Conductividad Térmica de los Metales

La barra de metal se calentará más. Solo que no mucho para una barra grande.

La energía fluirá desde tus dedos hacia el metal hasta que la temperatura del metal alcance la temperatura de tus dedos. Para un objeto de metal grande, esto nunca sucederá a todos los efectos prácticos. Sin embargo, para un objeto pequeño, sucede. Si tomas una moneda de diez centavos, inicialmente se sentirá genial, en un minuto o dos ya no se sentirá genial.

Tenga en cuenta que lleva aproximadamente un minuto calentar una moneda de diez centavos hasta el punto en que ya no se siente frío. Para objetos grandes, tomaría mucho tiempo durante el cual el metal pierde energía en el aire... por lo que es posible que nunca deje de sentirse frío.

Cuando algo se siente frío, no es la temperatura lo que lo hace sentir frío, es la tasa de transferencia de calor (flujo de calor) de su cuerpo al objeto.

Considere que la conducción térmica sigue la Ley de Fourier ,$\dot{q} = -k A \Delta T$

Podemos simplificar esta ecuación para nuestros propósitos tomando uno de los objetos como nuestro cuerpo, a temperatura corporal, 37$^\circ$C, y el otro objeto de prueba para tener siempre la misma área de contacto. Entonces podemos concluir que el flujo de calor depende de la conductividad térmica del objeto, que es una propiedad del material del que está hecho, y de su temperatura.

$$\dot{q}\sim k~(T - 37)$$

Juguemos un poco con esto.

Caso 1: Tocar el mismo objeto, a diferentes temperaturas
En este caso,$T$varía$k$permanece constante. esto nos da$\dot{q}\sim(T - 37)$, razón por la cual una moneda de diez centavos a 0C se siente más fría que una moneda de diez centavos a 30C

Caso 2: Tocar una moneda de diez centavos y una moneda de arcilla, a la misma temperatura
En este caso,$T$es el mismo, y la ecuación se reduce a$\dot{q} \sim k$. Sabemos que la conductividad de una moneda de arcilla es menor que la conductividad de una moneda de metal. Es por eso que sentimos que la moneda de metal elimina el calor de nuestro dedo más rápido y, por lo tanto, se siente más frío.

En consecuencia, si miras desde la perspectiva de la moneda, gana calor más rápido y, por lo tanto, alcanza la temperatura de tu cuerpo más rápido. La moneda de arcilla tardará más en alcanzar la misma temperatura.

Dado que la diferencia de temperatura es el parámetro impulsor de la conducción, ambos alcanzarán, con el tiempo suficiente, la misma temperatura.

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Ahora, algunas matemáticas un poco más complicadas.

La ecuación de Fourier se puede reescribir como

$$\begin{align} \dot{q} &= -k A \Delta T = \frac{\text{d}q}{\text{d}t} \\ \therefore \frac{\text{d}q}{\text{d}t} &= -k A (T - T_{res}) \\ \text{d}q &= m C \text{d}T \\ \therefore m C \frac{\text{d}T}{\text{d}t} &= -k A (T - T_{res}) \\ \therefore \frac{\text{d} T}{T - T_{res}} &= -\frac{k A}{m C} \text{d} t \\ \therefore \int_{T_{init}}^{T}\frac{\text{d} T}{T - T_{res}} &= \int_0^t-\frac{k A}{m C} \text{d} t \\ \therefore \ln(\frac{T - T_{ref}}{T_{init} - T_{ref}}) &= -\frac{k A}{m C} t \\ \therefore \frac{\Delta T}{\Delta T_{init}} &= \exp(-\frac{k A}{m C} t) \\ \therefore \frac{\Delta T}{\Delta T_{init}} &= \exp(-\phi t) \\ \therefore \dot{q} &= -k A \exp(-\phi t) \Delta T_{init} \end{align}$$

Como puede ver en esta imagen, la diferencia de temperatura cae mucho más rápido si$\phi$es más grande, es decir$k A / m C$es más grande Si la masa y el área de contacto de ambos objetos en comparación son idénticas, esto implica que cuanto mayor sea el$k / C$, más rápido el objeto alcanza el equilibrio con el depósito de calor. Aquí está la misma gráfica, pero mostrando la temperatura de la moneda inicialmente a 0°C con el tiempo, cuando se toca con un depósito de calor a 37°C.

La siguiente imagen muestra el flujo de calor graficado contra el tiempo. Como puede ver, una más pequeña$k$da un flujo de calor más pequeño, pero sostenido durante un período de tiempo más largo.

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Notas:

$C$es el calor específico del material del que está hecha la moneda.$k$es su conductividad térmica.$m$es la masa y$A$es el área de contacto entre el objeto y el depósito del oído.

Diría que el libro de texto está usando algunos términos bastante vagos aquí, aunque me imagino que es simplemente para que sea más fácil de entender. Diferentes materiales tienen diferentes capacidades caloríficas específicas., una propiedad que indica cuánto calor se requiere para elevar la temperatura del material en 1 grado Celsius por gramo de material. Por ejemplo, el calor específico del agua es 1 caloría por gramo por grado Celsius (o, de manera equivalente, 4,184 julios por gramo por grado C; uso calorías aquí solo porque me permite usar números simples en mi explicación). Esto significa que, si suministró 50 calorías de calor, podría aumentar la temperatura de 1 gramo de agua de 25 a 75 C (un cambio de 50 C), o podría aumentar la temperatura de 50 gramos de agua de 25 a 26 C, o cualquier otro cambio en el que la masa multiplicada por el cambio de temperatura es 50. Los metales generalmente tienen valores de calor específico muy bajos, mientras que las sustancias más aislantes como el agua y la madera tienen valores de calor específico más altos.

Decir que algo "se siente más frío" es bastante vago. Yo diría que, en el instante en que tocas metal o madera, es probable que "sientas" lo mismo. Sin embargo, si sostiene, digamos, 50 gramos de madera y 50 gramos de metal, el metal tardará mucho menos en alcanzar la temperatura corporal. Suponiendo que tu cuerpo cede calor a ambos ya la misma velocidad, se necesita menos energía para elevar la temperatura del metal (con un calor específico bajo) que una masa equivalente de madera (con un calor específico alto). Puede encontrar fácilmente una tabla de calores específicos para algunos materiales comunes simplemente buscando en la web.

¡Espero que eso ayude!