¿Cuánta energía de la frialdad extrema?

Editar: acabo de ver a John Rennie publicar su respuesta, pero parece asumir que todo el flujo de calor$\delta Q$, que proviene del baño caliente, se traduce en el$\delta Q$, que finalmente calienta el gas frío a través de$\delta Q=C dT$. Me interesa aclarar eso.

Creo que este es el camino a seguir:

Tenemos la eficiencia

$$\eta:=\frac{\delta W}{\delta Q_{\text{bath}}}=1-\frac{T_{\text{low}}}{T_{bath}},$$ y $$\delta Q_{\text{low}}=C\ dT,$$ y por supuesto $$dU=\delta Q_{\text{bath}}-(\delta Q_{\text{low}}+\delta W)=0.$$ $$\Longrightarrow \left(\frac{\delta Q_{\text{bath}}}{\delta W}-1\right)\delta W=\delta Q_{\text{low}}$$ $$\Longrightarrow \delta W=C\ dT\times \left(\frac{T_{\text{bath}}}{T_{\text{low}}}-1\right)$$

Si usa su máquina, abre el canal de calor y traduce$\delta Q_{\text{bath}}$trabajar mientras el gas inicialmente frío no se haya calentado a la temperatura del baño. En caso de que empieces con$T_{\text{low}}=T_{\text{bath}}$, entonces no pasará nada.

$$\Delta W=\int_{\epsilon>0}^{T_{\text{bath}}}C\ T_{bath}\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_{bath}}\right)dT=C\ T_{\text{bath}}\times \left(\text{log}\left({\frac{T_{\text{bath}}}{\epsilon}}\right)-\frac{T_{\text{bath}}-\epsilon}{T_{\text{bath}}}\right).$$

Aquí el primer factor$C\ T_{\text{bath}}$sería la energía del calentamiento directo del gas frío.

Editar: para señalar eso más claramente, el término$-C\ T_{\text{bath}}\ \text{log}(\epsilon)$en este modelo ideal es arbitrariamente grande. Cada vez que reduce a la mitad la temperatura mínima pequeña, obtiene otra cantidad constante de trabajo$W$fuera de la máquina.

(Nick Kidman fue un poco más rápido, pero de todos modos publico mi respuesta a la pausa para el café)

Dudo que puedas extraer 1 MWh de tu experimento pero veamos: Empezamos con un motor ideal que funciona con la eficiencia de Carnot:

$$\eta=1-\frac{T_{cold}}{T_{warm}}$$ Entonces, si tiene un mol de gas extremadamente frío, la eficiencia inicial del motor ideal será muy alta, aún así calentará el depósito frío. Para un mol de un gas ideal, el calor específico a volumen constante es $$C_v = \frac{3}{2}R \approx 12 \frac{J}{K}$$ La energía que puede extraer de su máquina es $$dE = dQ_{warm} \cdot \eta(T_{cold})$$ El calor que entra en su gas frío es $$dQ_{cold} = \frac{T_{cold}}{T_{warm}} dQ_{warm}$$ Con $C= dQ/T$podemos calcular la energía total $$E = \int C\left(\frac{T_{warm}}{T_{cold}} - 1 \right) dT_{cold}$$ Con un mol de gas muy frío a 1 mK y un baño a temperatura ambiente a 300 K, Wolfram Alpha cree que podemos extraer 41 kJ de esta máquina y, como podemos ver, la eficiencia cae rápidamente cuando el gas frío se calienta: