Velocidad en un marco de referencia giratorio

Sean dos sistemas ortonormales$Oxyz$,$O'x'y'z'$con un movimiento general (traslación más rotación) entre sí y una partícula puntual$\rm P$, ver figura.

Convenciones de símbolos:

1.Los vectores de posición$\mathbf{R}$, velocidad$\mathbf{U}$y aceleración$\mathbf{A}$de una partícula con respecto a$Oxyz$expresadas por coordenadas de este mismo sistema se simbolizan con letras mayúsculas en negrita.

2.Los vectores de posición$\mathbf{r}^{\prime}$, velocidad$\mathbf{u}^{\prime}$y aceleración$\mathbf{a}^{\prime}$de una partícula con respecto a$O'x'y'z'$expresadas por coordenadas de este mismo sistema se simbolizan con letras minúsculas acentuadas en negrita.

3.Los vectores de posición$\mathbf{R}^{\prime}$, velocidad$\mathbf{U}^{\prime}$y aceleración$\mathbf{A}^{\prime}$de una partícula con respecto a$Oxyz$expresado por coordenadas del otro sistema$O'x'y'z'$se simbolizan con letras mayúsculas acentuadas en negrita y finalmente

4.Los vectores de posición$\mathbf{r}$, velocidad$\mathbf{u}$y aceleración$\mathbf{a}$de una partícula con respecto a$O'x'y'z'$expresado por coordenadas del otro sistema$Oxyz$se simbolizan con letras minúsculas en negrita.

Dado que los dos sistemas son ortonormales, cualquier vector acentuado (mayúsculas$\mathbf{V}^{\prime}$o minúsculas$\mathbf{v}^{\prime}$) que se expresa con$O'x'y'z'$-las coordenadas se pueden expresar con$Oxyz$-coordenadas a través de una transformación ortonormal$\;\Bbb{S}(t)\;$

$$\begin{equation} \mathbf{V}=\Bbb{S}\;\mathbf{V}^{\prime} \quad \text{or} \quad \mathbf{v}=\Bbb{S}\;\mathbf{v}^{\prime} \tag{01} \end{equation}$$ con propiedades $$\begin{equation} \Bbb{S}\Bbb{S}^{\top}=\Bbb{I}= \Bbb{S}^{\top}\Bbb{S},\quad \det\left(\Bbb{S}\right)=+1 \tag{02} \end{equation}$$ Esta transformación representa también la rotación que cuando se aplica al sistema $Oxyz$lo pone en coincidencia con $O'x'y'z'$.

PARTE 1: Velocidades

Sea una partícula en movimiento en el punto$\rm P$en el momento$t$. Su vector de posición relativo a$\;Oxyz\;$es$\;\mathbf{R}(t)\;$y

$$\begin{equation} \mathbf{R}\left(t\right)=\mathbf{R}_{0}\left(t\right)+\mathbf{r}\left(t\right) \tag{03} \end{equation}$$ dónde $\mathbf{r}(t)$es su vector de posición relativo a $\;O'x'y'z'\;$expresado con $\;Oxyz$-coordenadas. También $\mathbf{R}_{0}\left(t\right)$es el vector de posición del origen $O'$relativo a $\;Oxyz\;$expresado con $\;Oxyz$-coordenadas. Entonces $$\begin{equation} \mathbf{R}(t)=\mathbf{R}_{0}(t)+\mathbf{r}(t)=\mathbf{R}_{0}(t)+\Bbb{S}(t)\:\mathbf{r}^{\prime}(t) \tag{04} \end{equation}$$ Debe notarse que el operador de rotación $\;\Bbb{S}(t)\;$depende generalmente del tiempo como todas las demás cantidades $\mathbf{R},\mathbf{U},\mathbf{A},\mathbf{r},\mathbf{u},\mathbf{a}, \ldots$

De ahora en adelante en todas las ecuaciones dejaremos de lado la dependencia explícita del tiempo$\;t\;$y así la ecuación anterior (04) toma la forma simple

$$\begin{equation} \mathbf{R}=\mathbf{R}_{0}+\mathbf{r}=\mathbf{R}_{0}+\Bbb{S}\:\mathbf{r}^{\prime} \tag{05} \end{equation}$$

También usaremos uno, dos o cualquier número de puntos para expresar las derivadas temporales de primer, segundo o de cualquier orden respectivamente para cualquier cantidad (escalar, vector, matriz, etc.).

Tomando derivadas temporales de la ecuación (05) tenemos

$$\begin{equation} \overset{_{^{\bullet}}}{\mathbf{R}}=\overset{_{^{\bullet}}}{\mathbf{R}}_{0}+\overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{S}}\mathbf{r}^{\prime}+\Bbb{S}\overset{_{_{\bullet}}}{\mathbf{r}^{\prime}} \tag{06} \end{equation}$$ Escrito como $$\begin{equation} \mathbf{U}=\mathbf{U_{0}}+\overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{S}}\:\Bbb{S}^{\top}\:\mathbf{r}+\Bbb{S}\:\mathbf{u}^{\prime} \tag{07} \end{equation}$$ o $$\begin{equation} \mathbf{U}=\mathbf{U_{0}}+\overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{S}}\:\Bbb{S}^{\top}\:\mathbf{r}+\mathbf{u} \tag{08} \end{equation}$$ donde por definición $$\begin{eqnarray} \mathbf{U}\equiv & \overset{_{^{\bullet}}}{\mathbf{R}}\; &=\;\text{velocity of particle relative to $Oxyz$ at time $t$} \nonumber\\ \mathbf{U_{0}}\equiv & \overset{_{^{\bullet}}}{\mathbf{R}}_{0}\; &=\;\text{velocity of origin $O'$ relative to $Oxyz$ at time $t$} \nonumber\\ \mathbf{u}^{\prime} \equiv & \overset{_{_{\bullet}}}{\mathbf{r}^{\prime}}\; &=\;\text{velocity of particle relative to $O'x'y'z'$ at time $t$} \nonumber\\ \mathbf{u}\equiv & \Bbb{S}\:\mathbf{u}^{\prime}\; & =\;\text{as $\mathbf{u}^{\prime}$ but expressed in $Oxyz$-coordinates} \nonumber \end{eqnarray}$$

Ahora, analicemos el término$\overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{S}}\:\Bbb{S}^{\top}$en la ecuación (08). Derivando la primera ecuación en (02) tenemos

$$\begin{equation} \Bbb{S}\Bbb{S}^{\top}=\Bbb{I}\ \Rightarrow\ \overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{S}}\:\Bbb{S}^{\top}+\Bbb{S}\:\overset{_{^{\bullet}}}{\left(\Bbb{S}^{\top}\right)}=\Bbb{O} \tag{09} \end{equation}$$ pero $$\begin{equation} \overset{_{^{\bullet}}}{\left(\Bbb{S}^{\top}\right)}\:=\:\left(\overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{S}}\right)^{\top} \tag{10} \end{equation}$$ entonces $$\begin{equation} \overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{S}}\:\Bbb{S}^{\top}\:=\:-\:\left(\overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{S}}\:\Bbb{S}^{\top}\right)^{\top} \tag{11} \end{equation}$$ La siguiente matriz definida $$\begin{equation} \Bbb{W}\:\equiv\:\overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{S}}\:\Bbb{S}^{\top}\:=\:\text{antisymmetric matrix} \tag{12} \end{equation}$$ puede ser representado por el vector $\boldsymbol{\Omega}$
$$\begin{equation} \Bbb{W}\:\equiv\:\overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{S}}\:\Bbb{S}^{\top}\:=\: \begin{bmatrix} 0&-\Omega_3&+\Omega_2\\ &&\\ +\Omega_3&0&-\Omega_1\\ &&\\ -\Omega_2&+\Omega_1&0 \end{bmatrix} \:=\:\boldsymbol{\Omega}\:\boldsymbol{\times} \tag{13} \end{equation}$$ Entonces la ecuación (08) se expresa como $$\begin{equation} \mathbf{U}\:=\:\mathbf{U_{0}}+\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\times}\mathbf{r}+\mathbf{u} \tag{14} \end{equation}$$ Tenga en cuenta que $\;\mathbf{r}\;$y $\;\mathbf{u}\;$son la posición y la velocidad relativas al sistema $\;O'x'y'z'\;$pero expresado como todos los vectores en la ecuación anterior en $\;Oxyz$-coordenadas. el vector $\;\boldsymbol{\Omega}\;$no es otra cosa que la velocidad angular instantánea del sistema $\;O'x'y'z'\;$relativo al sistema $\;Oxyz$. Así que observador $\;Oxyz\;$'construye' el vector de velocidad de una partícula $\;\mathbf{U}\;$de 3 términos: (1) la velocidad $\;\mathbf{U_{0}}\;$debido al movimiento de traslación del sistema $\;O'x'y'z'\;$como un todo, (2) la velocidad orbital $\;\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\times}\mathbf{r}\;$debido al movimiento de rotación del sistema $\;O'x'y'z'\;$como un todo y (3) la velocidad $\;\mathbf{u}\;$de la partícula relativa al sistema $\;O'x'y'z'\;$.

$$\begin{equation} \mathbf{U}\:=\:\underset{\text{$O'x'y'z'$ translation}}{\underbrace{\mathbf{U_{0}}}}+\underset{\text{due to $O'x'y'z'$ rotation}}{\underbrace{\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\times}\mathbf{r}}}+\mathbf{u} \tag{15} \end{equation}$$

PARTE 2: Aceleraciones

Tomando derivadas temporales de la ecuación (06) tenemos

$$\begin{equation} \begin{split} \overset{_{^{\bullet\bullet}}}{\mathbf{R}}&=\overset{_{^{\bullet\bullet}}}{\mathbf{R}}_{0}+\left[\overset{_{^{\bullet\bullet}}}{\Bbb{S}}\mathbf{r}^{\prime}+\overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{S}}\:\overset{_{_{\bullet}}}{\mathbf{r}^{\prime}}\right]+\left[\overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{S}}\:\overset{_{_{\bullet}}}{\mathbf{r}^{\prime}}+\Bbb{S}\:\overset{_{_{\bullet\bullet}}}{\mathbf{r}^{\prime}}\right]\\ &=\overset{_{^{\bullet\bullet}}}{\mathbf{R}}_{0}+\overset{_{^{\bullet\bullet}}}{\Bbb{S}}\mathbf{r}^{\prime}+2\:\overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{S}}\:\overset{_{_{\bullet}}}{\mathbf{r}^{\prime}}+\Bbb{S}\:\overset{_{_{\bullet\bullet}}}{\mathbf{r}^{\prime}}\\ &=\overset{_{^{\bullet\bullet}}}{\mathbf{R}}_{0}+\overset{_{^{\bullet\bullet}}}{\Bbb{S}}\mathbf{r}^{\prime}+2\:\overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{S}}\:\mathbf{u}^{\prime}+\Bbb{S}\:\mathbf{a}^{\prime}\\ &=\mathbf{{A}_{0}}+\overset{_{^{\bullet\bullet}}}{\Bbb{S}}\:\Bbb{S}^{\top}\mathbf{r}+2\:\overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{S}}\:\Bbb{S}^{\top}\:\mathbf{u}+\mathbf{a} \end{split} \tag{16} \end{equation}$$ y desde $\;\overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{S}}\:\Bbb{S}^{\top}\;=\;\Bbb{W}\;=\;\boldsymbol{\Omega}\:\boldsymbol{\times}\;$, véase la ecuación (13), tenemos $$\begin{equation} \mathbf{A}=\mathbf{{A}_{0}}+\overset{_{^{\bullet\bullet}}}{\Bbb{S}}\:\Bbb{S}^{\top}\mathbf{r}+2\!\left(\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\times}\mathbf{u}\:\right)+\mathbf{a} \tag{17} \end{equation}$$ donde por definición $$\begin{eqnarray} \mathbf{A}\equiv & \overset{_{^{\bullet\bullet}}}{\mathbf{R}}\; &=\;\text{acceleration of particle relative to $Oxyz$ at time $t$} \nonumber\\ \mathbf{A_{0}}\equiv & \overset{_{^{\bullet\bullet}}}{\mathbf{R}}_{0}\; &=\;\text{acceleration of origin $O'$ relative to $Oxyz$ at time $t$} \nonumber\\ \mathbf{a}^{\prime}\equiv & \overset{_{_{\bullet\bullet}}}{\mathbf{r}^{\prime}}\; &=\;\text{acceleration of particle relative to $\;O'x'y'z'\;$ at time $t$} \nonumber\\ \mathbf{a}\equiv & \Bbb{S}\:\mathbf{a}^{\prime}\; & =\;\text{as $\mathbf{a}^{\prime}$ but expressed in $Oxyz$-coordinates} \nonumber \end{eqnarray}$$

por el término$\;\overset{_{^{\bullet\bullet}}}{\Bbb{S}}\:\Bbb{S}^{\top}\;$tenemos de la ecuación (13)

$$\begin{equation} \left[\Bbb{W}\:\equiv\:\overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{S}}\:\Bbb{S}^{\top}=\boldsymbol{\Omega}\:\boldsymbol{\times}\right]\ \Rightarrow\ \left[\overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{S}}\:=\:\Bbb{W}\:\Bbb{S}\right]\ \Rightarrow\ \left[\overset{_{^{\bullet\bullet}}}{\Bbb{S}}\:=\:\Bbb{W}\:\overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{S}}+\overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{W}}\:\Bbb{S}\right] \tag{18} \end{equation}$$ entonces $$\begin{equation} \overset{_{^{\bullet\bullet}}}{\Bbb{S}}\:\Bbb{S}^{\top}\:=\:\Bbb{W}^{2}+\overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{W}} \tag{19} \end{equation}$$ o $$\begin{equation} \overset{_{^{\bullet\bullet}}}{\Bbb{S}}\:\Bbb{S}^{\top}\mathbf{r}\:=\:\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\times}\left(\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\times}\mathbf{r}\right)+\overset{_{^{\bullet}}}{\boldsymbol{\Omega}}\boldsymbol{\times}\mathbf{r} \tag{20} \end{equation}$$ La ecuación (17) se escribe $$\begin{equation} \mathbf{A}=\mathbf{{A}_{0}}+\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\times}\left(\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\times}\mathbf{r}\right)+\overset{_{^{\bullet}}}{\boldsymbol{\Omega}}\boldsymbol{\times}\mathbf{r}+2\:\left(\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\times}\mathbf{u}\:\right)+\mathbf{a} \tag{21} \end{equation}$$ y reordenando los términos del lado derecho $$\begin{equation} \mathbf{A}=\mathbf{{A}_{0}}+\overset{_{^{\bullet}}}{\boldsymbol{\Omega}}\boldsymbol{\times}\mathbf{r}+\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\times}\left(\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\times}\mathbf{r}\right)+2\:\left(\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\times}\mathbf{u}\:\right)+\mathbf{a} \tag{22} \end{equation}$$

Así que observador$\;Oxyz\;$construye el vector de aceleración$\;\mathbf{A}\;$de una partícula de 5 términos: (1) el vector aceleración$\;\mathbf{A_{0}}\;$debido al movimiento de traslación del sistema$\;O'x'y'z'\;$como un todo, (2) la aceleración$\;\overset{_{^{\bullet}}}{\boldsymbol{\Omega}}\boldsymbol{\times}\mathbf{r}\;$debido a la aceleración angular$\;\overset{_{^{\bullet}}}{\boldsymbol{\Omega}}\;$de la velocidad angular del sistema$\;O'x'y'z'\;$en su conjunto, (3) la aceleración centrípeta$\;\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\times}\left(\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\times}\mathbf{r}\right)\;$, (4) la aceleración$\;2\:\left(\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\times}\mathbf{u}\:\right)\;$que está relacionado con la llamada fuerza de inercia de Coriolis y (5) la aceleración$\;\mathbf{a}\;$de la partícula relativa al sistema$\;O'x'y'z'\;$.

$$\begin{equation} \mathbf{A}=\mathbf{{A}_{0}}+\overset{_{^{\bullet}}}{\boldsymbol{\Omega}}\boldsymbol{\times}\mathbf{r}+\underset{\text{Centripetal}}{\underbrace{\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\times}\left(\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\times}\mathbf{r}\right)}}+\underset{\text{-Coriolis}}{\underbrace{2\:\left(\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\times}\mathbf{u}\:\right)}}+\mathbf{a} \tag{23} \end{equation}$$
PARTE 3: Ejemplo

Para la configuración de la figura anterior tenemos la siguiente matriz de rotación

$$\begin{equation} \Bbb{S}(t)= \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0\\ \sin\theta & \;\;\;\cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \tag{24} \end{equation}$$ entonces $$\begin{equation} \overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{S}}=\overset{_{^{\bullet}}}{\theta} \begin{bmatrix} -\sin\theta & -\cos\theta & 0\\ \;\;\;\cos\theta & -\sin\theta & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \tag{25} \end{equation}$$ y $$\begin{equation} \begin{split} \Bbb{W}\equiv\overset{_{^{\bullet}}}{\Bbb{S}}\Bbb{S}^{\top}&=\overset{_{^{\bullet}}}{\theta} \begin{bmatrix} -\sin\theta & -\cos\theta & 0\\ \;\;\;\cos\theta & -\sin\theta & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \;\;\;\cos\theta & \sin\theta & 0\\ -\sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ &=\overset{_{^{\bullet}}}{\theta} \begin{bmatrix} \;0 & -1 & \;0\\ +1 & \;0 & \;0\\ \;0 & \;0 & \;0 \end{bmatrix} =\left(\overset{_{^{\bullet}}}{\theta}\mathbf{k}\right)\boldsymbol{\times}= \boldsymbol{\Omega}\:\boldsymbol{\times} \end{split} \tag{26} \end{equation}$$ eso es $$\begin{equation} \boldsymbol{\Omega}= \overset{_{^{\bullet}}}{\theta}\mathbf{k}=\overset{_{^{\bullet}}}{\theta} \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} \tag{27} \end{equation}$$

No creo que puedas hacer mucho mejor que entender la identidad

$$\frac{d}{dt} \rightarrow \frac{d}{dt}+\vec \omega \times,$$ lo cual se cumple cuando el primero se aplica a vectores. El punto esencial de la identidad es que incluso si un vector está estacionario en un marco de referencia, tendrá algún movimiento de rotación en el marco giratorio.

Puede ser útil reformular esto en lenguaje matricial: para cualquier vector$\vec u$, se lee

$$\frac{d}{dt} \begin{pmatrix}u_x\\u_y\\u_z\end{pmatrix} \rightarrow \frac{d}{dt} \begin{pmatrix}u_x\\u_y\\u_z\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & -\omega_z & \omega_y \\ \omega_z & 0 & -\omega_x\\ -\omega_y & \omega_x & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_x\\u_y\\u_z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{du_x}{dt} +\omega_y u_z-\omega_z u_y\\ \frac{d u_y}{dt}+\omega_z u_x-\omega_x u_z\\ \frac{du_z}{dt} +\omega_x u_y-\omega_y u_x\end{pmatrix} .$$ Por lo tanto, la tasa de cambio de cada componente del vector se suma a un múltiplo lineal de los otros componentes, a medida que "rotan hacia él".

(Por ejemplo, si$\vec \omega=\omega \hat{e}_z$, entonces

$$\frac{d}{dt} \begin{pmatrix}u_x\\u_y\\u_z\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} \frac{du_x}{dt} -\omega u_y\\ \frac{d u_y}{dt}+\omega u_x\\ \frac{du_z}{dt} \end{pmatrix} ,$$ de modo que $u_x$y $u_y$Transformar en ( $\pm$) entre sí a medida que los marcos giran y el $x$y $y$los ejes giran en ( $\pm$) entre sí.)

Esa es la intuición detrás de la identidad. Operacionalmente, es el más fácil de aplicar (simplemente sustituya por$\frac{d}{dt}$), y proporciona una forma inequívoca de conectar las tasas de cambio de los componentes del vector de un marco a otro. ¿Qué no se podría amar?

Esta ecuación proviene de la derivada en un marco giratorio (como mencionaste). Podría ser más fácil de entender si observa los dos componentes de

$$\frac{\rm d}{{\rm d}t} \rightarrow \frac{\partial}{\partial t}+\vec \omega \times$$ como el cambio visto en el marco en movimiento, más el cambio debido al movimiento del marco.

Todo parte de la cinemática de posición. Considere un punto A con vector de posición

$$\vec{r}_A = \vec{r}_O + \vec{r}$$

dónde$\vec{r}_O$es el vector de posición del origen del marco de coordenadas y$r$vector de posición relativa de A wrt O

La derivada temporal de$\vec{r}$es$\frac{{\rm d} \vec{r}}{{\rm d}t} =\dot{ \vec{r} } + \vec{\omega} \times \vec{r}$, basado en derivados sobre marcos giratorios , lo que permite diferenciar los anteriores como

$$\vec{v}_A = \vec{v}_O + \dot{ \vec{r} } + \vec{\omega} \times \vec{r}$$

Tenga en cuenta que

$$\frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \dot{\vec{r}}=\ddot{ \vec{r} } + \vec{\omega} \times \dot{ \vec{r}}$$

y

$$\frac{{\rm d}}{{\rm d}t} (\vec{\omega} \times \vec{r}) = \dot{\vec{\omega}} \times \vec{r} + \vec{\omega}\times \frac{{\rm d} \vec{r}}{{\rm d}t} = \dot{\vec{\omega}} \times \vec{r} + \vec{\omega}\times (\dot{ \vec{r} } + \vec{\omega} \times \vec{r})$$

tan juntos

$$\vec{a}_A = \vec{a}_O + \ddot{ \vec{r} } + \vec{\omega} \times \dot{ \vec{r}} + \dot{\vec{\omega}} \times \vec{r} + \vec{\omega}\times (\dot{ \vec{r} } + \vec{\omega} \times \vec{r})$$ $$\vec{a}_A = \vec{a}_O + \ddot{ \vec{r} } + 2\vec{\omega} \times \dot{ \vec{r}} + \dot{\vec{\omega}} \times \vec{r} + \vec{\omega}\times \vec{\omega} \times \vec{r}$$

Si el punto está fijo al marco entonces$\dot{\vec{r}}=0$,$\ddot{\vec{r}}=0$y

$$\vec{a}_A = \vec{a}_O + \dot{\vec{\omega}} \times \vec{r} + \vec{\omega}\times \vec{\omega} \times \vec{r}$$

En cuanto a la ecuación de su pregunta, no estoy seguro de si se aplica aquí porque el$\vec{v}$utilizado debe ser la velocidad relativa del punto$\dot{\vec{r}}$y la aceleración relativa ignorada$\ddot{\vec{r}}=0$para que coincida con la ecuación correcta. Véase también aquí y aquí .