Parámetros/acoplamientos desnudos divergentes: ¿cuál es el significado físico de esto? ¿Tiene esto alguna relación con el enfoque grupal de renormalización de Wilson?

Hay varias preguntas interesantes en la pregunta principal, además de un punto en el comentario que quiero abordar. Ideas similares se discuten aquí y en arxiv 0702.365 .

Descargo de responsabilidad: solo hablaré sobre QFT que tienen un corte de UV finito$\Lambda$. Eso elimina todas las complicaciones de la definición del límite continuo (no pertubativo)$\Lambda\to \infty$, como se discutió en la respuesta vinculada anteriormente. Solo si crees que un QFT en particular es la descripción verdadera y absoluta del universo, este límite es interesante. Y es bastante seguro que no es el caso. Sin embargo, nos puede interesar el límite donde$\Lambda$es muy grande en comparación con todas las demás escalas de energía (que es equivalente a tomar$\Lambda\to\infty$).

En primer lugar, los parámetros básicos pueden ser físicos y medidos. Simplemente no corresponden a las mismas cantidades que los parámetros renormalizados. Por ejemplo, tome el modelo (clásico) de Ising. tiene una constante de acoplamiento$K=J/T$. Usando cálculos estándar, uno puede reescribir la función de partición como una teoría de campo con acción

$$S[\phi_i]=\sum_{ij} t_{ij} \phi_i \phi_j- \sum_i \ln \cosh \phi_i,$$ dónde $\phi_i$es el valor del campo en un sitio de celosía $i$, y $t_{ij}$está relacionado con la energía de interacción $K$(ver por ejemplo este artículo para más detalles ). Así, si sabes $K$, que es accesible (por ejemplo, en el caso de simulaciones), ¡usted conoce los parámetros básicos! También puede medir este tipo de parámetros de forma experimental (intercambio de energía).

Observe que esta teoría de campo no es perturbativa (si uno expande el potencial, ¡todas las constantes de acoplamiento (y hay una infinidad de ellas) son del mismo orden! La única razón por la que uno puede usar la pertubativa$\phi^4$teoría para describir el modelo de Ising es porque uno suele estar interesado sólo en las cantidades universales , que no se preocupan por los detalles de la teoría microscópica, siempre que la clase de universalidad sea la misma.

En aras de la exhaustividad: si uno expande el potencial (el$\ln\cosh$) de orden cuatro, el término cuadrático se denominará término de masa y el cuarto término de interacción. También hay una contribución a la masa proveniente de$t_{ii}$. Entonces se puede demostrar que para$K$suficientemente grande, el potencial tiene dos mínimos no triviales, correspondientes a la fase ferromagnética. El valor crítico de$K$para la transición, señaló$K^0_c$, está en el nivel de campo medio tanto incorrecto como no físico.

Hasta aquí todo bien. Ahora agreguemos las fluctuaciones del campo, eso "renormalizará" la teoría. En una vuelta, se ve que el término cuadrático (la "masa") tiene una corrección que es proporcional a alguna potencia del corte, es decir, depende de la forma en que se haga la regulación, si la red es cúbica o triangular, etc. ¿Es un problema? De nada. Esto solo le está diciendo que el acoplamiento crítico (real, físico)$K_c$no es universal, depende en gran medida de los detalles microscópicos del sistema. En cierto sentido, el cálculo de estas integrales "divergentes" (en realidad, dependientes del corte) corresponde al cálculo de la temperatura crítica, conociendo la física microscópica.

Del wilsoniano RG, sabemos que algunas cantidades dependerán del corte, como la temperatura crítica. Por lo general, son muy difíciles de calcular usando una teoría de campos, ya que la acción inicial no es pertubativa y no se puede usar el RG pertubativo (wilsoniano o no). Solo los esquemas no perturbativos (enfoques numéricos o el RG no perturbativo analizado en los artículos arxiv vinculados anteriormente) pueden acceder a estas cantidades. Pero hay cantidades universales, como los exponentes críticos, que se pueden calcular con un enfoque pertubativo, siempre que uno se mantenga en la misma clase de universalidad. Para calcular estas cantidades, uno tiene que estar cerca del punto fijo del RG, es decir, a una energía muy baja en comparación con las escalas microscópicas, equivalente a tomar$\Lambda\to \infty$.

Esto nos lleva a ver la diferencia entre Wilson RG y RG de la "vieja escuela". En el primero, se está imponiendo el valor microscópico de$K$, y luego mira cuál es la masa física. En este último, uno impone el valor físico de la masa, y no le importan los detalles microscópicos, por lo que quiere enviar$\Lambda\to \infty$. Por lo tanto, uno tiene que absorber la "corrección" de la masa para fijarla.

Entonces, para (finalmente, pero parcialmente) responder a su pregunta "La ejecución del acoplamiento en el enfoque de Wilson no tiene nada que ver con los parámetros desnudos que van al infinito cuando se elimina el corte, ¿verdad?" :

En el enfoque wilsoniano, se parte de la escala microscópica$\Lambda$y mira lo que está pasando con una energía más pequeña, mientras que en el enfoque "estándar", uno corrige que la escala macroscópica y envía$\Lambda\to \infty$con el fin de sondear con eficacia escalas de energía cada vez más pequeñas.