1312.3824

“ Parece que [Felix] Klein diseñó originalmente el espinor para simplificar el tratamiento de la peonza clásica en 1897. La comprensión más completa de los espinores como objetos matemáticos se atribuye a Elie Cartan en 1913. Están estrechamente relacionados con los cuaterniones de Hamilton (alrededor de 1845). ”

Dado que una definición de un espinor es su identidad de 720 grados bajo rotación, los cuaterniones de Hamilton, utilizados para describir, por ejemplo, rotaciones en imágenes de computadora y aeronáutica, también se pueden considerar como espinores de un tipo relativamente simple pero clásico.

Para una discusión más detallada, consulte el capítulo 5 de las conferencias del MIT de Laszlo Tisza sobre álgebra geométrica aplicada ( https://ocw.mit.edu/resources/res-8-001-applied-geometric-algebra-spring-2009/lecture-notes -contenido/Ch5.pdf )

Los vectores complejos de dos componentes se denominan tradicionalmente espinores. Deseamos mostrar que dan lugar a una amplia gama de aplicaciones. De hecho, introduciremos el concepto de espinor como una respuesta natural a un problema que surge en el contexto del movimiento de rotación. ”

El capítulo de Tisza pasa de las tríadas a los parámetros de Cayley-Klein y de ahí a los espinores de dos componentes complejos. Técnicamente, sus espinores serían espinores de Pauli no relativistas en lugar de espinores de Weyl, ya que se transforman bajo SU(2) en lugar de SL(2,C).

El mismo tema (sin juego de palabras) es abordado por David Hestenes en New Foundations for Classical Mechanics (2nd ed. pp. 466+) y, en términos de parámetros de Cayley-Klein únicamente, por Springborn en https://arxiv. org/pdf/math/0007206.pdf (Goldstein, según lo aconsejado por Alex Nelson arriba, menciona a los espinores en su 2.ª ed. (1980); pero no en su 3.ª ed. (2002), ni, según Hestenes en la 1.ª ed. 1950 o 1951).

Adición tardía : el artículo de David Hestenes Vectores, espinores y números complejos en física clásica y cuántica aborda la pregunta del OP de manera más directa.

" Un uso más amplio de los espinores en la mecánica clásica debería disipar la impresión errónea generalizada de que los espinores son una característica especial de la mecánica cuántica " .

Pero debe tenerse en cuenta que la definición de espinor de Hestenes se basa en una interpretación del i en el plano complejo habitual como un bivector, lo que le permite etiquetar el plano complejo como el "plano i del espinor ". Esta interpretación se desarrolla en la Sección 2-2. The Algebra of a Euclidean Plane ' en sus New Foundations for Classical Mechanics (op. cit.).

Adición posterior : para aquellos interesados ​​en el origen de los espinores, aunque esto no es estrictamente de naturaleza mecánica, uno podría echar un vistazo a un par de artículos de Jerzy Kocik, en los que argumenta que la parametrización de las ternas pitagóricas de Euclides es (por ¡un par de milenios!) "la primera aparición del concepto de espinores" https://arxiv.org/abs/1201.4418 y https://arxiv.org/pdf/1909.06994.pdf

Sería negligente si no señalara el " truco del cinturón ". Es un sistema físico cuyas características primarias son las de un espinor. La página de Spinor de Wikipedia también tiene algunos ejemplos ridículos con una esfera que gira mientras está atada con cinturones.

En realidad, este es un aspecto muy importante en las artes marciales cuando se trata de bloqueos de articulaciones. Tus pies suelen estar anclados al suelo. Si alguien quiere girar a tu alrededor y puedes moverte de una manera simplemente conectada (como la de los espinores), no puede obligarte a perder el equilibrio. Un ejemplo extremo de esto es la danza de las velas balinesas. En ese baile (o cualquiera de los relacionados), uno hace girar una vela en forma de espinor, demostrando el comportamiento simplemente conectado. Uno comienza de pie, luego cae de rodillas, luego se sienta y finalmente lo hace con un hombro en el suelo, moviendo el punto de raíz más y más cerca de la vela (disminuyendo la cantidad de articulaciones que tiene disponibles para lograr el movimiento)

No estoy seguro de cómo traducir esto, pero los cuaterniones se pueden usar como una forma sencilla de representar órbitas elípticas clásicas.

Hice un poco de gráficos para demostrar esto. Puede mantener presionado el botón derecho del mouse y mover el mouse para ver diferentes perspectivas. Haz clic en cada imagen para ver la siguiente.

Después de cada multiplicación simple de cuaterniones, se obtiene la ubicación en el espacio y el avance o retraso en el tiempo cuando la entidad en órbita se encuentra en esa ubicación.